化歸思想在高中數學解題中的應用研究

王宏利

(福建省光澤第一中學 354100)

高中數學試題類型復雜多變，運用直接轉化法、換元法、數形結合法、構造法等進行化歸，可降低數學試題難度，大大提高解題正確率，因此，授課中應注重這些化歸方法及其應用講解，提高學生化歸思想應用意識，使其掌握這一解答數學問題的重要技巧.

一、直接轉化法的應用

直接轉化法是一種將數學問題轉化為基本公式、基本定理順利求解數學問題的方法.為使學生能夠熟練應用這一化歸方法，一方面，授課中為學生深入講解基本公式，基本定理，使其既要牢固記憶，又要清楚其來源，積累豐富的基礎知識.另一方面，結合具體題目，講解直接轉化法的應用，使學生體會應用過程，掌握應用技巧.

二、換元法的應用

換元法指通過引入新的變量將分式化為整式、將高次化為低次，簡化解題過程的一種方法.換元法在方程、不等式、函數等試題中應用廣泛.為使學生掌握該化歸方法，一方面，講解換元常用方法，包括均值換元、三角換元、局部換元等，細致剖析各種換元形式以及應注意的問題.另一方面，優選經典題目，為學生講解換元法的應用，掌握換元技巧，提高解題正確率.

例2已知x、y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為：____.

該題目題干較為簡單，但如不會進行化歸很難解答.認真觀察題干特點，可采用三角換元法進行解答.

三、數形結合法的應用

數形結合法是通過建立“形”與“數”之間的相互聯系，進行巧妙轉化，解答數學問題的一種回歸方法.數形結合法可簡化解題步驟，提高解題效率.為使學生靈活應用該種方法，一方面，講解“形”與“數”轉化的實現途徑.如“形”向“數”轉化可采用向量法、構建坐標系等方法.“數”向“形”的轉化則主要根據經驗利用函數以及平面、立體幾何知識繪制對應圖形.另一方面，圍繞具體例題，講解數形結合法在解題中的應用，使學生體會數形結合法解題的簡便之處，認真學習與應用數形結合法解題.

圖1

四、構造法的應用

構造法指結合已學知識以及經驗，構造一個合適的數學模型，將問題變為易于解決的問題.構造法對學生的綜合能力要求較高，為使其靈活應用，教學中，一方面，注重講解常用構造法，包括構造一次函數、二次函數、構造向量等，加深學生對構造法的理解，掌握構造法精髓.另一方面，結合具體習題，鼓勵學生采用構造法求解，并給予學生相關指導，樹立應用構造法解題的自信，提高學生構造法應用技巧及應用能力.

例4已知等比數列{an}中a1=2，a8=4，函數f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，f′(0)=( ).

A.26B.29C.212D.215

該題目技巧性較強，很多學生感覺無從下手，因此，授課中引導學生認真觀察已知條件，提示其使用構造法進行求解.事實上，通過構造函數f(x)=xg(x)而后運用整體代換與數列性質不難求解.

令g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，則f(x)=xg(x)，兩邊求導得到：f′(x)=g(x)+xg′(x)，∴f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8.

又∵{an}為等比數列，a1=2，a8=4，∴由等比數列性質可得，f′(0)=g(0)=a1·a2·…·a8=(2×4)4=212.正確選項為C.

化歸思想是解答高中數學試題的重要思想，涉及的化歸方法較多，其中直接轉化法、換元法、數形結合法、構造法較為常用.授課中既要注重化歸思想以及常用方法的講解，使學生儲備豐富的理論知識，又要結合具體例題，講解化歸方法的應用，使其掌握化歸方法應用技巧，提高高中數學解題能力，為數學成績的提高奠定堅實基礎.