“從平面到立體”教學實錄與評析

楊文水

教學內容：

“從平面到立體”是人教版小學數學六年級總復習部分“圖形與幾何”板塊的內容，是學生學習了平面圖形和立體圖形的基礎上開發設計的復習課。

教學目標：

1.整理圓和圓柱之間的聯系，理解圓疊加之后變成圓柱;找到長方形和圓柱之間的關系，理解長方形旋轉變成圓柱。

2.應用圓、長方形與圓柱的關系，能解決與圓柱體橫截面和縱截面有關的數學問題。

3.感受平面圖形和立體圖形之間的聯系，發展學生的空間觀念。

教學過程：

一、復習鋪墊

師：請同學們回顧一下，小學階段你們學過哪些平面圖形？

生：我們學過的平面圖形有長方形、圓形、梯形、三角形、平行四邊形、正方形、梯形。（教師順勢粘貼圖形）

師：那我們學過哪些立體圖形呢？

生：圓柱、圓錐、長方體、正方體。（師順勢粘貼圖形）

二、圓到圓柱

師：我們剛剛回顧了舊知，請同學們再找一找在立體圖形中，哪一個立體圖形是與圓相關的？

生：我覺得是圓柱體，因為圓柱體是由兩個底面圓和一個側面組成的。

師：不僅說了是誰，而且說出了為什么，真好！

現在四人小組合作找一找圓柱的哪些部分和圓有關？

生1：從這個圓柱上我們可以看出，上面是一個上圓面，下面也有一個圓，旁邊那個圓的話，如果一個拼在上面，一個拼在下面，中間是一個側面，就拼成了圓柱，我們發現圓柱的兩個底面積和圓有關。

生2：我們小組討論的結果是用這種大小的圓疊在一起成為圓柱，無數個相同的圓疊加而成的圓柱。

生3：我們小組討論的結果是這個圓和這個圓其實是一樣的，這個圓的直徑就是這個圓的直徑，這個圓的半徑就是這個圓的半徑，由此推出這個圓的周長的方法用到這個圓的身上，這個圓的面積的方法也用到這個圓的身上。

