數據驅動的跨臨界CO2熱泵多目標優化設計

李恩騰，徐英杰，謝小東，范偉

（浙江工業大學機械工程學院，浙江杭州310023）

隨著人們生活品質的提高，家用熱水的需求量也在不斷增加，然而在國內熱水超過90%都是直接燃燒化石燃料加熱，造成了嚴重的環境污染與破壞[1-2]。因此，高效清潔的跨臨界CO2熱泵熱水器具有較大開發價值。CO2具有的天然環保特性以及跨臨界CO2熱泵系統對于加熱高溫熱水表現出來的巨大優勢，使得跨臨界CO2熱泵熱水器在住宅中的應用具有廣闊的前景[3]。然而跨臨界CO2熱泵熱水器也存在一定的問題；首先，跨臨界CO2熱泵熱水器的投資成本太高，遠遠高于電、燃氣、太陽能熱水器的成本，很難被普通用戶所接受[4]；其次，跨臨界CO2熱泵熱水器的儲熱水箱會占用較大的室內空間，給用戶的使用帶來很大不便。因此，CO2熱泵熱水器需要綜合考慮經濟性和實用性，對設備的性能和設計進行優化改進。

Lorentzen 與Pettersen[5-6]率先對CO2跨臨界循環進行了研究，研究表明CO2熱泵系統在性能上可以達到較高的性能系數（COP），能滿足高溫熱水生產的需要，并且比電熱水器和燃氣熱水器減少約75%的能源消耗；此外對于未來環境問題而言，也避免許多不確定性因素的產生。Saikawa 和Koyama[7]從理論上研究了各種制冷劑單級壓縮熱泵循環的COP 上限，發現制冷劑CO2具有最高的COP。Qi 等[8]進行了一項評估跨臨界CO2空氣源熱泵熱水器最佳排氣壓力的實驗研究，以實現系統的最佳性能。Nawaz等[9]研究了CO2熱泵熱水器水循環速率對水箱中水溫分層的影響，表明這是可以提高CO2熱泵系統性能的關鍵因素。Fernandez 等[10]發現跨臨界CO2熱泵熱水器的熱水在水箱中長期儲存，由于熱傳導的影響會使中溫水區域擴大導致系統性能下降。為了解決該問題，Ohkura等[11]采用了從跨臨界CO2熱泵水箱側面提取溫水的方法來克服系統性能下降的缺點，同時使用數值模擬分析了這種跨臨界CO2熱泵改進水箱的加熱系統性能，并通過實驗驗證其有效性。以上研究的重點主要集中在優化跨臨界CO2熱泵系統的性能系數，然而單從性能這一參數上進行優化，可能會造成?損和經濟成本的增加，所以對跨臨界CO2熱泵進行多目標優化具有重要的現實意義。

Rezayan 和Behbahaninia[12]對CO2/NH3級聯熱泵循環進行了?分析和經濟性優化，在制冷量、環境溫度和制冷空間溫度約束下，以最大限度地降低該級聯系統的總年度成本。結果表明，與基礎的設計系統相比，該優化系統的總成本降低了9.34%。雖然該系統對?進行了分析，但僅對單一的經濟成本進行優化，無法滿足用戶的多元化需求。Fazelpour和Morosuk[13]從跨臨界CO2熱泵的性能和成本角度進行了優化分析，采用經濟器作為單級跨臨界CO2熱泵的輔助裝置降低了14% 的最終成本。Aminyavari 等[14]采用遺傳算法對CO2/NH3級聯制冷系統的?效率、經濟性和環境影響進行了系統優化。優化結果表明，對于制冷量為50kW的工廠案例，Pareto 前沿選擇的最佳設計?效率為45.89%，年度總成本為277070USD/a；但是該優化過程的熱力學模型復雜，優化的計算量大。因此，Khanmohammadi等[15]采用了人工神經網絡的方法來簡化熱力學模型，以制冷量和年度成本為目標對跨臨界CO2制冷循環進行熱經濟優化，最終增加了4.6%的制冷量，降低了60.6%的年度成本。

