基于模態綜合法的含間隙折疊舵面動態特性分析

王強，馬志賽，張欣，劉艷，丁千,*

1. 天津大學 機械工程學院，天津 300350 2. 天津市非線性動力學與控制重點實驗室，天津 300350 3. 北京電子工程總體研究所，北京 100854

為了滿足存儲、運輸過程中節省空間的要求，很多飛行器會采用折疊舵面結構，如艦載飛機機翼、導彈彈翼等。但由于加工生產中的超差、裝配誤差以及使用磨損等因素，折疊舵面中不可避免地存在著間隙。間隙非線性是折疊舵面結構最為常見的一種集中式結構非線性，它的存在會改變折疊舵面的剛度特性，進而對飛行器的氣動彈性特性(包括顫振特性和動力學響應)產生重要影響[1-3]。趙永輝和胡海巖[4]研究了操縱面自由度具有間隙的二元翼段顫振特性，發現鉸鏈間隙的存在會使機翼發生極限環振蕩和跳躍。Gold和Karpel[5]研究了具有鉸鏈間隙非線性的控制面對飛機飛行的影響，發現鉸鏈剛度的間隙非線性會引起飛機結構的極限環振蕩。Behal和Rao[6]基于有限元建立含間隙非線性的三元機翼模型，研究了副翼結構特性的變化對機翼顫振特性的影響。遲圣威[7]建立了可折疊機翼的有限元模型，研究鉸鏈折疊角和剛度變化對顫振特性的影響，結果表明在鉸鏈剛度和折疊角的改變過程中顫振的不穩定分支會發生改變。Abdelkefi等[8]采用三次多項式表征間隙的非線性連接剛度，并基于實驗數據對二元翼段的非線性連接剛度進行了分析。

近年來，一些學者基于模態綜合法[9]對折疊舵面動態特性進行了分析。Kim[10]和Bae[11]等運用模態綜合法和恢復力曲面法對典型折疊舵面結構進行了分析，發現結構間隙非線性可以由分段雙線性連接剛度表示。全祎倬和方明霞[12]利用自由界面模態綜合法得到機翼顫振特性，結果表明隨著馬赫數的提高，飛行器的顫振速度呈下降趨勢，而顫振頻率的變化不明顯。倪迎鴿等[13]采用模態綜合法，分析了具有間隙非線性的折疊機翼的氣動彈性，結果表明在間隙量很小的情況下，極限環也不可避免。楊寧[14-15]和Wu[16-17]等采用雙協調自由界面模態綜合法，建立并分析了多自由度結構非線性折疊翼面的動力學特性。

目前，國內外學者圍繞含間隙折疊舵面的動態特性分析進行了大量研究，但仍存在諸多問題有待解決。在運用模態綜合法分析含間隙折疊舵面動態特性時，現有研究大多建立在已知連接界面處間隙非線性連接剛度的假設下，而真實結構的間隙非線性連接剛度往往是未知或難以測量的。本文在對含間隙折疊舵面的結構動力學特性進行分析的基礎上，采用模態綜合法對折疊舵面的有限元模型進行降階，進而通過模型修正得到連接界面處的間隙非線性連接剛度，完成含間隙折疊舵面的非線性動力學模型建立，為開展含間隙折疊舵面的非線性動態特性分析提供技術基礎。

1 折疊舵面的有限元模型

1.1 折疊舵面結構

折疊舵面結構分為內舵和外舵2部分，內舵和外舵通過銷軸連接，內舵根部固定，用以模擬與彈體的連接，如圖1所示。

銷軸間隙產生的非線性恢復力-位移關系由圖2所示，其中間隙非線性特性由間隙尺寸δ和接觸剛度Kθ這2個參數來描述[18]。其表達式為

(1)

圖1 折疊舵面結構Fig.1 Structure of a folding fin

式中：θ為轉角；f(θ)為力矩。當間隙量δ=0 rad 時，力矩變為關于θ的線性函數。

折疊舵面的材料選擇鋁合金材料，材料屬性如表1所示。

圖2 間隙非線性剛度特性Fig.2 Freeplay nonlinear stiffness characteristics

表1 折疊舵面的材料屬性Table 1 Material properties of folding fin

1.2 有限元建模

采用不同厚度的殼單元對折疊舵面的內舵和外舵進行建模，如圖3所示。由于實際結構的內舵和外舵之間通過銷軸連接，因此在建模這個環節，銷軸的建模最為重要。分析結構的物理特性，可將實際結構簡化為3組鉸鏈連接。利用MPC多點約束單元將鉸鏈連接處除了繞y軸轉動的自由度以外，其他的自由度全部約束，實現對內外舵面銷軸連接的模擬。圖3給出了3組鉸鏈的編號及位置，由于鉸鏈①不提供繞y軸轉動的剛度，結構繞y軸轉動剛度僅由鉸鏈②和鉸鏈③提供，因此令鉸鏈②和鉸鏈③繞y軸轉動剛度為Kθ，鉸鏈①繞y軸轉動剛度恒為零。