總結：半徑與底面半徑，直徑與底面直徑，周長與底面周長，面積與底面面積的聯系。

師：之前圓是沒有高的，現在變成圓柱之后就有了高？圓柱的高是由圓的什么決定的？

生1：是由底面圓的中心點和上底面圓的中心點決定的，它們之間的垂直線段就是高。

師：那是高的定義，剛剛我們看到圓疊加變成圓柱的過程，高是由什么決定的？

生2：是由形成疊起圓柱的圓的個數決定的。

PPT出示問題：將圓柱平行于底面，橫著切開，截面是什么形狀？為什么？

生1：平行于底面橫著切開還是圓的形狀，只是它分成了兩個圓柱。

師：為什么是圓形？

生2：橫截面是與上底面平行的，所以它的下底面也是圓。

生3：因為圓柱是由無數個相同圓疊加而成的。

師：這才是問題的本質原因。

PPT出示練習題A（只列式不計算）：

（1）已知底面半徑是2厘米，可以計算出圓柱的哪些數據？

（2）已知圓柱的高是10厘米，又可以計算出圓柱的哪些數據？

（學生獨立思考做題并匯報）

三、長方形到圓柱

師：在我們平面圖形里面還有一個圖形與圓柱息息相關的，你能找到嗎？

生：長方形。

師：為什么？

生1：因為圓柱展開后是兩個圓加一個長方形。

生2：因為圓柱是由兩個圓和一個長方體或者一個正方形組成的。

生3：把圓分成幾份可以把它拼成一個近似于長方體的圖形，然后以長方形的寬為軸旋轉得到圓柱體。

師：真好。這位同學發現了數學的本質?，F在我們以長方形的寬為軸旋轉得到圓柱，看一看長方形的長和寬與圓柱又有什么聯系？

（學生四人小組交流，匯報）

生1：因為是以長方形的寬為軸旋轉得到圓柱，所以長方形的寬為圓柱的高，長方形的長為圓柱底面圓的半徑。

師：真棒！掌聲送給他。長方形的寬為圓柱的高，長為圓柱底面圓的半徑。還有沒有同學發現了其他的關系？

生2：我們小組在討論的時候還考慮了一種情況，長方形的長等于圓柱底面半徑。如果我們以圓柱形的直徑來切的話，切成的就是一個長方形，這個長方形的長就是2r，長方形的寬就是h，所以它的橫截面就可以表示2rh或者dh。我們還考慮到一種情況，假設給你這個長方形的面積：S=2rh，如果我們知道其中一個量就可以求出另外一個量。如果我們知道高的話就可以算出r是多少;如果我們知道r的話，就可以算出高是多少。

師：這位同學的知識太豐富了，我們沿著他的這個思路再來找一找，圓柱體的底面直徑是長方形的什么？

生：圓柱體的底面直徑就等于長乘以二，因為長方形的長等于圓柱底面半徑，所以底面圓的直徑就等于長乘以二。

師：真好！那么底面周長是長方形的什么？

生：底面周長就是2π乘以長。因為我們知道長就是r，圓的底面周長是2πr，所以我們就知道底面周長就是2π乘以長。

師：那么底面面積呢？

生1：底面面積就是2π乘以長的平方。

生2：底面面積應該是πr2。

生3：長是等于半徑r的，也就是說底面面積等于π乘以長的平方。

師：那你發現了長方形和圓柱的關系了嗎？

生：我發現長方形旋轉得到的圓柱，只是把半徑換成了長，其他不變。

師：嗯！也就是說圓和長方形也是息息相關的。

PPT出示：將圓柱體沿著底面直徑和高豎著切開，看看究竟是什么形狀，為什么？

生1：因為圓柱是長方形旋轉得到的，所以圓柱體的截面就應該是長方形的一面。

生2：沿著圓柱的直徑切開得到的橫截面，相當于是兩個長方形拼在一起的，而長方形和長方形拼在一起，大多數都會得到長方形。

師：兩位同學說得非常有道理。

（PPT出示練習單B）

學生們齊讀：已知一個長方形的長是2厘米，寬是5厘米，以寬為軸旋轉，你可以計算出旋轉后得到的圓柱體的哪些數據？（只列式不計算）

學生完成并交流。

生：我們找到了圓柱的高和半徑，圓柱的高也就是5厘米，長方形的長是半徑，那么半徑就等于2厘米。我們已經知道了半徑，就可以算直徑、底面圓的周長和面積了。

四、課堂小結

師：孩子們，我們這節課已經接近尾聲，你有什么感受呀？

生1：我們回顧了舊知識，找到了圓、圓柱和長方形的關系，學到了很多知識。

生2：數學知識有許多奧秘。

生3：數學知識基本上都是聯系在一起的。

……

師：所以，數學就是關系學。

師：在平面圖形和立體圖形中，你還能找到哪些像圓和圓柱、長方形和圓柱這種關系的？

生1：圓錐是由直角三角形旋轉而來的。

生2：正方形和正方體。

生2：長方形和長方體。

師：下來大家研究一下這些圖形之間的關系。請同學們為今天的數學課取一個課題。

生：找關系。

師：好的，那我們這節課的課題就是“找關系”。（師隨機板書）

【評析】

從教師教學方式點評

評課人：昆明市官渡區曙光小學 陳 潔

教師從圓入手，引出關系。本課由圓引入，學生自主關聯相關舊知，步步喚醒學生的認知結構，架起從面到體的橋梁，埋下思維的種子，理清了圓和圓柱疊加的關系、長方形和圓柱旋轉的關系。

開放式問題，打開思維空間。楊老師在學生的已有經驗、學習熱情被喚醒的基礎上，設置開放性的問題作為練習，開放式的練習A和B，由易到難，層次清晰，不斷復習舊知且有新的挑戰，使學生在不同基礎上進行不同程度的創造性思考與探究，創造性的思維得到發展。

