三重積分的教與學(xué)

【摘 要】三重積分的計(jì)算，主要是考慮如何對(duì)其進(jìn)行降維處理。本文提出采用微積分中微元法的思想，用“土豆條法”（投影法）和“土豆片法”（截面法）更加形象直觀地解決三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算和柱面坐標(biāo)計(jì)算問(wèn)題，以期提高教學(xué)效果。

【關(guān)鍵詞】三重積分;投影法;截面法

【中圖分類號(hào)】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2020）34-0016-03

在《高等數(shù)學(xué)》課程[1]的教學(xué)內(nèi)容中，三重積分的計(jì)算是重難點(diǎn)，教材中對(duì)于三重積分的解法，一般分為直角坐標(biāo)法（投影法、截面法、三次積分法）、柱坐標(biāo)法、球坐標(biāo)法，不同的應(yīng)用題型（如不同的積分區(qū)域、不同的被積函數(shù)）往往需要用不同的求解方法，然而積分題型太多，且有些積分區(qū)域復(fù)雜，導(dǎo)致大部分學(xué)生難以掌握，甚至部分學(xué)生連圖形都難以畫出[2-3]。因此在教學(xué)中如何用形象直觀、淺顯易懂的方式教會(huì)學(xué)生快速牢固掌握三重積分的計(jì)算，是需要認(rèn)真思考并解決的問(wèn)題。本文提出把三重積分m f （x，y，z）dz都看作密度為 f （x，y，z），所占空間為的物體的質(zhì)量，采用微積分中微元法的思想，引用“土豆片法”和“土豆條法”解決三重積分的除球坐標(biāo)法以外的三重積分計(jì)算問(wèn)題，這樣更加形象直觀，且能簡(jiǎn)化傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中種類繁多的三重積分計(jì)算類型，使學(xué)生更加容易理解和掌握，極大地提高教學(xué)效果。

1? ?三重積分的計(jì)算方法

1.1? “土豆片法”（截面法）

如圖1所示，計(jì)算三重積分m f （x，y，z）dz時(shí)，可把它看成計(jì)算密度為 f （x，y，z），外形為的一顆土豆的質(zhì)量，考慮把它從垂直于z軸的方向切成土豆薄片Dz，每一片Dz的厚度非常小為dz。此時(shí)先計(jì)算土豆片Dz的質(zhì)量，可看成是平面薄片的質(zhì)量 f （x，y，z）乘以厚度dz，即 f （x，y，z）dxdydz;然后把所有土豆片的質(zhì)量加起來(lái)就得到整顆土豆的質(zhì)量，即m= f （x，y，z）dxdydz。

由此得到

f （x，y，z）dz f （x，y，z）dxdydz，從而把三重積分降維，簡(jiǎn)化成先計(jì)算二重積分，再計(jì)算定積分。因此教材上也把此種“土豆片法”稱為截面法或“先二后一法”。

1.2? “土豆條法”（投影法）

如圖2，在計(jì)算三重積分m= f （x，y，z）dv時(shí)，可考慮把它垂直于xOy的面切成豎狀細(xì)土豆條，所有豎狀土豆條在xOy面上所占的位置即整顆土豆在xOy面上的投影區(qū)域，記為D，每一根土豆條的粗細(xì)即在地面的投影，記為dxdy，土豆條的高度為z1（x，y）到z2（x，y）。此時(shí)先計(jì)算土豆條的質(zhì)量，可看成是從下端z1（x，y）到上端z2（x，y）的一根細(xì)線的質(zhì)量 f （x，y，z）dz乘以粗細(xì)dxdy，

即 f （x，y，z）dzdxdy;然后把區(qū)域D上所有土豆條的質(zhì)量加起來(lái)得到整顆土豆的質(zhì)量，即m=

f （x，y，z）dzdxdy。

由此得到， f （x，y，z）dz f （x，y，z）dzdxdy。

從而把三重積分降維，簡(jiǎn)化成先計(jì)算定積分再計(jì)算二重積分。因此教材上也把此種“土豆條法”稱為投影法或“先一后二法”。

2? 典型應(yīng)用題例

例1：計(jì)算三重積分xdxdydz，其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域，如圖3所示。

該題可以采用“土豆條法”（投影法），記土豆在xOy面上的投影為D，切出的土豆條的下端在的下底面為z1（x，y）=0，上端在上底面為z2（x，y）=1-x-2y，從而

xdzdxdy

x（1-x-2y）dxdy

（1-x-2y）dy

（x-2x2+x3）dx。

通過(guò)此題看出，三次積分法可看成是：投影法/截面法+二重積分的直角坐標(biāo)法。

例2：計(jì)算三重積分z2dxdydz，其中=，如圖4所示。

該題可以采用“土豆片法”（截面法），記在z位置垂直于z軸切（截）出來(lái)的土豆片（截面）為Dz=，

從而

dxdydz

dxdydz

dz。

其中，為橢圓形的土豆片（截面）Dz的面積，為。

例3：計(jì)算三重積分dxdydz，其中為由柱面x2+y2=2x及平面z=0，z=a（a>0），y=0所圍成半圓柱體，如圖5所示。

該題可以采用“土豆條法”（投影法），記土豆在xOy面上的投影為D，切出的土豆條的下端在的下底面為z1（x，y）=0，上端在上底面為z2（x，y）=a，從而

dzdxdy

dxdyzdz

dxdy

dd。

例4：計(jì)算三重積分，其中由拋物面與平面所圍成，如圖6

所示。

該題可以采用“土豆條法”（投影法），記土豆在xOy面上的投影為D，切出的土豆條的下端在的下底面為，上端在上底面為z2（x，y）=h，從而

dzdxdy

dxdydz

dxdy

dd

。

通過(guò)例3和例4可看出，柱面坐標(biāo)法可看成：投影法/截面法 + 二重積分的極坐標(biāo)法。

3? ?結(jié)束語(yǔ)

在教學(xué)三重積分的計(jì)算時(shí)，先用“土豆條法”（投影法）和“土豆片法”（截面法）掌握三重積分微元法的基本思想方法，再針對(duì)具體三重積分的計(jì)算題例，考慮用“土豆條法”還是“土豆片法”去進(jìn)行降維處理，得到一元與二元積分，進(jìn)一步考慮把二元積分是用直角坐標(biāo)法（X型/Y型）還是用極坐標(biāo)法降維變成二次積分，最終求出其結(jié)果。通過(guò)這種方式，把三重積分計(jì)算中的投影法、截面法、三次積分法和柱面坐標(biāo)法歸納成了“土豆條法”（投影法）和“土豆片法”（截面法），既能精簡(jiǎn)三重積分的計(jì)算類型，還能使學(xué)生更容易接受、理解和應(yīng)用，極大地提高教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版，下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]徐俊麗，趙勇.三重積分計(jì)算的投影法與截面法的分析[J].青島科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018（8）.

[3]程文韜.三重積分降維解法研究[J].教育現(xiàn)代化，2019（8）.

【作者簡(jiǎn)介】

周正松（1987～），男，碩士，講師。研究方向：不確定性信息處理的數(shù)學(xué)。