初中數學實際問題與方程的應用

黑龍江省黑河市第五中學 黑龍江 省黑河市164300

在《張邱建算經》中，原書卷下第38 題，也是全書的最后一題：“今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？”

這個問題用算術或方程來解都可以，初中的實際問題我們運用的都是方程的思想來解。

下面就來談談初中數學實際問題與各類方程的應用。

一、初中方程的類型。

初中一共有四種類型的方程。

1.一元一次方程。

定義：一元一次方程指只含一個未知數、未知數最高次數為1 且兩邊都為整式的等式。形如：ax+b=c（a、b、c 都是常數，a ≠0）

2.二元一次方程組。

定義：由幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。

3.分式方程。

4.一元二次方程。

定義：只有一個未知數且未知數最高次數為2 的整式方程，其一般形式為ax2+bx+c=0（其中a、b、c 是常數，a≠0）

二、初中常見的實際問題的類型。

行程問題、船航行和飛機飛行的問題、工程問題、銷售問題、調配問題、配套問題、方案設計問題等。

三、初中常見的實際問題的公式。

1.行程問題的基本量：路程、速度、時間。

公式：路程＝速度×時間，時間＝路程÷速度，速度＝路程÷時間。行程問題的基本類型有：相遇問題和追及問題。（1）相遇問題：快車的路程＋慢車的路程＝原距。（2）追及問題：快車的路程－慢車的路程＝原距。

2.輪船航行和飛機飛行的問題：

順水（順風）速度＝靜水（無風）速度＋水流（風速）速度，

逆水（逆風）速度＝靜水（無風）速度－水流（風速）速度；

公式變形：水流速度=（順水速度-逆水速度）÷2。

3.工程問題：

工程問題中的三個量：工作總量、工作效率、工作時間。

它們的關系為：工作總量＝工作效率×工作時間。通常工作總量設為單位1。

4.銷售問題：

常見公式：利潤=成本×利潤率；定價=成本×（1+利潤率）；售價=標價×折扣率。

第二、明代白銀貨幣化引發閩東銀礦開采熱，在推進白銀文化形成中亦引發諸多社會問題。這些問題引起朝廷、地方官吏、鄉紳階層、礦業主、礦工和平民百姓等各個層面人員的思想和行為等的變化，眾多人員皆指向白銀，于是白銀逐漸被神化，出現白銀拜物教；而礦稅監的貪婪，地方官吏和鄉紳階層的反思、碰撞，礦主和礦工們關于開采技術、觀察天氣、完善管理環節，進而盜礦偷煎，甚至公然與政府對抗。平民百姓為銀絞盡腦汁為白銀產業鏈提供各類服務等。白銀文化在眾多推理下走向成熟。

5.配套問題：

若甲:乙=a:b，則b×甲的數量=a×乙的數量。

四、同題異程。

同種實際問題可以選用不同的方程，選用哪種方程主要決定于實際問題中給定的已知條件和未知問題，當改變條件同時也改變結論，那么所要選擇的方程就不會一樣了。

（一）行程問題：

例題：小李從A 地步行到B 地比乘公交車多用了3.6 個小時，已知他步行的速度是8 千米/時，公交車的速度是40 千米/時，試求A、B 兩地之間相距多少千米？

解：設甲、乙兩地相距為x 千米。

x/8-3.6=x/40

總結：此時用一元一次方程來解決。

變式一：小李從A 地步行到B 地比乘公交車多用了3.6 個小時，已知A、B 兩地之間為120 千米，步行比乘坐公交車每小時少20 千米。求步行速度和公交車的速度分別是多少？

解：設步行速度是每小時x 千米，公交車的速度是每小時（x+20）

總結：此時用分式方程來解決。

（二）船航行問題：

例題：一艘小船在A、B兩地航行,順流用10小時,逆流用15小時,已知水流速度是25 千米/時，求船在靜水中的速度是多少？

解：設船在靜水中的速度是x 千米/小時。

10（x+25）=15（x-25）

總結：此時用一元一次方程來解決。

變式一：一艘船在相距200千米的兩地航行,順流航行用10小時,逆流用15 小時,求船在靜水中的速度和水流速度各是多少？

解：設船在靜水中的速度是x 千米/小時，水流速度是y 千米/小時。

總結：此時用二元一次方程組來解決。

變式二：一艘船在相距200 千米的兩地航行,逆流比順流多用5 小時,已知水流速度是25 千米/時，求船在靜水中的速度。

解：設船在靜水中的速度是x 千米/小時。

200/(x+25)+5=200/(x-25)

總結：此時用分式方程來解決。

綜上所述，初中常見的實際問題比較簡單，而方程也只有四種，因此每一種實際問題所對應選用的方程比較明顯。仔細辨別，從條件和結論中即可判斷出來。