妙招解圓錐曲線題兩例

浙江省湖州市菱湖中學高二（1）班 浙江 湖州 313018 指導老師 吳凱

圓錐曲線的運算量應該是高中學習中較大的，我自己在這塊內容上比較薄弱，在考試中常常因為計算問題而導致失分.所以，我嘗試通過學習一些二級結論或者一些拓展延伸的知識，優化解題方法，這樣能夠降低題目的運算量，從而加快解題速度。

例如，圓錐曲線的第三定義，如圖1.

證明：構造△PAB 的PA 邊所對的中位線MO，K=K，

由點差法結論：KK=e-1=-b/a知此結論成立.

證明：只需將橢圓中b的全部換成-b就能將橢圓結論轉換成雙曲線的結論。

我的解題分析：常規方法主要是設點代入求解，但是如果我們用橢圓的第三定義則可秒解此題.解答如下：

本題雖然是一道基礎運算題，但是通過橢圓的第三定義省去了計算，直接解得答案。

然而，圓錐曲線的解答題讓不少同學覺得更加頭疼.我的數學老師曾經在課堂上講過，圓錐曲線就相當于是數學考試里的“作文題”.確實，圓錐曲線的計算太繁瑣了，通常都會有大篇幅的運算過程，但我們能否找到方法簡化過程從而解決問題呢？那一定是有的.記得有次老師上課時簡單提到了“橢圓化圓”思想，我很好奇，一下課我就去找他詢問，通過老師的解釋和我放學后在網絡上查找資料，終于能明白一二了，我驚奇地發現把這個思想融入到圓錐曲線的計算中，也是一種妙法.那么，先來講一下“橢圓化圓”思想的原理.

性質1 變換前后共線三點單比不變，即變換前后三點的任意兩個線段的比值一樣；

性質2 變換前后保持同素性和結合性，即若變換前直線與曲線相切，則變化后一定相切；

性質3 變換前后對應圖形的面積比不變。

通過以上這些性質，我們就可以把“橢圓問題”和“圓的問題”等價聯系，形成快速解題.那么，“橢圓化圓”應該怎么應用到題目中呢？我們來看一道經典的高考壓軸題。

圖2

AEBF

解答過程如下：

圖3

O

E

F

A

B

由此可見，相比于常規解題方法，運用“橢圓化圓”將橢圓問題轉化為圓的問題，能簡化運算量，不失為一種好方法。

本文所給出的的兩個案例就是我近期學習中的一些思考，分享給大家，這也僅僅是拋磚引玉，圓錐曲線的海洋，數學的海洋，無邊無際，更待大家探索和發現。