如上所述，跨臨界CO2熱泵無論是對性能目標進行改進，還是對性能系數、?效率、經濟成本等多目標進行優化都未涉及實用性的分析，然而，對于實用性的優化有重要的現實意義。因此，本文基于BP 神經網絡與NSGA-Ⅱ算法以跨臨界CO2熱泵的總經濟成本與水箱體積為目標函數建立了跨臨界CO2熱泵的優化設計模型，并通過對常用CO2熱泵住宅案例進行優化為用戶提供最優設計方案。

1 系統介紹及模型建立

1.1 跨臨界CO2熱泵模型建立

跨臨界CO2熱泵系統主要由壓縮機、氣冷器、蒸發器、膨脹閥、閥門、水泵、水箱等部件組成，結構如圖1 所示。其循環工作原理是，CO2在蒸發器中吸收空氣熱量被蒸發為低溫低壓的氣體，然后在壓縮機中被加壓成高溫高壓的超臨界狀態，通過氣冷器將熱量釋放出來用于熱水加熱，加熱的熱水儲存在保溫水箱中，供給于用戶使用，在氣冷器中被冷卻了的CO2經由膨脹閥節流降壓再進入蒸發器中吸收空氣熱量蒸發，從而構成了跨臨界CO2熱泵循環。CO2跨臨界壓縮循環的溫熵圖如圖2 所示。其熱力循環數學模型見式(1)～式(6)。

圖1 跨臨界CO2熱泵循環原理

圖2 跨臨界CO2循環溫熵圖

其中，CO2壓縮機的等熵效率ηS是關于壓比的多項式函數[式(3)][16]。

其中，p1、p2為吸排氣壓力。制熱量、COP、制冷量分別由式(4)～(6)表示。

氣冷器換熱溫差由式(7)計算。

對于該CO2熱泵熱水加熱系統，基于電網的峰谷電價制，熱泵機組可在夜間（低電價時段）運行生產熱水儲存在水箱中用于用戶的熱水使用，因此體積越大的水箱能儲存更多的熱水，意味著運營成本就越低。然而更大的水箱也會導致占用更大的室內空間、更大的水箱投資成本以及水箱散熱面積增大所帶來的漏熱損失的增加，從而導致用戶安裝的不便以及成本上升；并且，熱泵自身的設計參數，如氣冷器換熱器溫差，也會對熱泵系統的投資成本、運營成本產生影響。因此，更小的經濟成本與更小的水箱占用空間是存在沖突關系的兩個目標。所以，對于CO2熱泵熱水加熱系統而言，其設計工作還存在很大的優化空間。

1.2 神經網絡模型的建立

由于跨臨界CO2熱泵熱物理模型的復雜性，本文將采用神經網絡的方法建立CO2熱泵的熱力學性能預測模型。人工神經網絡技術可以被認為是一種回歸技術，它可以表示自變量和因變量之間更高的非線性關系[17]。本研究采用的神經網絡技術是前饋反向傳播（BP）神經網絡。BP 神經網絡模型通常由輸入層、隱藏層和輸出層組成，如圖3所示。隱藏層可以存在多個，然而，已經證明在有足夠數量的神經元情況下，一個隱藏層足以逼近任何連續的函數[18]，并且輸入或隱藏層可具有偏置神經元。在不同層的神經元之間具有連通性，每一層中的神經元與其輸入層和輸出層的所有神經元節點相連。本研究的輸入層為氣冷器換熱溫差（Δtm），輸出層為氣冷器壓力（pgc）、性能系數（COP）、壓縮機功率（Wcom）以及制冷量（Qe）。隱藏層的節點值由以下傳遞函數[式(8)]計算。

