多視角下微專題復習課的實踐與思考

周龍虎　劉師妤

【摘 要】不同的復習階段教學節奏不同，教學側重點也不同。高三數學復習是學生查漏補缺、完善知識結構、提高問題分析與解決能力、發展數學核心素養的關鍵階段。研究者以一節“利用奇偶分類討論解決一類數列問題”的微專題復習課為例，針對如何整合知識以促進知識結構化、如何歸納方法以促進方法模式化、如何提煉思想以促進思維理性化等問題進行教學設計和反思，從而提高學生數學復習效益。

【關鍵詞】整合知識;歸納方法;提煉思想;數列

【作者簡介】周龍虎，一級教師，華中師范大學數學與統計學學院在讀博士，新青年數學教師工作室成員，主要從事數學教育研究;劉師妤，一級教師，華中師范大學教育學院在讀博士，主要從事中學數學教育研究。

【基金項目】2019年度教育部人文社會科學研究規劃基金項目——中小學核心素養測評的模型建構與實證研究（19YJA880012）

一、引言

筆者曾在一個數學教研活動上，聽了一位教師上的一節“利用奇偶分類討論解決一類數列問題”的微專題課，該節課的特點如下：問題精，既有教材及教輔書上的優質問題選編，又有授課教師精心編制的原創題;容量大，課堂教學試圖通過探究8個難度都不小的例題完成知識的梳理，沒有凸顯重點知識及難點知識;進度快，教學側重習題的鞏固練習，忽視方法的歸納與思想的挖掘;深度淺，教學以題論題，不能對學生的疑惑做出積極回應。縱觀這節課的內容，不禁引發筆者一些思考和反思。

高三數學復習是學生查漏補缺、完善知識結構、提高問題分析與解決能力、發展數學核心素養的關鍵階段。有效的復習課應注重學生的認知現狀和學習需求，能夠引導學生自主進入學習進程中，并通過問題研究獲得成就感。有關研究表明，中學生的思維水平呈現出參差不齊的發展態勢，為滿足他們不同的發展要求，教師必須明確學生思維水平所處的階段并努力使之向上遷移。有效復習的要義是在重復中建構對知識的新理解，以實現學習的進階。美國國家研究理事會（NRC）認為，學習進階是對學生連貫且逐漸深入的思維方式的描述。在較大時間跨度內（如6～8年）學生學習和研究某一主題時，這些思維方式依次進階。學習進階不只是解決學習者認知發展路徑的問題，還是學習者解決認知發展過程中用以“踏腳”的具體“腳踏點”。下文以“利用奇偶分類討論解決一類數列問題”教學為例，對微專題復習課進行研究。

二、微專題復習課的設計與反思

教育家葉瀾曾說：“一個教師寫一輩子教案不一定成為名師，但如果一個教師寫三年反思則有可能成為名師。”[1]教學見地與教育理念的形成離不開反思，只有不斷地反思、自覺地反思，課堂才能呈現無限可能性。筆者從多維視角對“利用奇偶分類討論解決一類數列問題”進行教學設計與反思。

（一）知識結構化：整合的視角

實踐表明，忽視學科結構、弱化學科知識聯系的復習是難以取得好的教學效果的。知識板塊之間相互割裂而形成的無序狀態（即“知識孤島”）是無法產生價值的。建構主義學習理論指出，經由“建構—解構—重構”動態轉化的思維過程得出的知識最具價值。奧蘇貝爾提出有意義的學習有兩條標準：一是建立實質性聯系，其含義為新的符號或符號代表的觀念與學習者認知結構中的觀念完全等值，即可用等值的語言，不同的話表達，其關系不變;二是新舊知識的非人為（非任意）的聯系，即這種關系是一種合理的、別人可以理解的而非人們主觀強加的關系。聯系是知識的衍生狀態，使知識富有生命力。若將知識劃分為靜態或動態，靜態的知識經整合顯得精而少，動態的知識經整合顯得邏輯清晰、有序。整合是整體教學觀的生動實踐，使知識與知識之間、知識與現實世界之間產生鏈接。注重知識的橫向鏈接（獲得知識的邏輯聯結和順應發展）和縱向鏈接（洞悉知識的來龍去脈和前因后果），才有利于學生形成正確的知識觀，以養成科學的思維方式。整合數學史與中學數學內容，能通過知識的“前世今生”讓學生親歷連貫的思維發展過程，體會數學獨有的文化價值。教師在教學中于恰當的問題情境里引入數學史料，還能制造認知沖突，再現知識，以體現研究的必要性。

