基于SPH方法對多晶硅裂紋擴展的數值模擬

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（湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

多晶硅作為光伏設備的基材，需要在無污染的環境中破碎成一定尺寸才能使用，一般要求碎塊尺寸為5～90 mm。由于對多晶硅的加工過程要求較高，目前企業基本采用人工敲擊的方式對其進行破碎處理，而因敲擊造成的材料尺寸不符合要求形成的浪費比例約為10%。為了能減少多晶硅材料的浪費，并提高工作效率，操作人員必須掌握多晶硅的破碎機理。多晶硅等高脆性材料在沖擊載荷下的損傷破碎過程，一般是損傷、損傷累積、破碎、失效、主裂紋以及主裂紋群擴展發生的過程，類似于巖石等脆性材料的產生、擴展、斷裂的過程[1]。

國內外許多學者對脆性材料的裂紋擴展做了深入研究。如李運祿等[2]對混凝土在不同速度沖擊載荷下的裂紋形成過程進行了數值模擬。王石安等[3]研究了不同沖擊速度對花崗巖靶板裂紋擴展以及起裂位置的影響。袁琳等[4]研究了不同材料的力學性質、材料均質度、入射應力脈沖幅值和歷時對II型裂紋動態擴展的影響。C.Daux等[5]建立了用于分叉和交叉裂紋問題的擴展有限元法。F.Kun等[6]、B.Behera等[7]和N.Sator等[8]分別采用離散元法和分子動力學方法模擬分析了二維圓盤的沖擊破碎，發現其存在一個臨界沖擊速度（動能），可以將材料的沖擊響應分為局部損傷和整體碎裂兩種狀態。陳興等[9]研究了脆性材料在沖擊破碎的作用下，材料無序性對臨界沖擊速度、破碎模式、碎片形態、裂紋的形成與擴展的影響。秦飛等[10]用邊界元法模擬分析了多裂紋的擴展情況。但關于多晶硅內部裂紋擴展機理方面的研究文獻較少。

多晶硅肉眼觀察呈灰色，有金屬光澤，莫氏硬度為7，類比巖石類材料，其硬度在鍺和石英之間。常溫下多晶硅硬而脆，做切割時易發生碎裂[11]。多晶硅等脆硬性材料的破碎是一種應變率較高、形變量較大的過程。因有限差分法（finite difference method，FDM）和有限元法（finite element method，FEM）對于處理高應變率、大形變等問題時，會出現網格扭曲、計算精度下降、計算難以繼續，所以不適合被用于脆硬性材料的數值模擬。而光滑粒子流體動力學（smoothed partcle hydrodynamic method，SPH）作為一種拉格朗日形式的無網格粒子法，可以模擬連續體結構的解體、破碎、固體的層裂、脆性斷裂等大形變問題，同時可以規避畫網格導致的網格纏繞和扭曲等問題，可被用于處理脆硬性材料。W.Benz[12]等首次使用SPH方法對脆性材料進行了數值模擬，提出了處理脆性斷裂的方法。其后，SPH方法被廣泛地應用于結構脆性斷裂計算與分析中。

本研究中，沖擊破碎的多晶硅為均值脆性材料，其抗拉強度和抗剪強度遠小于抗壓強度。故本研究采用SPH算法、Johnson-Homquist II（JH-2模型）損傷本構模型，利用非線性動力學軟件Autodyn-2D，對多晶硅材料用平面錘頭在不同速度沖擊作用下進行裂紋擴展的數值模擬，探討多晶硅裂紋產生的臨界速度，分析裂紋產生、擴展的過程及沖擊速度等對裂紋產生的影響，以期為降低多晶硅破碎損失率和提高破碎效率提供理論參考依據。

2 SPH 基本方程

SPH方法以核函數為基礎，將整個流場的固體、流體離散為一系列具有物理特性（質量、速度和能量）的粒子，每個互不連接的粒子代表一個插值點。其中，用于估計粒子運動信息的核近似算子表達式為