任務引領，教師主導，學生主體。對于學生的學習，過程比結果更重要。讓學生經歷復習的過程，全面提升自己的數學學習能力。楊老師整節課都是圍繞學生的學習行為開展的，將學生的觀點突出化，讓學生在其經驗基礎上發現更多從面到體的聯系，經歷過程后學生的主體性更加突出，并總結出淺顯的數學的內涵，會尋找知識點間的聯系，從而形成數學思維和數學習慣。

從學生學習方式點評

評課人：昆明市盤龍區盤龍小學

楊艷梅

“從平面到立體”構建了學生自主學習、獨立思考、合作交流的學習方式。縱觀整個教學過程，教師引出復習主題，啟發學生思考“小學階段學過哪些平面圖形和立體圖形”，讓學生自主關聯舊知，采取獨立思考、四人小組合作等研究方式，在匯報交流“怎樣記錄圓的四要素之間的關系，圓柱與圓的哪些部分有關，長方形和圓柱有什么關系”等問題時，楊老師讓孩子走上講臺，分工合作，有匯報、有記錄、有補充，為學生搭建了施展才華的舞臺，使他們真正成為知識的探索者與發現者。楊老師還留給學生充足的思考空間，重視學生學習方法的指導，鼓勵學生用簡潔、清晰的形式進行整理，借此培養學生的創新意識（如孩子們用箭頭或者線條表示關系），讓學生體驗獲取知識的方法、步驟。教師把“講”的時間和空間壓縮了，留給學生去“學、思、行”，有利于培養學生的自主學習能力。

從課堂效果點評

評課人：昆明市五華區春城小學 魯哲銘

本節課，楊老師建構了完整的“知識鏈”，幫助學生建構知識間的聯系，使知識的理解更精當，知識條理更清晰，形成知識體系。通過讓孩子找圓柱和圓各部分的聯系，長方形長、寬與圓柱各部分的關聯，進一步調整和明晰數學知識的本質（即圓柱是圓的疊加過程;長方形旋轉得到圓柱）。優化數學知識在頭腦里的組織方式，從而清晰地把握圓和圓柱的知識點間的內在聯系，有條理地儲存和記憶數學知識，達到對知識理解的融會貫通效果。

從體現的生本理念教學策略點評

評課人：昆明市昆明經濟技術開發區實驗小學 張志紅

復習課“從平面到立體”是基于“生本理念”指導下設計和實施的復習課教學探索。仔細品味本堂課可以體現以下“生本理念”的教學策略：

1.教學設計和實施以學生數學核心素養的落實為主要目標。圖形與幾何領域數學知識的數學核心素養主要是空間觀念的培養。通過本節復習課，學生對圓柱的認識從圓柱是一個長方形側面和兩個圓形底面圍成的圖形，擴展圓柱是到由同樣大小的圓疊加而成的立體圖形和圓柱是由長方形繞某條邊旋轉一周掃過的空間，極大地豐富了學生的空間想象和對圓柱的認識。在對圓柱的橫切面和縱切面概念的引入和演示中，學生還構建半個圓柱的空間觀念。

2.教學活動化。整節課總體設計了四個活動：（1）分組探究交流圓和圓柱各要素之間的關系;（2）獨立完成交流練習單A;（3）分組探究長方形的長和寬與圓柱各要素間的關系;（4）完成和交流練習單B。

3.教學環節結構化。通過復習構建圓、圓柱和長方形各要素和相關概念的相互聯系，形成了相互關聯的知識網絡，真正體現了“無箭頭不板書，一張板書看全課”的結構化教學理念。

4.營造民主、開放的課堂氛圍。整堂課學生積極參與討論，大膽走上講臺進行匯報。教師尊重學生的思考，甚至按照學生的想法將本課課題命名為“找關系”。