基于Origin的夫瑯禾費圓孔衍射仿真實驗及在教學中的應用

劉慧豐

(中北大學信息商務學院 山西 晉中 030600)

從波動光學角度出發，由于衍射現象的存在，一個點光源過圓孔后在光屏上形成的像是一個有一定大小的艾里亮斑，而光學儀器中所用的光闌、透鏡，包括眼睛，都可以等效為一個透光的圓孔，因此光學儀器成像時的清晰程度最終要受到圓孔衍射所限制，其分辨本領與圓孔衍射問題息息相關.光學系統成像時大部分是平行光或者近似的平行光入射，所以研究夫瑯禾費圓孔衍射對于光學成像和光學儀器設計至關重要.為了將圓孔衍射中現象和成像規律形象直觀地展示給學生，加強學生對知識的理解，從而提高學生的學習興趣和探索知識的積極性，在教育手段和網絡技術不斷普及的現代，仿真技術也逐漸應用到了教學中.人們通常將物理仿真實驗與傳統教學手段相結合，利用Matlab,Maple,Mathematica等軟件模擬仿真[1～3]，但是這些軟件對使用者的要求較高，需要一定的編程基礎進行大量的編程，對于低年級學生來說有點困難.Origin軟件是國際科技出版界公認的標準作圖軟件，功能強大但操作簡單快捷，具有可重復性強、參數易調節、觀察性更強、省時省錢且簡單易操作的優點，深受用戶歡迎.

本文基于夫瑯禾費圓孔衍射光強分布的理論公式，通過Origin軟件中的多工作表矩陣(Matrix)窗口對衍射圖樣進行仿真，對圖樣中光強分布圖結果進行數值計算，且驗證了艾里斑的半角公式，加強了學生們對夫瑯禾費圓孔衍射的理解.

1 基本原理

在圖1(a)中，一束波長為λ的平行光垂直入射到半徑為R的圓孔上，通過圓孔后被透鏡L匯聚，在其焦平面上可得到圓孔衍射圖樣，圖樣是一組同心的明暗相間的圓環，以第一暗環為范圍的光強占入射光光強的絕大部分，稱之為艾里斑，如圖1(b)所示.

根據惠更斯—菲涅爾原理可知圓孔衍射在光屏上任一點P的光強為[4]

(1)

式中

將上式用一階貝塞爾函數符號表示，則得

(2)

式中

其中r為P到坐標原點O的距離.

(3)

在講授這部分內容時，因為教材對這部分知識點描述時理論推導過于繁瑣且涉及到了很多高數中的知識，學生學習起來感到枯燥乏味且非常吃力.為了在轉變單一的物理教學方式的同時使學生更好地掌握這部分知識，可以在課堂上實時演示，但是實踐起來費錢費時，因此推廣起來不易.為此，利用計算機軟件進行仿真實驗勢在必行.

2 衍射圖樣仿真及分析

2.1 實驗仿真

基于圓孔衍射的光強分布公式，本文采用的模擬方法是Origin9.0軟件對衍射圖樣進行仿真，具體步驟如下：啟動Origin9.0軟件后，首先，點擊菜單欄中的File/New/Matrix，建立一個矩陣，設置矩陣維數為(501，501)，坐標x，y的范圍均設定為(-0.2，0.2)；然后，左擊Matrix，選擇Set Values，依據光屏上點P對應的光強分布公式(3)將矩陣元的值設定為4*I0*(J1((2*pi*R*sqrt(x^2+y^2))/(λ*f)))^2/((2*pi*R*sqrt(x^2+y^2))/

(λ*f))^2，左擊OK確定生成表征干涉光強的數據矩陣；最后，點擊Plot 菜單下的Image /Image Profiles，即可獲得仿真衍射圖像[5,6].分別改變光強公式(3)中R,λ參數，分析衍射圖樣隨圓孔半徑和入射光波長的變化情況.

2.2 影響艾里斑大小的因素

設入射光的光強I0=1，透鏡L的焦距f=1 m，分別定義參數R，λ不同數值，得到衍射圖樣的一系列仿真圖如圖2所示，其上方和右方的分別是y=0處光強隨橫坐標x和x=0處光強隨縱坐標y的變化函數圖.分析比較不同的R,λ對衍射圖像的影響.

(a)R=0.003 mm,λ=760 nm

(b)R=0.006 mm,λ=760 nm

(c)R=0.003 mm,λ=400 nm

由圖2可見，圓孔衍射圖樣是明暗相間的同心圓環，中央的亮斑光強極大，占據衍射能量的絕大部分，周圍亮環的強度隨著離中心距離的增大急劇減小，第二級明紋的光強已很小，在衍射圖樣中幾乎看不到.改變圓孔半徑和入射光波長，艾里斑的大小也隨之改變.通過比較圖2(a)和(b)可得，當波長相同時，艾里斑的尺寸隨圓孔半徑的增大而減小；通過比較圖2(a)和(c)可得，當圓孔半徑相同時，艾里斑的尺寸隨波長的增大而增大.

利用Origin模擬仿真可將衍射圖樣實時地展示在課堂上，使學生們對艾里斑有了形象生動直觀的認識.同時，學生們可以自己嘗試輸入不同的圓孔半徑和入射光波長，觀察這些參數如何影響衍射圖樣，激發學生們探索知識的興趣.

2.3 極值位置 光強分布及艾里斑公式

col(A))/(4e-7*1))^2，選定數據后在菜單欄里點擊Plot里的Spline Connected，得到夫瑯禾費圓孔衍射的光強分布如圖3(a)所示.由于光強比值隨半徑的增大而快速下降，為了更加清楚地觀察其他衍射亮環光強的分布特征，將圖3(a)中縱軸的取值范圍縮小為[0，0.020]，如圖3(b)所示.

(a)

(b)

利用界面里面的“Data Reader” 在圖3(b)中讀取前6個極值對應的坐標和相對應的光強比值.透鏡L的焦平面上明紋和暗紋位置以及強度分布情況如表1所示，與教材中給出的結果一致[4].

表1 前6個極值的位置及相對光強度

利用Origin描繪夫瑯禾費圓孔衍射的光強分布曲線，得到的實驗結果與教材中的結果一致，將仿真實驗和理論教學相互補充、支撐，學生們能夠更加充分理解和鞏固所學知識，從而提高教師教學的效率與質量.

3 結束語

本文基于惠更斯—菲涅爾原理，得到了夫瑯禾費圓孔衍射光強分布的理論公式，接著使用Origin軟件中的多工作表矩陣(Matrix)窗口對衍射圖樣進行仿真，定性分析了艾里斑的大小與入射光波長和圓孔孔徑的關系，然后使用“Data Reader”讀取了光強分布圖樣中明紋和暗紋位置以及強度分布，且驗證了艾里斑的半角公式.將仿真實驗軟件與大學物理課堂教學相結合，可以將教材上的結論直觀地展示在課堂上，激發學生的學習興趣, 加深了學生對夫瑯禾費圓孔衍射現象和規律的理解.