二重積分一題多解的方法總結(jié)

【摘 要】二重積分一般是利用直角坐標或者極坐標進行計算。本文中，筆者通過一道二重積分的例題，發(fā)散思維，給出四種解法，總結(jié)四種方法的使用條件和需要注意的地方。

【關鍵詞】二重積分;極坐標;坐標變換

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0014-02

二重積分是高等數(shù)學中多元函數(shù)積分學的重要組成部分。學習二重積分，需要具備扎實的空間解析幾何基礎和良好的定積分運算能力。在高等數(shù)學課堂教學中，數(shù)學教師一般是利用直角坐標系和極坐標系將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分進行計算，導致學生思維固化，題目稍微變化就無從下手。尤其是在研究生入學考試中，題目的靈活性使得學生無從應對。本文中，筆者通過一道例題的四種解法，總結(jié)二重積分的解題技巧，并且給出每種方法的使用條件和需要注意的地方。

例題：計算積分，其中由不等式所確定。

1? ?利用極坐標系

在二重積分計算中，將直角坐標變換為極坐標的公式為

。

解法1：積分區(qū)域如圖1，是一個圓心在處，半徑為的圓，積分區(qū)域的極坐標方程為。

于是

解法1用的是常規(guī)的極坐標變換，但是計算量比較大，同時需要有扎實的定積分計算功底。該解法涉及定積分的周期公式、三角函數(shù)的和差化積公式和降冪公

式等。

解法2：由可得，令，則積分區(qū)域D的范圍是，故

。

解法2利用的依然是極坐標的變換，只不過出發(fā)點變了，相當于觀察者站在圓心處去觀察積分區(qū)域D，解法1是觀察者站在原點處觀察。所以在解法2中相當于把坐標系平移了，平移以后會發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域中兩個積分變量和的上下限都變成了常數(shù)，這樣便大大簡化了計算過程。但是和解法1一樣，這里也利用了三角函數(shù)的定積分公式，。解法2適用于積分區(qū)域是個圓，且圓心不在原點處，轉(zhuǎn)化后積分上下限可變?yōu)槌?shù)的情況。

2? ?二重積分的換元法

考研大綱中并沒有要求學生掌握二重積分的換元

法[1]，但是在某些情況下，利用換元法能夠很好地進行簡化計算。

解法3：由可得，令，根據(jù)雅可比行列式

，

故利用公式有

。

解法3應用的是二重積分換元法，從計算量上來看，比解法1和解法2要少很多。這里用到了積分區(qū)域的對稱性，換元后，積分區(qū)域D'關于u軸和v軸對稱，所以被積函數(shù)關于v和u是奇函數(shù)的二重積分等于零。實際上，極坐標變換也屬于二重積分的換元法，利用雅可比行列式計算完以后等于。本題中x，y是有關u，v的線性函數(shù)，也稱之為線性變換。

3? ?利用形心公式

設有一平面薄片，在平面上占有區(qū)域，其上

每一點的面密度為。若在上連續(xù)，

且平面上點處有一質(zhì)量為的質(zhì)點，則該薄片的質(zhì)心坐標為：

。

當面密度時，質(zhì)心坐標變?yōu)樾涡淖鴺恕?/p>

解法4：由于積分區(qū)域關于對稱，所以有，其中

，，因此

。

解法4巧妙地將二重積分的區(qū)域轉(zhuǎn)換對稱性和形心公式相結(jié)合，大大簡化了二重積分的計算[2-5]。這種做法的條件是題目中恰好出現(xiàn)形心公式的一部分，但對公式的掌握要求較高。

二重積分的計算方法有很多種，本文通過一道題的四種解法介紹了極坐標變換，從兩種角度進行變換的技巧，還有換元法中的線性變換以及利用形心公式解題的技巧。當然計算二重積分還有其他方法，如兩個定積分的乘積、分部積分等。每種方法都有各自的特點，學習時要發(fā)散思維，靈活運用方法化簡二重積分。

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試輔導用書編委會.考研數(shù)學基礎復習全書[M].高等教出版社，2012.

[3]白旭亞，趙微.二重積分的簡便計算[J].大慶師范學院學報，2018（3）.

[4]陳丹丹.簡化積分計算的一類方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2018（8）.

[5]鄭劍平.計算二重積分的幾種簡便方法[J].赤峰學院學報（自然科學版），2019（5）.

【作者簡介】

楊德彬（1982～），女，黑龍江齊齊哈爾人，碩士，副教授。研究方向：應用數(shù)學。