圖3 BP神經網絡拓撲結構

其中，Ni為隱藏層第i個神經元節點；X為輸入層神經元節點，即氣冷器換熱溫差（Δtm）；ω1i和b11i為輸入層與隱藏層之間的權重與閾值。同樣輸出層的節點值由以下傳遞函數[式(9)]計算。

其中，Yj為輸出層第j個神經元節點；ωij和b2ij為隱藏層與輸出層之間的權重與閾值。每個輸出神經元的誤差是預期輸出和實際輸出之間的差值平方，定義如式(10)所示。

其中，D為實際的目標值，輸出層與隱藏層的誤差信號分別如式(11)、式(12)所示。

輸出層與隱藏層之間的權重以及輸入層與隱藏層之間的權重如式(13)、式(14)求得。

其中，α為學習率，權重的更新如式(15)、式(16)。

其中，k為誤差傳播的迭代數；β為權重更新的動量參數。同理可得偏置的更新如式(17)、式(18)。

首先，根據熱力循環數學模型，在不同的輸入參數下對跨臨界CO2熱泵進行性能模擬分析以獲得大量的驅動數據，然后經由BP 神經網絡構建跨臨界CO2熱泵的熱力學預測模型，訓練流程如圖4 所示，初始參數見表1。通過網絡的迭代訓練得到預測模型，具體情況如圖5所示。

采用均方根相對誤差（RMSE）作為神經網絡預測模型效果的評判標準[式(19)]。

圖4 BP神經網絡訓練流程

表1 神經網絡建模初始參數

對氣冷器壓力、COP、壓縮機耗功以及制冷量各參數測試集的預測結果進行誤差分析，其結果見表2。

通過誤差分析，氣冷器壓力的均方根相對誤差最低，僅為0.65%；COP、壓縮機耗功與制冷量雖然都存在個別樣本點的誤差偏大，但均方根相對誤差也能達到較高的精度。因此，該神經網絡預測模型能滿足預測精度要求，且沒有產生過擬合現象，因此其泛化能力較高。

表2 輸出參數均方根相對誤差比較

圖5 輸出參數測試數據預測值與目標值的比較

1.3 經濟評估模型的建立

1.3.1 投資維護成本

熱泵系統的總投資成本等于各部件的投資成本之和，對于水泵的投資成本設定為定值Zhump=240USD，其余每個部件成本（Zk）由以下成本函數[式(21)～式(26)]計算[19]。

其中，D、H、δ分別為水箱的直徑、高度以及保溫層的厚度；pgc與Wcom來源于神經網絡的預測結果，換熱器的成本為換熱面積的函數，換熱面積可通過式(27)求出。

其中，U是整體的換熱系數，一般估計在1.5～2.5kW/(m2·K)的范圍內[20]；Q和Δtm分別為換熱量與換熱溫差。

在工程經濟學中，投資成本的評估通常要進行年化，時間間隔為一年，并且使用資本回收系數（CRF）獲得相應的成本，其可以由式(28)[21]確定。

其中，i和n分別是年利率與系統的運行壽命，見表3?？紤]維護成本，即維護系數φ=1.06，總投資維護成本為式(29)。

表3 經濟參數

1.3.2 運營成本

跨臨界CO2熱泵系統的運營成本主要來源于壓縮機與水泵的電能消耗，而以上的功耗與水箱的尺寸以及熱損失有關，水箱結構為圓柱形，其水箱的容積由式(30)求得。

在一天中水箱熱量的損失量由式(31)求得。

其水箱采用的保溫材料為聚氨酯，熱導率為0.022W/(m·K)，對于一天所需的熱水熱量由式(32)～式(34)求得。

其中，Vdemand為一天熱水所需的體積；ρwater和cm分別為水的密度與比熱容；Δt為水加熱的溫差。在本文中，水泵的功率被設定為Wpump=657W，因此白天與夜晚的電力成本由式(35)、式(36)求得。