式中：Ω為積分域（支持域）；

h為光滑長度；

W為光滑核函數。

W可用輔助函數θ(x)定義如下：

式（2）（3）中：C為歸一化常數；

W(x，h)為單峰函數，W常選用偶函數，并滿足條件式（4）～（6）。

式（5）（6）中：k是與點x處光滑函數相關的常數，表示光滑函數的有效范圍；

δ為狄拉克函數。

由于光滑函數W定義在支持域內，故當支持域位于問題域內部時（如圖1所示），公式（7）右邊的面積積分為0。故有

圖1 光滑函數W的支持域和問題域Fig.1 Support and problem domains for smooth function W

為了利用粒子近似法使得整個系統由具有獨立的質量、占有獨立空間的有限個粒子進行表示。本文利用粒子的疊加求和離散化過程，引入粒子的質量和密度以賦予粒子質量，并避免出現數值積分的背景網格，將核近似法轉化為粒子近似法，其粒子i處的函數粒子近似式為

其中

式（9）（10）中：mj為粒子j的質量；

ρj為粒子j的密度；

N為支持域中的粒子總量；

Wij為i粒子離散為支持域內j粒子的光滑函數；

rij為兩粒子間的距離。

其中式（9）表明，粒子i處的函數梯度值可通過應用光滑函數的梯度對粒子i的支持域內所有粒子函數的加權平均近似得出。

控制體（材料粒子）可伴隨流體的流動一起運動，但一直保持物質的總質量不變，而控制面的改變又會引起控制體的體積變化。考慮到材料的彈塑性效應，用具有拉格朗日性質的流體動力學連續介質方程組（Navier-Stokes 方程）對物質點進行描述，可提高自由邊界和相同材料粒子密度不連續交界面的精度、降低粒子不一致的誤差等，其公式表示如下：

式（11）～（13）中：vij為粒子間的相對速度；

σ為總應力張量；

α和β為坐標方向；

p為各向同性壓力；

μ為黏度系數；

ε為剪應變率；

e為比內能。

3 材料模型及參數選取

3.1 平面錘的本構模型及參數

由于鎢合金（硬質合金）的密度、硬度遠高于多晶硅的，敲擊多晶硅不會破壞鎢合金錘，即不會掉下金屬粉末污染多晶硅，因此選擇鎢合金作為平面錘的材料。為有效仿真鎢合金材料在沖擊作用下產生的形變和損傷，引入Johnson-Cook材料本構模型，其應力-應變的函數關系表示如下：

式（14）～（16）中：A、B、C、n、m為材料參數；

J2為偏應力張量的第二不變量；

Sij為偏應力張量；

T*為無量綱溫度，且，其中TR為室內溫度，TM為熔化溫度。

課題組對鎢合金錘采用Shock 狀態方程和Johnson-Cook 本構模型予以描述，Autodyn 材料庫中其參數分別如表1和表2所示。

表1 Shock狀態方程參數Table1 Shock state equation parameters

表2 Johnson-Cook本構模型參數Table2 Johnson-Cook constitutive model parameters

3.2 多晶硅的本構模型及參數

為更好地描述材料所受的等效應力與損傷累積間的關系，本研究引入與等效應力與應變率及損傷因子D相關的Johnson-Homquist II（JH-2）本構模型表示多晶硅等脆性材料的動態損傷過程。其定義的無量綱材料強度σ*[12]模型如下：

