探究衛星沿橢圓軌道運動的兩個有趣問題

鄭 金

(凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

在貴刊2014年第7期發表的《為什么發射速度越大線速度越小》一文中，應用機械能守恒定律和引力勢能公式定量推導了衛星做勻速圓周運動的線速度與發射速度的數量關系；利用離心現象理論說明了衛星沿橢圓軌道運動到某一位置時改變衛星運動方向可做圓周運動，此時萬有引力恰好等于所需的向心力.不僅解答了疑難問題，而且提供了解題的兩條途徑，即從能量觀點和動力學觀點分別進行解析，但沒有明確得出衛星沿橢圓軌道運動到何處變軌才能恰好做圓周運動.再者，只論證了衛星做圓周運動的線速度隨高度變化的關系，而沒有論證衛星沿橢圓軌道運動到遠地點時的速度如何隨高度變化的關系.下面應用機械能守恒定律和天體橢圓運動的機械能公式對這兩方面問題進行舉例分析.

對于在半長軸為a的橢圓軌道上運行的衛星，在從近地點運動到遠地點的過程中機械能守恒，即

由角動量守恒定律有mv1r1=mv2r2，聯立方程可得衛星在遠地點時的動能為

可知衛星的機械能為

可見，沿橢圓軌道運動衛星的機械能公式跟沿圓周軌道運動衛星的機械能公式很相似，而且都為負值.

1 衛星在橢圓軌道何處變軌才能做圓周運動

當衛星沿橢圓軌道運行到頂點時，只有當發動機提供動力突然加速時才能沿切線方向做圓周運動.另一種情況是，當衛星沿橢圓軌道運行到某高度處時保持速率不變而改變運行方向，使衛星受到的萬有引力恰好等于所需的向心力而做勻速圓周運動.那么當衛星運動到離地面的高度為多大時，或者說衛星在橢圓軌道何處變軌時，才能恰好做圓周運動呢？為了回答這個問題，可通過一道例題來分析說明.

圖1

例1.如圖1所示，兩顆質量相等的人造衛星分別在圓軌道和橢圓軌道上繞地球運動，兩軌道和地心O在同一平面內，軌道的交點為C、D.已知橢圓軌道的半長軸為a，如果兩顆衛星先后運動到軌道交點C時的速率相等，那么軌道交點到地心的距離為多少？

由橢圓的定義可知短軸端點到焦點的距離等于半長軸，而圖1中的圓周半徑OC恰好等于橢圓的半長軸，因此交點C是橢圓短軸的端點，所以兩個交點平分橢圓軌道.有趣的是，只要圓周半徑恰好等于橢圓的半長軸，兩顆衛星運動的周期就相等，這與開普勒第三定律是一致的.

綜上可知，對于沿橢圓軌道運行的衛星，只要變軌位置在橢圓短軸的端點，或者說到地心的距離等于橢圓的半長軸，且在此處保持衛星的速率不變，僅改變速度方向，使速度垂直于此處與地心的連線，那么衛星即可繞地心做勻速圓周運動.若衛星在同一近地點的速度越大，則橢圓的半長軸就越長，那么使衛星恰好能做圓周運動而變軌的位置就越高，對應的圓周半徑就越大，在此處的速度就越小.

2 衛星在遠地點的速度如何隨橢圓長軸而變化

如果衛星在近地點時被發動機加速，變軌到更高的橢圓軌道，那么到達遠地點時的速度也增大嗎？或者說，如果衛星分別沿兩個相切于近地點的橢圓軌道運動，那么到達遠地點時的速度哪個較大？下面進行舉例說明.

圖2

例2.如圖2所示，兩顆質量相同的衛星運行的橢圓軌道在同一平面內相切于同一近地點A，這相當于同一衛星在近地點的發射速率不同，沿不同的橢圓軌道運動.設地球的質量為M，半徑為R，衛星在近地點時到地面的距離為h，試求： (1) 衛星在不同遠地點時的機械能總量哪個較大？(2) 衛星在不同遠地點時的速度哪個較大？

橢圓的長軸為2a=H+2R+h，所以

由于橢圓軌道1的長軸較小，因此衛星在遠地點時的速度較大.

式中只含有一個未知量a，由此可見，若橢圓軌道半長軸的長度越大，則衛星在遠地點時的速度就越小.對于沿橢圓軌道運行的衛星，若在同一近地點時的速度越大，則在遠地點時的高度就越大，那么在遠地點時的速度就越小.

從解題過程可見，在應用機械能守恒定律解答有關以地心為焦點的橢圓運動問題時，可直接利用地球衛星做圓周運動的機械能公式和天體沿橢圓運動的機械能公式列方程.這種方法在解答物理競賽題時應用比較廣泛，而且能化繁為簡.