1.3.3 環境成本

由于熱泵系統的電力消耗所造成的CO2排放，將會帶來排放罰金，由式(38)求得。

其中，C(CO2)為CO2排放罰金的單價，通常取在0.022～0.130USD/kg 的范圍[22]，在本文中設定為0.05USD/kg；m(CO2)為CO2的排放量，由式(39)求得。

其中，μ(CO2)是電網發電產生CO2的轉換系數，取為0.968kg/(kW·h)。

該經濟模型的建立基于以下假設：

①系統運行穩定，且熱水需求量保持不變；

②所有的連接管路沒有熱量損失；

③整個模型的計算周期為一天（24h），且環境溫度保持不變；

④系統優先在夜晚（低電價時期）運行，并裝滿整個水箱，水箱儲存熱水不夠再在白天運行。

2 優化方法與案例分析

NSGA-Ⅱ是Deb 等[23]提出的一種基于Goldberg思想的帕累托最優概念多目標優化遺傳算法。與傳統遺傳算法相比，該算法引入了一種基于Pareto和非支配解概念的新選擇機制。選擇機制通過個體之間的支配與非支配關系對種群進行排序，具有較高非支配等級的個體被選擇的概率越高。對于同一非支配等級的一系列個體，擁擠距離越大，被選擇的概率越大。最后，根據非支配序與擁擠度算子得到了多目標優化的Pareto解集。一般來說，多目標優化數學模型可以用式(40)～式(43)描述。

其中，x∈Rn為決策變量；Ω為可行域；hi(x)和gj(x)均為約束函數；f(x)為p個目標組成的目標函數向量。

本文中，考慮的目標函數為最小化的總經濟成本目標[式(20)]以及最小化的水箱容積目標[式(30)]。并且為了選擇對目標函數具有實質影響的主要參數，進行了參數研究，將氣冷器換熱溫差（Δtm）、水箱的直徑（D）、水箱的高度（H）以及水箱保溫層的厚度（δ）作為優化的設計參數，其各自的變化范圍見表4。以及本案例的研究是對于6.45kW的家用CO2熱泵熱水器最優化設計，其案例數據見表5。

表4 設計參數變化范圍

表5 案例數據

3 結果與討論

為了解決優化問題，隨機產生一個父代種群，計算所有個體的目標函數值，再進行非支配排序和擁擠度計算，將非支配序與擁擠度距離組成擁擠度算子進行選擇，得到非支配前沿個體；然后對種群進行交叉、變異操作，產生子代種群；最后將父代與子代種群結合，選出最優秀的種群替換父代種群。具體的優化過程如圖6所示。

通過NSGA-Ⅱ算法程序的優化求解，得到最終的優化結果，其程序的調試參數見表6。研究的跨臨界CO2熱泵系統總經濟成本與水箱容積兩個目標存在明顯的沖突關系如圖7 表示，從Pareto 前沿圖中可知，水箱容積從0.02m3變化到0.52m3，導致了總年度成本從914USD/a 變化到984USD/a。而圖中A選擇點為僅考慮水箱容積目標最小化時的方案點，其水箱容積只有0.02m3，然而相應的總年度成本高達984USD/a；同樣B點為僅考慮總年度成本目標最小化時的方案點，其總年度成本為914USD/a，而導致的水箱容積為0.52m3。之所以在Pareto 非劣解集中出現了高于案例需求量0.5m3的解方案，是因為水箱存在熱量的損失。

圖6 NSGA-Ⅱ優化算法流程

表6 優化程序的調試參數

圖7 跨臨界CO2熱泵系統多目標優化的Pareto前沿

圖8 跨臨界CO2熱泵系統多目標優化的量綱為1化Pareto前沿

對于多目標優化問題，從Pareto前沿獲得的所有非支配解均可以被選為最優的方案解，然而對于實際的工程問題只能選擇一個最優的解方案。近年來，在相應領域的研究中，各種決策方法被用于選擇Pareto 前沿中的最優解，其中TOPSIS 決策法具有魯棒性強的特點得到廣泛應用[24]。TOPSIS 決策法的中心理論是找到距離理想方案點最近且距離非理想方案點最遠的點[24]，理想點為點A與點B在各自最優方向上的交點，如圖8中所示，同樣非理想點為點A與點B在各自最差方向上的交點。