本節課研究的問題有兩個，即求通項公式與求和問題，兩者都涉及項數問題。對于等差數列前n項和公式的推導方法，數學人教版A版（以下簡稱教材）的做法是從少年高斯關于“1+2+…+100=？”的故事出發，并加以推導改進而得，從而避免了對項數的奇偶進行分類討論。教師以此引入課題，體現出研究數列項數奇偶性的必要性。

高考復習要以問題為承載。如章建躍博士所說，選擇符合主題或教學目標的“問題集”，并把問題組織成具有內在邏輯關聯、由簡到繁、由單一到綜合的問題序列，既符合學生的認知發展規律，也能通過解題培養學生從概念與性質的角度思考和解決問題的習慣[2]。復習的意義在于彰顯過程性，能力的提升有個過程，知識從單一到綜合也有一個過程。教師選擇的題目既要“接地氣”（能培養能力、對接高考）又要出彩，研究的問題要有價值、有意義，能體現一般的觀念和數學思想方法，并有一般的處理策略，這需要教師對教材進行深入的分析和研究。在課堂教學中，教師可呈現以下兩道習題。

習題1（教材必修5第46頁）：已知數列an是等差數列，Sn是其前n項的和，求證S6，S12-S6，S18-S12也成等差數列。

習題2（教材必修5第62頁）：已知等比數列an的前n項和為Sn，求證S7，S14-S7，S21-S14也成等比數列。

學生思索之余，能進一步體會類比推理的魅力。在習題1和習題2中的兩個命題由特殊推廣到一般的過程中，學生會發現前者總成立，而后者不一定成立，要使得Skn-S（k-1）n≠0，需討論n的奇偶。

實際上，數列按照單調性劃分，可分為遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列，其中擺動數列的性質就是一個很重要的研究內容。高考對擺動數列的考查常涉及三個方面的問題：一是對項數的討論，便于準確求和;二是數列求通項公式、分段通項公式與遞推關系的轉化;三是對數列中奇（偶）數項的單調性、有界性的討論。如2014年重慶高考數學理科卷第22題。

例題 設a1=1，an+1=a2n-2an+2+b（nN*）。

（1）若b=1，求a2，a3及數列an的通項公式;

（2）若b=-1，問：是否存在實數c，使得a2n

因此，通過對該微專題所屬主題的整合，數列中的典型問題按照一定的邏輯被有機地整合在一起，知識以整體性得以呈現，有利于學生整體掌握數學對象在知識體系中的地位與作用，深層次理解數學對象的內涵與外延，發展多渠道、多角度分析和解決問題的能力。

（二）方法模式化：歸納的視角

現代數學家普遍認為，數學是一門研究模式的科學。通過對現實世界空間形式與數量關系的研究，在體會數學的基本模式的同時，也形成自我數學視角的模式化（如歸納與演繹）。筆者在教學中發現，不少學生僅僅將歸納法與演繹法視為解決某些特殊問題的策略，如利用數學歸納法證明與正整數n有關的命題等，卻很少用于數學方法的發現及創新。因此，教師應通過對數學概念、公式、定理的教學，使學生掌握數學方法。數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算與分析，形成解釋、判斷和預言的方法。數學方法具有高度的抽象性、概括性，邏輯的嚴密性、結論的確定性、應用的普遍性和可操作性。歸納方法一般有三種策略：（1）通過問題比較，歸納共性的解決辦法;（2）通過數學模型運用，拓寬模型的適用范圍，突出方法的一般性;（3）通過典型例題的挖掘與分析，在變式與推廣中抽象方法。需要注意的是，歸納是一種“慢教育”，慢是真實的，慢能出高效益。因此，在教學中教師不應急于求成。

