線性方程組在實際問題中的應(yīng)用*

王艷萍 李 杰

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 安徽 宿州 234000)

引言

針對代數(shù)學(xué)中理論知識點已經(jīng)有許多教材詳細講解[1-2],但教材中實際案例卻少之甚少。近年來，許多學(xué)者也將代數(shù)學(xué)中的知識點應(yīng)用到實際問題中去[3-4]。線性方程組是代數(shù)學(xué)中重要的知識點，針對這類知識點，本文給出具體實際案例，將理論與實際相結(jié)合，既結(jié)合了學(xué)科之間的應(yīng)用，又結(jié)合了生活中常見的實際問題。

1.線性方程組在實際問題中的應(yīng)用

1.1 齊次線性方程組。

例1:磷酸鈉和硝酸鋇溶液混合時產(chǎn)生磷酸鋇沉淀和硝酸鈉。請利用所學(xué)線性方程組知識，配平如下化學(xué)方程式Na3PO4+Ba(NO3)2→Ba3(PO4)2+NaNO3。

解 假設(shè)配平后化學(xué)方程式的系數(shù)分別為x1，x2,x3,x4,即

x1Na3PO4+x2Ba(NO3)2=x3Ba3(PO4)2+X4NaNO3，

由方程式的平衡，則3x1=x4,x1=2x3，x2=3x3,2x2=x4對齊次線性方程組的系數(shù)矩陣并進行初等行變換可得方程組的通解為x1=1/3x4,x2=1/2x4,x3=1/6x4。由于化學(xué)方程式的系數(shù)只能取正整數(shù)，因此取x4=6，得x1=2,x2=3,x3=1，所以平衡的化學(xué)方程式為2Na3PO4+3Ba(NO3)2=Ba3(PO4)2+6NaNO3。

1.2 非齊次線性方程組。

例2:下圖是宿州市某日單位時段內(nèi)四條主要干道單向車輛的流量圖。請利用所學(xué)線性代數(shù)知識，解決以下問題。

(1)給出圖中所有流量的滿足的關(guān)系式。

(2)由于道路設(shè)施等原因，圖中x1至x5的單位時段內(nèi)的車流量最大不能超過500。請利用線性方程組理論，說明如何控制x1至x5中的某一個流量，使得5個路段的單位時間內(nèi)流量x1至x5都不超過500。

解 交叉點的車流是平衡的，A點：x1+x2=300+500；B點：x2+x4=x3+300；C點：x4+x5=100+400；D點：x1+5=600。它們滿足線性方程組，對它的增廣矩陣進行初等行變換，可得方程組的通解為x1=600-x5,x2=200+x5,x3=400,x4=500-x。

要使得x1至x5都不超過500，則100≤x5≤300。