對于大多數的多目標優化問題，其目標的物理量綱不同（本文中總年度成本是USD/a，而水箱容積是m3），因此在對優化結果進行TOPSIS方法優選之前，還應對目標函數的值進行量綱為1化。采用歐式方法[25]對本文的Pareto 非劣解集進行量綱為1化，其結果如圖8 所示。然后通過計算得到Pareto前沿上所有解到理想點的距離（d+），以及到非理想點的距離（d-），通過其接近度[d-/(d-+d+)]標準，得到接近度最大的方案解，即綜合考慮了兩個優化目標得到的最優解，如圖7中所示。其該點的水箱容積與總年度成本分別為0.235m3與958.1USD/a，相應的最優設計參數見表7，以及相應的性能經濟優化參數見表8。

為了分析設計參數對于優化目標的影響，得到如圖9 所示的Pareto 種群設計參數分布。從圖中可知，保溫層厚度大致平均分布在65～75mm較小范圍內，這是因為保溫層的厚度對于水箱的設計有最佳的厚度區域，保溫層過薄保溫效果差，保溫層過厚對于保溫效果提升不大，反而造成了投資成本快速上升。而水箱的高度分散的分布在0.50～0.83m的范圍內，水箱的直徑也均勻分布在0.30～0.93m的范圍內，說明了以上兩個設計參數對于優化目標的影響較大，具有直接的作用。而氣冷器的換熱溫差集中在14.5℃的左右，說明了氣冷器換熱溫差對于優化目標而言影響較小。

表7 TOPSIS 優選點的系統設計參數

表8 TOPSIS優選點對應的性能經濟參數

4 結論

本文對跨臨界CO2熱泵系統進行了實用性與經濟性為目標的優化設計分析，通過BP 神經網絡構建跨臨界CO2熱泵的預測模型，再使用NSGA-Ⅱ優化算法對以上目標的跨臨界CO2熱泵系統進行優化，可獲得以下結論。

（1）獲得了精度高、無過擬合現象的跨臨界CO2熱泵神經網絡預測模型，能快速、準確地進行數據的預測。

（2）對本文中案例進行優化分析得到Pareto前沿，通過TOPSIS 決策法選出最優的設計方案為水箱體積0.235m3、總年度成本958.1USD/a。結果表明，所選的最優方案具有占用空間小且總經濟成本小等優點。

圖9 Pareto種群設計參數分布

（3）水箱保溫層厚度對于優化目標的影響主要集中在一個較優區域，水箱的直徑與高度對于優化目標的影響較大，而氣冷器換熱溫差對于優化目標的影響較小。之后的研究可對設計參數的選取再進行優化改進以獲得影響更有效的參數。

符號說明

COP—— 性能系數

D—— 水箱直徑，m

H—— 水箱高度，m

h—— 焓，J/kg

mr—— CO2流量，kg/s

pgc—— 氣冷器壓力，kPa

Qe—— 制冷量，W

t—— 溫度，℃

Δtm—— 氣冷器換熱溫差，℃

V—— 水箱容積，m3

Z—— 成本，USD

δ—— 水箱保溫層厚度，mm

下角標

com—— 壓縮機

day—— 白天

demand—— 需求

e—— 蒸發器

env—— 環境

exv—— 電子膨脹閥

gc—— 氣冷器

in—— 進口

ins—— 水箱保溫層

inv—— 投資

loss—— 損失

main—— 維護

night—— 夜晚

op—— 運營

out—— 出口

pump—— 水泵

tac—— 總年度成本

water—— 水

wt—— 水箱