式（17）（18）中：σi*為初始強度；

σf*為斷裂強度；

D為損傷變量，且0 ≤D≤1；

σy為真實強度；

σhel為雨貢彈性極限強度。

當D=0（未損傷）時，多晶硅的初始強度（等效應力）為

而當D=1（完全斷裂）時，多晶硅的斷裂強度（等效應力）為

式（19）（20）中：A、B、C、M、N為材料參數；

εy為真實應變率；

ε0為參考應變率，此處取1.0 s-1；

T為最大拉伸強度；

Phel為材料處于Hugoniot 彈性極限時的壓力；

P/Phel為靜粹壓力，其中P為實際壓力。

本研究中，多晶硅材料受到沖擊作用從開始壓縮到破碎的整個過程，可分為3個階段：線彈性階段、塑性過渡階段、完全壓實材料階段。

線彈性階段多晶硅未損傷（D=0）時，多晶硅所受壓力的狀態方程表示為

式中：K為材料體積模量；

ρ為多晶硅當前密度；

ρ0為多晶硅初始密度；

ρ/ρ0-1為體應變。

塑性過渡階段，材料會產生不可逆的形變（D＞0），開始損傷積累并出現微裂紋，此時材料的壓力狀態方程和損傷變量D與塑性應變的關系如下：

式（22）～（23）中：PC為壓碎點壓力；

PL為壓實點壓力；

μ為體積應變；

μC為壓碎點的體積應變；

μL為壓實點的體積應變；

D1、D2為損傷常量；

ΔεP為塑性應變增量；

D1(P*+T*)D2為斷裂時的塑性應變。

完全壓實材料階段，材料內部損傷積累的微裂紋逐漸延伸擴展且相互交叉貫通形成明裂縫，多晶硅逐漸破碎開來（D=1）。此時材料所受壓力關系式為

式中K1、K2、K3均為材料常數。

本研究中對多晶硅材料用Linear 狀態方程和Johnson-Homquist Ⅱ損傷本構模型予以描述，其相關參數見表3和表4。

表3 Linear狀態方程參數Table3 Linear state equation parameters

表4 多晶硅Johnson-Homquist Ⅱ本構模型參數Table4 Johnson-Homquist-2 constitutive model parameters of Polycrystalline silicon

4 數值仿真及結果分析

4.1 計算模型

為使多晶硅破碎后碎片尺寸盡量為4～100 mm，本研究利用非線性動力學軟件Autodyn-2D 建立了鎢合金錘沖擊多晶硅靶板的幾何模型，并且進行了離散化處理。其中鎢合金平頭錘寬15 mm，高10 mm；多晶硅靶板寬100 mm，高120 mm。模型平面對稱，粒子尺寸為0.3 mm，其離散化后的粒子總數為134 850個。

4.2 模擬結果與分析

4.2.1 沖擊破碎過程

圖2為平頭錘以40 m/s的速度豎直沖擊多晶硅靶板，多晶硅的破碎及裂紋演化過程。

圖2 沖擊損傷裂紋擴展過程圖Fig.2 Process diagram of crack propagation with an impact damage

由圖2可以得知，當用平頭錘以40 m/s的速度沖擊多晶硅靶板時，首先在與多晶硅靶板接觸區域的兩端產生嚴重的局部損傷（如圖2a，T=1 μs時所示）；隨后，裂紋沿著兩端損傷向靶板的兩側進行擴展，直至靶板的兩側邊界形成“八”字形裂紋，同時接觸區域下部萌生出微裂紋并形成“∧”形主裂紋。隨著損傷的積累，主裂紋迅速向下延伸擴展，然后主裂紋再緩慢擴展，直至貫穿整個靶板。同時，碎塊間的相對碰撞會讓幾條“∧”形裂紋產生分叉裂紋并且連通相鄰的“∧”形裂紋。整個沖擊過程中，在1～18 μs時間段，裂紋擴展速度不斷增加；在18～26 μs時間段，裂紋擴展速度慢慢減小；到26～31 μs時段時，裂紋幾乎停止擴展，此時已經達到40 m/s 沖擊速度的破碎極限。

4.2.2 沖擊速度對多晶硅裂紋的影響

為研究錘頭錘擊速度對多晶硅裂紋擴展的影響，用寬度為15 mm的錘頭，豎直向著靶板中心以著靶速度分別為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50 m/s的10種情況進行數值模擬，得到T=60 μs時的仿真結果如圖3所示。

圖3 不同速度沖擊時的損傷裂紋擴展圖Fig.3 Fracture expansion map of impact damage at different velocities

由圖3可以得知，沖擊速度對多晶硅裂紋的擴展影響很大。沖擊速度越大，主裂紋延伸的長度越長，微裂紋、分叉裂紋擴展越密集，多晶硅破碎后的粒度越細，破碎的時間越短，破碎也越徹底。當沖擊速度小于5 m/s時，多晶硅處于線彈性階段（未出現損傷）；當沖擊速度增大但小于10 m/s時，多晶硅處于塑性過渡階段，受沖擊作用產生不可逆形變，開始出現損傷積累并緩慢出現微裂紋。當沖擊速度增至10 m/s時，多晶硅內部的微裂紋交錯延伸并交匯貫通形成明顯的裂紋，開始起裂。當沖擊速度為10～25 m/s時，主裂紋開始向靶板底部擴展的長度和破碎程度快速增加，形成相對較多的明顯“∧”形裂紋。當沖擊速度大于25 m/s 后，主裂紋擴展的遞增速率明顯減慢。當沖擊速度繼續增大到30 m/s時，起裂點的位置開始從多晶硅靶板頂部兩端向軸線中心移動，直至起裂點到達接觸區域的兩端。而當沖擊速度增至40 m/s時，主裂紋基本停止擴展，此時碎片尺寸為5～90 mm的破碎程度最大；當沖擊速度大于40 m/s時，主裂紋的周圍和末端出現許多微小裂紋，此時產生許多粉碎性碎片（尺寸小于5 mm）。