遞歸數列通項的求解一直是數列的核心問題。處理這類問題一般的方法是往前或往后遞推一項，構建方程組，消項整理得之。一般地，要做兩次甚至多次遞推才能得到相間項的關系式，如an+2-an=4。為了讓學生形成準確的模式辨認，遞推關系中含有相間項（如an+2與an）的情形一般需要分奇偶討論。在教學中，教師可通過三道變式題對學生進行引導。

變式題1 數列an滿足a1=3，an+1+an=2n+5，求an的通項公式。

變式題2 已知數列an的前n項和為Sn，Sn=（-1）nan-12n，求S1+S2+S3+…+S100的值。

變式題3 已知數列an滿足an+1+（-1）nan=n，則數列an的前4n項的和為。

經過研究發現，對項數n的奇偶討論并非是解決上述問題最合理、最簡潔、最常用的做法，但卻是最能反映三個問題共性特征的最普遍的做法。其中，變式題1難以自然聯想到分奇偶討論的做法;變式題2即使需要討論，也要對討論作先后分析;而變式題3則需要進行多次討論（分組求和的需要）。教師為學生呈現不同類型的題目，讓學生通過觀察、比較、分析、綜合、聯想等一系列數學活動理解問題的實質，進而歸納出新的方法，并形成典型問題與解決方法的自然聯結，這有助于學生數學基本活動經驗的積累與完善。由于歸納邏輯存在或然性，因而還需要更為嚴謹的演繹，即對方法的普適性和有效性的重新審視與反思。從這個意義上說，方法的歸納為推理思維的培養奠定了進階的基礎。

（三）思維理性化：提煉的視角

數學思想是數學方法的凝練，是對數學規律的理性認識，是數學的靈魂。滲透與提煉數學思想方法要講究循序漸進原則，要經歷思想更替的過程[3]。在教學中，教師要引導學生有意識地提煉函數思想，使學生領悟蘊含于知識中的數學思想方法，這對培養學生的數學能力，優化數學思維品質，具有十分重要的意義。本節課研究的主要對象是數列，由于數列的本質是函數，因此，首先需要提煉思想方法。其次，對于數列中某些特殊的遞推關系，我們都可以依據其問題表征形式概括提煉出典型特征，從而建立模型。數列所研究的兩類問題，即求通項與求和問題，是對現實問題的概括與抽象。運算是邏輯推理的具體手段，算法思想也是需要提煉的重要思想方法。

1.從結構上思關聯：函數本質，引領研究

強化數列定義中的函數觀點是數列教學的共識。但從學習效果來看，無論是新課還是復習課的學習，學生自覺用函數思想來理解數列中的問題的意識仍比較淡薄，究其原因大致有兩個。一是關聯程度不夠高。學習理論認為，新的學習必須要與個體已有認知結構中的舊經驗取得關聯才是有意義的學習。取得關聯不僅局限于以教師的視角對函數與數列的定義做概括性的總結與類比，而是要站在學生的角度作必要的關聯分析，如對比與分析。性質是定義的再演繹與應用，理解數學概念間的一致性與相異性不一定僅在概念上做文章，對性質進行的對比與分析同樣會促進這一理解。研究數列，就要研究數列的表示方法（如列表法、圖像法、通項公式或遞推公式）、數列的性質（單調性、周期性與有界性等），這些都屬于函數性質。數列之所以稱為特殊的函數，就在于數列不具備對稱性與連續性。因此，均衡把握數列與函數的“同”與“異”才是強化數列定義中的函數觀點的真正要義。二是本質未優先于形式。數學本質是數學概念、公式、定理背后蘊涵著的重要數學思想方法以及數學特有的思維方式，其以本質思維（指通過不斷追問、從不同側面看問題）對問題進行抽象與綜合。在一般思維層次的問題解決過程中，形式是思維的起點，問題解決是思維的終點。而在高階思維下問題解決的過程中，由形式直接過渡到對本質的洞察能簡縮問題解決的長度。因此，本質優先是已有數學經驗的直接利用，是我們理應所追求的思維邏輯順序。