圖3 折疊舵面的有限元模型Fig.3 Finite element model of folding fin

2 折疊舵面的子結構模型

動態子結構法可以從量級上大幅度減縮系統的自由度而不改變問題的本質，其基本思想是：把大型復雜系統人為地抽象成若干個子結構，先對自由度較少的子結構進行動態分析，保留其低階主要模態信息，再根據各個子結構的界面協調條件，組裝成整個系統的動態特性[19]。

對于含間隙折疊舵面，間隙的變化會改變結構的非線性動力學特性，需要相應的非線性動力學處理手段來建模與分析。本節采用雙協調自由界面模態綜合法[16]建立非線性折疊舵面的子結構模型，該模型可以將鉸鏈連接處非線性自由度保留在最終的廣義坐標中，便于求解分析。

2.1 子結構動力學方程

折疊舵面由內舵和外舵通過鉸鏈連接而成，因此可以將模型分為2個子結構，其中內舵為子結構a，外舵為子結構b。假設子結構離散后的有限元模型是n自由度無阻尼系統，其動力學方程為

(2)

式中：M和K分別質量和剛度矩陣；f為節點力列陣(只有對應界面自由度的位置才有非零元素)；fJ為界面力列陣；BT為投影矩陣[20]。

傳統自由界面模態綜合法減縮自由度時，僅保留了低階主模態Φk，略去了全部高階主模態影響，故綜合出來的結果誤差較大。而在雙協調自由界面模態綜合法中，引入剩余模態Ψd來表示這些高階主模態[21]。即分別使用低階保留模態Φk和剩余模態Ψd進行自由度減縮:

u=Φkpk+Ψdpd

(3)

式中:pk和pd分別為保留和剩余模態坐標。

第1次坐標變換，將式(3)代入子結構動力學方程式(2)中并左乘[ΦkΨd]T，得到子結構的主模態均關于其質量陣正交歸一的運動方程。

[ΦkΨd]TBTfJ

(4)

式中:界面力fJ和保留模態坐標pk一樣，也是一種廣義坐標，且界面力fJ根據界面協調條件在模態綜合時被消去;Ik和Md分別為保留和剩余質量陣；Λk和Kd分別為保留和剩余剛度陣。

2.2 子結構的剩余模態

對于工程結構，一般只能計算得到結構的低階保留主模態Φk，不能獲得結構的高階模態。下面給出在只保留低階主模態Φk的情況下，求解剩余模態Ψd的途徑[19, 22]。

當子結構無剛體模態時

Ψd=K-1BT-G

(5)

式中：G為子結構柔度矩陣。

當子結構有剛體模態時，K-1不存在，所以不能用式(5)計算剩余模態。為此，必須首先把剛體模態分離出來。此時剩余模態Ψd表達式為

(6)

2.3 剛彈混合連接的雙協調條件

將子結構a和b模態坐標下的運動方程式(4)合并

(7)

式中：pa=[pakfaJ]；pb=[pbkfbJ]。由于間隙非線性的存在，相應的界面自由度之間存在彈性連接，界面相應的自由度間并不相等，而是存在著一定的差值δ。但界面力是作用力與反作用力，仍然存在著相等的關系，則協調條件為[15-17]

(8)

式中：r代表剛性連接；e代表彈性連接。

由于轉角自由度差值δ與保留模態廣義坐標無關，因此也作為廣義坐標保留在最終方程中，為消除廣義坐標中不獨立的坐標，對方程進行第2次坐標變換，可表示為

(9)

式中：坐標變換矩陣T為

其中：

通過此種變換方法，僅需要在對應彈性連接的位置引入彈性連接剛度，大大縮減了計算量。

2.4 系統的整體動力學方程

應用雙協調條件式(8)及變換矩陣式(9)對運動方程式(7)進行坐標變換，消去它們之間的相關坐標，可得到廣義坐標均獨立的整體動力學方程:

(10)

式中:ke為彈性連接剛度。

由彈性自由度協調關系得，fbJ=keδ。在式(10)中恢復力與廣義位移均顯示表達，當恢復力為非線性恢復力時，恢復力可以表示為fbJ=knon(δ)δ(knon為間隙非線性剛度)，即非線性連接剛度與元件兩端轉角自由度差值的乘積。

由于方程式(10)計算得到的響應是廣義坐標下的響應，因此還需要對得到的響應進行2次坐標變換，得到物理坐標下結構的動態響應:

(11)

3 折疊舵面的動態特性分析

3.1 子結構模型驗證

在僅保留子結構a和b前5階彈性模態的情況下，檢驗折疊舵面子結構模型的精度。有限元模型和子結構模型的鉸鏈連接處采用相同的線性連接剛度(間隙為零)Kθ，在不同的連接剛度情況下，對比了整體結構前5階固有頻率，如表2所示。可以看出經過子結構法減縮的系統能夠對有限元模型的模態進行較好地逼近。