研究碎片大小隨沖擊速度的變化情況時，由于多晶硅靶板為均質材料，故用碎片的質量占靶板質量的比例（mt/m）表示碎片的大小以及破碎效果。碎片質量集合的P階矩陣和碎片的平均質量定義如下：

式（25）（26）中：n為碎片數量；

mi為第i個碎片質量；

mmax為最大碎片質量；

mav為平均碎片質量。

圖4所示為最大碎片、第二大碎片及平均碎片質量隨沖擊速度的變化曲線。

圖4 最大碎片、第二大碎片及平均碎片質量隨沖擊速度的變化曲線Fig.4 Change curves of the mass of the largest,second largest and average fragments with the velocities

由圖4可知，隨著沖擊速度增加，最大碎片質量（m1st）持續減小，第二大碎片質量（m2st）和平均碎片質量（mav）先增大后減小，并在速度為40 m/s時趨于穩定不變狀態，而此時最大碎片質量達到較小的值并開始緩慢減小，此時破碎效果最佳。

4.2.3 沖擊點對多晶硅裂紋的影響

為研究沖擊點對多晶硅裂紋擴展的影響，將錘頭中心線與多晶硅左側邊界的水平距離記作D，選取D為7.5,25,50 mm 3種情況，以40 m/s的沖擊速度進行數值仿真，其中30 μs時的仿真結果見圖5。

圖5 不同沖擊點損傷裂紋擴展圖Fig.5 Traumatic crack propagation at different impact points

由圖5可知，隨著錘頭位置往靶板中間移動，多晶硅破碎效果越來越好。當D=7.5 mm時，幾條主裂紋幾乎平行地從左上方向右下方進行擴展，右上方大塊靶板幾乎沒有破碎，而左側邊緣處呈粉碎性破碎；當D=25 mm時，開始在靶板上部出現“∧”形主裂紋，出現了少量的裂紋交叉貫通，左側邊緣處碎片尺寸過小；當D=50 mm時，幾條“∧”形裂紋產生分叉裂紋，并連通相鄰的“∧”形裂紋，碎塊數量大大增加，碎片尺寸大小相對適中，此時的破碎效果最好。

4.2.4 錘頭寬度對多晶硅裂紋的影響

本研究中分別用錘頭寬度S為5,15,20,25,30,40,50,60 mm的錘頭，以40 m/s的速度沖擊多晶硅靶板進行數值模擬，得到T=60 μs時的裂紋擴展模擬結果如圖6所示。

圖6 不同錘頭寬度沖擊損傷裂紋擴展圖Fig.6 Fracture propagation of impact damage with different hammer head widths

由圖6可以得知，隨著錘頭寬度的增加，裂紋密度增大，碎片粒度尺寸減小。當錘頭寬度為5 mm時，因沖擊產生的裂紋比較稀疏，以“∧”形裂紋為主；當S=20 mm時，裂紋擴展停止，碎片尺寸相對適中；當S＞25 mm時，主要的裂紋附近開始形成許多微小裂紋，碎片的粒度尺寸隨著錘頭寬度的不斷增加而減小；隨著錘頭寬度增加，裂紋密度也不斷增加；當S＞60 mm時，裂紋分布過于密集，導致破碎后的碎片過小甚至成粉末狀。因此，錘頭存在一個最佳寬度，使得裂紋分布更加均勻且碎片尺寸適中，即錘頭寬度約為20 mm。

5 結論

1）本研究采用可以規避沖擊過程中網格畸變的SPH方法結合Johnson-Homquist II模型，能有效地反映裂紋的形成以及擴展過程。

2）沖擊速度影響著裂紋的起裂速度，起裂點離中心軸線越近，則“∧”形裂紋的擴展長度越長，且碎片的密度越大。

3）錘頭的寬度越大，破碎后形成的碎片粒度越小，裂紋的密度越大。

4）錘頭的錘擊位置越靠近中心軸線，破碎后碎片的尺寸更為合理，破碎效果更好。

5）主“∧”形裂紋的擴展速度隨著沖擊速度的增加而增加，當沖擊速度達到一定值時，主“∧”形裂紋擴展速度先增加然后基本保持不變。

6）當用寬為20 mm 左右的錘頭以40 m/s的速度沖擊多晶硅靶板的最中間位置時，破碎后尺寸為5～90 mm的多晶硅碎片所占比例最大。