一個力學問題的巧妙處理及外延類比

鄔晨海

(上海市曹楊第二中學，上海 200062)

圖1

將長為2d的不可伸長的輕繩兩端固定在相距d的A、B兩個等高點,繩上掛一個理想小滑輪P,戰士們相互配合,沿著繩子滑到對面,如圖1所示,此時戰士甲拉住滑輪,讓質量為m的戰士乙吊在滑輪上,腳離地,處于靜止狀態,此時AC豎直,然后戰士甲從靜止釋放,不計繩與滑輪的、滑輪軸心的摩擦以及戰士與空氣的阻力,不計繩與滑輪的質量,求:戰士乙滑動過程中的最大速度．

戰士甲從靜止釋放后,戰士乙在重力和繩子拉力的共同作用下向右滑動.由于動點C到兩個懸點A、B(定點)的距離之和為常數L,L為繩子的總長度,維持不變,故乙的運動軌跡為橢圓．戰士乙在向右滑動的過程中機械能是否守恒呢?

做功的過程就是能量轉移、轉化的過程.甲物體對乙物體做功的物理意義是甲把能量傳遞給乙 的過程:人爬樓梯,樓梯沒有對人做功,因為樓梯沒有對人提供能量的本領;同理,一根孤立的繩子不可能對其他物體做功,因為它不可能對其他物體提供能量.上述情景中的繩子不可能對人做功,因為它不可能對戰士乙提供能量,因此戰士乙的機械能守恒．

平時所看到的繩子做對物體做功,我們可能看到的只是繩子的一部分,繩子的末端有人或者機械(未畫出)通過繩子對物體做功,人或者機械才是能量的來源,在這類過程中繩子只是傳遞能量而不輸出能量．

繩子沒有對戰士乙做功,繩子對滑輪及人的作用力F和戰士乙的速度v方向垂直,F位于繩子AC與BC的角平分線上,速度v的方向沿橢圓的切線,F的指向是動點C到定點A、B的連線的角平分線．

上述力學情景讓人聯想到橢球面反射鏡具有這樣的特點: 任意一個焦點發出或通過該焦點的光,經橢球面反射鏡后都匯聚到另一個焦點．圖2中入射光線AC對應圖1中的TAC,反射光CB對應于圖1中的TCB;入、反射光線分居在法線兩側,與法線的夾角相等;滑輪兩側繩子拉力大小相等,它們分居在合力F的兩側,與合力F的夾角相等．

圖2

這一光學特征在生活中有很多的應用,醫學上的體外碎石技術就是其中的一例(圖3)．醫學上用來對付腎結石,讓腎結石位于橢圓的一個焦點位置,在另一個焦點位置處釋放高能沖擊波,經橢圓面反射后集中在腎結石上,將其擊碎,實現碎石．該方法具有不開刀、無痛苦、無副損傷、易排除、治療時間短等優勢,臨床上得到廣泛應用．

圖3

上述兩例物理情景不禁讓人想起數學上有如下的命題:橢圓上任意一點C,(圖2過C點的切線和CA、CB的連線的夾角的角平分線垂直(A、B為該橢圓的兩個焦點)

數學方法論證如下:設橢圓方程為

(1)

C(x0,y0)為橢圓上任意一點,過C點作橢圓的切線L,L與CA的夾角為α,與CB的夾角為β,A(-c,0)、B(c,0)為橢圓的左、右焦點．

(2)

如果L的斜率存在,設L的斜率為k,則L的方程為

y=k(x-x0)+y0.

(3)

把(3)式代入(1)式得

b2x2+a2[kx+(y0-kx0)]2=a2b2.

即

(b2+a2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.

因為L為切線,故Δ=[2a2k(y0-kx0)]2-4a2(b2+a2k2)[(y0-kx0)2-b2]=0.

化簡得

(a2-x02)k2+2kx0y0+b2-y02=0.

(4)

把(2)式代入(4)式得

上述過程求過C點的橢圓的切線的斜率,非常繁瑣,如果用高等數學則過程大大的簡化.

對x求導

CE是∠ACB的角平分線,∠ACE=∠BCE,α=β,

∠ACE+α+∠BCE+β=180°，

∠ACE+α=90°，CE⊥L.

物理學發展的歷史上,通過類比,指引未知領域的研究屢見不鮮,牛頓引力理論加速了庫侖定律的發現就是一例.著名的庫侖扭秤為了探索電作用力與距離的關系而發明的,扭秤的精致和巧妙設計受到科學史家的普遍關注,可事實上,庫侖腦子里早已有了電作用力與距離平方成反比的思想框架,設計扭秤實驗只是為了印證這一想法．聯想、類比既可以是學科內的,也是可以跨越學科界限的,它是我們認識未知世界的一種重要的工具．