圖說五種常用的數學教學法

【特別策劃：新青年數學教師工作室專欄】

編者按：新青年數學教師工作室成立于2006年，現有來自全國20多個省（自治區、直轄市）的骨干教師80余人。十余年來，該工作室傳承新青年精神，響應新時代號召，致力于“為全國青年數學教師的專業發展服務，做青年數學教師最好的專業成長伙伴”，已發展成為具有一定影響力的青年數學教師學術共同體。從本期起，本刊開設“新青年數學教師工作室”專欄，特邀新青年數學教師工作室的成員分享數學教育教學經驗，以期為廣大一線教師教學提供幫助。

【摘 要】數學教學法是教師指導學生學好數學基礎知識，提高數學基本技能，發展數學才能等的方式和方法。數學教學法對于激發學生學習數學的興趣，實現數學教學目的，提高數學教學質量起到重要的作用。研究者通過圖說數學主題教學法、數學“情境—問題”教學法、數學研究型教學法、基于數學文化的教學法、HPM教學法等五種常用的數學教學法，幫助教師形象直觀地了解和理解復雜、深奧的數學教育原理，提高課堂教學效益。

【關鍵詞】教學方法;主題教學法;數學文化;教育理論

【作者簡介】劉祖希，華東師范大學出版社副編審，新青年數學教師工作室主持人，全國數學科學方法論研究交流中心副秘書長兼學術委員會副主任，主要從事數學教育研究。

《數學寫真集——無需語言的證明》一書由許多“無需語言的證明”的圖片組成，書中許多“證明”——圖形令人拍案叫絕，充分顯示了：“有什么比用插圖來展現一個個重要的數學知識點更好的主意呢？”[1]因此，筆者通過圖說五種常用的數學教學法，幫助教師形象直觀地了解和理解復雜、深奧的數學教育原理。

一、數學主題教學法

跨章節的主題教學，也稱單元教學、整體教學，越來越受到人們的重視，那么如何進行數學主題教學設計呢？ 一般來說，主題教學設計可

大致分為三個階段和五個環節（如圖1）。三個階段包括：前期準備、開發設計、評價修改。五個環節包括：確定主題內容，分析教學要素，

編制主題教學目標，設計主題教學流程，評價、反思及修改。其中的“分析教學要素”環節是主題教學設計前期準備階段的重點環節，也是“編制主題

圖1 主題教學設計

教學目標”環節的前提。其包括六個方面：教學內容分析、課程標準分析、學情分析、教材分析、重難點分析、教學方式分析。[2]171-172

教師在實施數學主題教學法時，需注意以下辯證關系。

（1）新舊教學法的辯證。主題教學法并非全新的教學法，20世紀80年代已廣泛出現在我國中小學各學科的課堂之上。現在重新重視它的理由是為了深化以主題教學為載體的學科教學，將其上升到學科教研的統領地位，而不僅僅作為課堂教學的方法和手段。

（2）主題教學目標、課程教學目標、課時教學目標三者之間是中觀、宏觀、微觀的辯證關系。主題教學法強調知識的邏輯性、系統性，相較于課時教學法，其課程內容開始走向封閉的學科知識，課程難度明顯加大。如果學生的學習活動缺乏必要的生活經驗作為支撐，就會感受不到課程內容的現實意義，難以產生強烈的學習動機。因此，主題教學法要與課時教學法結合使用，兩者相輔相成。

二、數學“情境—問題”教學法

2000年，貴州師范大學呂傳漢、汪秉彝教授提出中小學數學“情境—問題”教學法（如圖2）。

該教學法源于1997—1999年貴州師范大學與美國華人數學教育學者蔡金法教授合作開展的中美學生“數學問題提出與解決”的跨文化研究。它是植根于中國、具有中國特色并借鑒了發達國家先進教學經驗的現代課堂教學法。數學“情境—問題”教學法包括以下四個環節。

（1）設置數學情境。數學情境已成為一節數學課的起點，這一要求被寫入了我國《義務教育數學課程標準》和《普通高中數學課程標準》。數學情境是滋養學生學習興趣的土壤，觀察和分析數學情境是下一個環節——提出數學問題的基礎。

（2）提出數學問題。這一環節經過探究和猜想，發現和提出數學問題，而且所提出的問題又可以作為一個新的數學情境。發現和提出數學問題與下一個環節——解決數學問題相互補充。

（3）解決數學問題。這一環節運用數學知識、方法、經驗分析和解決問題。但這一環節并非問題的結束，允許和鼓勵學生對問題的解答提出不同的意見，從而產生（發現）和提出新的數學問題。

（4）注重數學應用。這一環節應用數學知識解決數學問題或實際問題，其本身也是一個解決數學問題的過程。在數學知識的應用過程中也可以提出有意義的數學問題，而一個好的數學應用問題又構成一個好的數學情境。

綜上所述，數學“情境—問題”教學法的四個環節密切聯系，相互依存，構成了“情境—提問—解決—應用—情境……”的教學鏈，這是一個前后貫通，不斷延伸的、開放式的、動態的教學系統。具體教學中既可以從某一環節切入，也可以在某個適當的環節結束。簡而言之，數學“情境—問題”教學法是以數學情境為基礎、以數學問題為紐帶的教學[3-5]。