在線性連接剛度為103N·m/rad和相同正弦激勵下，對比有限元模型與子結構模型的響應。激勵點與響應點位置如圖3所示，計算得到的響應信號如圖4所示。可以看出，子結構模型和有限元模型的響應信號吻合較好，即降階后的子結構模型可用于表征有限元模型的動力學特性。

表2 不同連接剛度下固有頻率對比
Table 2 Comparison of natural frequencies under different stiffnesses

連接剛度/(N·m·rad-1)有限元模型/Hz子結構模型/Hz誤差/%16.7215.815.4458.8160.282.441094.0295.311.37132.40132.420.02416.20415.340.2144.2644.731.0662.9064.502.48103132.40132.420.02176.76178.010.71459.98456.270.81

圖4 響應信號對比Fig.4 Comparison of response signals

3.2 有限元模型驗證

分別使用振動臺和力錘對不含間隙的折疊舵面進行掃頻和模態實驗。進行模態實驗時，采用力錘激勵，在折疊舵面上布置9個測點，如圖5所示。為了消除傳感器附加質量對結構固有頻率的影響，使用振動臺進行掃頻實驗，僅在圖5所示激勵點處布置1個傳感器。

首先使用振動臺對不含間隙折疊舵面進行掃頻實驗，得到結構前2階固有頻率分別為44.08 Hz和63.28 Hz，如圖6所示。

圖5 折疊舵面的實驗裝置Fig.5 Experimental setup of folding fin

圖6 線性實驗掃頻曲線(δ=0)Fig.6 Experimental linear sweep curves (δ=0)

由于在有限元模型中把實際結構的銷軸簡化為MPC多點約束單元，因此連接剛度Kθ為實際結構的等效連接剛度。通過模態實驗結果直接修正有限元模型的等效剛度，計算量大，不易操作[23]。因此選用子結構模型的動力學方程(10)對連接剛度進行修正。通過模型修正得到等效線性連接剛度為590 N·m/rad，在該連接剛度下對比了不同模型的前2階固有頻率，如表3所示。在等效線性連接剛度下，通過有限元模型和子結構模型得到的固有頻率計算值與不含間隙折疊舵面的實驗結果十分接近。

表3 固有頻率結果對比Table 3 Comparison of natural frequency results

其次使用力錘激勵對折疊舵面進行模態實驗，獲取其前2階模態振型，并與有限元計算結果進行對比，如圖7和圖8所示。由圖可知，雖然實驗布置的測點數目有限，模態振型的實驗結果相對粗糙，但模態振型的有限元計算結果與實驗結果基本吻合。綜上，通過子結構模型修正得到的等效線性連接剛度能夠較好地描述真實結構的連接特性，所建立的動力學模型可用于折疊舵面的動力學響應預測。

此外，觀察結構前2階振型可以看出，結構第1 階振型是彎曲模態，第2階振型是扭轉模態。結合表2不同連接剛度下前2階固有頻率的對比結果，可以看出連接剛度主要影響結構第1階彎曲模態頻率，對第2階扭轉模態頻率影響相對較小。

圖7 第1階模態振型對比Fig.7 Comparison of the first mode shapes

圖8 第2階模態振型對比Fig.8 Comparison of the second mode shapes

3.3 非線性動態特性分析

在不同的間隙下，將圖2所示的分段剛度取為等效線性連接剛度590 N·m/rad，即將等效線性連接剛度與間隙值組合，得到不同間隙下的非線性連接剛度?；谧咏Y構模型對不同間隙下的折疊舵面進行仿真掃頻，對比仿真和實驗掃頻結果，如圖9～圖11所示。

表4定量對比了在不同間隙下仿真與實驗的掃頻結果。隨著間隙的增大，結構前2階頻率對應的峰值位置逐漸降低，但第1階頻率處出現了明顯的非線性跳躍現象，正掃與反掃的峰值位置逐漸分離，而第2階頻率正掃與反掃的峰值位置基本重合。仿真與實驗掃頻結果基本吻合，驗證了非線性動力學模型的精度及其在含間隙折疊舵面非線性動態特性分析中的可行性。

圖9 線性仿真掃頻曲線(δ=0 rad)Fig.9 Curves of simulated linear sweep (δ=0 rad)

圖10 非線性掃頻曲線(δ=0.013 rad)Fig.10 Curves of nonlinear sweep (δ=0.013 rad)

圖11 非線性掃頻曲線(δ=0.04 rad)Fig.11 Curves of nonlinear sweep (δ=0.04 rad)

表4 掃頻結果對比Table 4 Comparison of sweep results

4 結 論

1) 采用雙協調自由界面模態綜合法對非線性連接系統的線性主體部件有限元模型進行減縮，可降低模型規模，提高計算效率。

2) 針對本文中的折疊舵面結構，結構的線性連接剛度可通過模型修正獲得，而間隙非線性連接剛度可由得到的等效線性連接剛度和間隙值組合而成。

3) 實驗驗證了所建立非線性動力學模型的精度，為開展含間隙折疊舵面的非線性動態特性分析提供了技術基礎。