2.從基本點作變式：構建模型，貫通始終

問題串的課堂教學方式之所以備受教師青睞，是因為問題驅動下的教學啟而有發，能體現教學內容的層次感、思維的連貫性與一致性。等差數列和等比數列是特殊數列模型，那么擺動數列呢？首先，教師向學生提出思考問題：數列的通項形如“（-1）nan”，其中an為等差數列或者等比數列，如何求和？該問題模型構建后，學生對含有（-1）n的數列遞推關系式的理解就會更深刻，也鞏固了分組求和的做法。其次是對模型的運用與理解。裂項相消法是解決特殊擺動數列求和問題的利器，教師可設置以下例題，從而巧妙地詮釋（-1）n并項相消的功能。

例題 已知數列an的通項公式為an=2n-1，令bn=（-1）n-14nanan+1，求數列bn的前n項和Tn。

要探討形如“（-1）nan”這類數列的性質，求其前n項和的最大（最小）值（項）應是第二個思考的問題。分析“（-1）nan”這類數列（其中an為等差數列或者等比數列）的性質，學生不難理解相間項（如an+2與an）的關系，因此兩種形式的遞推關系實質上是一種情形，需要分奇偶討論，這是模型的概括、轉化功能。

利用數學模型原型作為教學資源，啟發學生建立數學模型解決問題，就是我們常說的數學模型思想。數學模型思想是利用數學語言（包括符號、圖形、公式） 模擬現實問題，把問題原型進行抽象、概括、假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構是完全形式化和符號化的模型，從而指導數學問題的研究和解決的一種演繹思想。如對勾函數模型、立體幾何中的正方體模型、四面都是直角三角形的三棱錐模型等。數學模型原型雖作為一種很好的介入方式，但能否順應新問題的建模及解模，是值得教師思考的問題。

3.從細節處精雕琢：明晰算理，優化算法

數列中求通項公式及求和問題實質上是數列中“算”的問題，因此對于其中蘊藏的算理、算法的選擇與實施顯得尤為重要。算理就是計算過程中的道理，是計算過程中的思維方式，解決的是為什么這樣算的問題。如求數列的通項，是尋求每一項關于項數n的函數解析式，可以分情況演算（常作奇偶討論），也可以利用組成成分an= Sn-Sn-1，n≥2，S1，n=1?? 演算，這是算理。求數列的前n項和，是轉化為特殊數列用公式求，還是在滿足加法運算規律下一個個累加求、分組求，這同樣也是算理。因此，教師在教學中既要做到應用算理，創新方法，又要做到明晰算理，優化算法。分奇偶討論中對奇數和對偶數情形的研究是一樣的，因而可以利用奇偶數的可轉化性（偶數±1=奇數）簡化運算。在討論兩種情形的先后順序的算法選擇上，也是可以優化的。值得一提的是，不少學生在討論時容易忽視遞推式的前提，如“當n是奇數時”，不妨實行語義轉化，將遞推關系“Sn=（-1）nan-12n”改寫成“S2n-1=-a2n-1-122n-1（n≥2）”，從規避常見錯誤的層面考量，這實質上也屬于算法上的改造與優化。此外，算理往往是在多次具體演繹算法中得到的，如對程序框圖中的運算語句的功能的分析，這是具體化的探究思路的體現。

綜上可知，在高三數學復習中，教師應結合學生的新課體驗，注重經驗的再利用，在知識整合上做足功夫;應在關注通性通法的基礎上引導學生作選擇與比較，以培養學生優化簡化、歸納整理問題的意識;應透過現象回歸數學本質，讓數學思想的種子萌芽并扎根，為學生的學習進階打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]葉瀾.教育概論[M].北京：人民教育出版社，1999.

[2]章建躍.如何設計三次函數的高考復習[J].中小學數學（高中版），2016（1/2）：封底.

[3]周龍虎.對習題講解過程中滲透數學思想與方法的思考[J].中學數學，2015（21）：52-54.

（責任編輯：陸順演）