三、數學研究型教學法

浙江臺州教研室的特級教師李昌官博士提出了數學研究型教學法（如圖3），該教學法與創造性思維過程吻合、與學生的認知規律和年齡特征吻合、與培養核心素養的目標吻合。

數學研究型教學法包括五個環節。

（1）呈現背景，提出問題。這一環節中教師通過設置現實情境、數學情境或科學情境，引導學生發現并提出與教學目標相關的數學問題。此環節的教學功能是幫助學生感悟數學產生的背景和意義，提高發現問題和提出問題的能力。

（2）聯想激活，尋求方法。這一環節中教師引導學生展開合理聯想、激活知識儲備、調動已有經驗，探索解決問題的思路和方法。此環節的教學功能是引導學生運用數學的知識技能、思想方法、活動經驗進行探究，并綜合運用有關知識分析問題和解決問題。

（3）提出猜想，驗證猜想。在這一環節中，教師鼓勵學生用歸納、類比等合情推理的手段，大膽提出問題的結論（猜想）或解決方案，執行并適時調整方案，最終驗證結論（猜想）或解決問題。此環節的教學功能是培養學生“大膽假設，小心求證”的科學精神，享受科學探索與發現的樂趣。

（4）運用新知，鞏固內化。在這一環節中，教師引導學生運用所獲得的數學知識（數學概念、性質、定理等）及思想方法，解決例題或教師布置的新任務，在運用中辨析它們的內涵與外延，鞏固內化數學知識。此環節的教學功能是引導學生在應用數學的過程中深化對新知識的理解，同化新舊知識，形成新的數學技能。

（5）回顧反思，拓展問題。在這一環節中，學生借助教師提供的框架，自主回顧、梳理本節課的知識與技能、過程與方法、情感體驗，反思問題與不足，提出有待解決或更有價值的問題。此環節的教學功能是更新與完善學生的知識結構，增長數學活動經驗，達到數學育人的目的。

數學研究型教學法的五個環節是針對多數教學內容而言的，根據實際教學過程又能演繹出多種“變式” [6]。

四、基于數學文化的教學法

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展，還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動[2]9。

雖然我國關于數學文化的學術研究已經開展了很多年，但這大概是首次給出的數學文化的官方定義。《普通高中數學課程標準（2017年版）》還要求把數學文化融入課程內容，實現從學術到課程的轉變[7]。

浙江師范大學張維忠教授等給出了基于數學文化的教學法，該教學法包括四個環節：經驗觸動、數學化理解、多領域滲透、回顧反思（如圖4）。

其中每個環節都立足于特定的數學教學內容，建立與數學史、數學美、數學應用、其他學科知識、社會文化知識等的聯系，并依賴學生個人經驗、尊重學生主體地位，實現數學教學三因素（數學、教師、學生）的互動與整合。

基于數學文化的教學法具有開放性、過程性、文化性、整合性等特點。教師在數學教學過程中運用該教學法需注意其適切性[8]。

五、HPM教學法

HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數學史與數學教育）的簡稱，其主要是利用數學史促進數學教育。1972年，在英國埃克塞特舉辦的第二屆國際數學教育大會（ICME2）上，成立了數學史與數學關系國際領導小組，HPM作為一個研究領域正式出現。

國內較早進行HPM研究的是華東師范大學張奠宙教授。1998年，他去法國馬賽參加了HPM會議，回國后即撰文介紹HPM，呼吁國內重視數學史在數學教育中的應用。此后HPM在我國蓬勃發展。

汪曉勤教授研究團隊開發了100多個HPM教學案例，總結了數學史融入數學教學（HPM）的課例研究流程（如圖5），形成了HPM教學法，具體案例可參考本刊特設專欄“HPM課例研究”。

汪曉勤教授研究團隊還探索出一條高校教師、中小學教師（包括教研員）和職前教師（數學師范生）相結合的合作研究模式，形成了“一二三四五六”框架的HPM教學理論，即一個視角（在HPM視角下進行教學）、兩座橋梁（數學與人文、歷史與現實）、三維目標（教師專業發展的三個維度——知識、信念和能力）、四種形式（附加式、復制式、順應式、重構式）、五項原則（趣味性、科學性、可學性、有效性、人文性）、六大價值（呈現知識之諧、展示方法之美、營造探究之樂、揭示文化之魅、提供能力之助、彰顯德育之效） [9]。

教貴有法，教無定法。本文圖說的五種常用的數學教學法僅供參考，教師可以根據教學實際選用不同的，甚至多種的教學法，提高課堂教學效益。

參考文獻：

[1]尼爾森.數學寫真集（第1季）：無需語言的證明[M].肖占魁，徐沙鳳，譯.北京：機械工業出版社，2014.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]呂傳漢，汪秉彝.論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習[J].數學教育學報，2001（4）：9-14.

[4]呂傳漢，汪秉彝.再論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習[J].數學教育學報，2002（4）：72-76.

[5]楊孝斌，呂傳漢，汪秉彝.三論中小學“數學情境與提出問題”的數學學習[J].數學教育學報，2003（4）：76-79.

[6]李昌官.高中數學研究型教學實踐與探索[J].課程·教材·教法，2018 （1）：86-90，114.

[7]劉祖希.《普通高中數學課程標準（2017年版）》之新變[J].中學數學教學參考，2018（25）：1.

[8]張維忠，徐曉芳.基于數學文化的教學模式構建[J].課程·教材·教法，2009 （5）：47-50.

[9]汪曉勤.HPM：數學史與數學教育[M].北京：科學出版社，2017.

（責任編輯：陸順演）