基于電容式微機械聲學傳感的納米梁非線性振動控制

萬 磊, 劉燦昌, 孔維旭, 黎德祥, 周英超

(山東理工大學交通與車輛工程學院，淄博 255049)

隨著納機電系統(nano-electromechanical systems，NEMS)研究的快速發展，納機電系統的振動控制越來越引起相關研究人員的注意。納米梁在振動時容易產生多值等非線性現象，影響納機電系統的工作穩定性。因此，納米梁的非線性振動控制成為納機電系統的一個重要研究方向[1]。

目前針對電容式微機械聲學傳感器(capacitive micro-mechanical acoustic sensors，CMUT)的研究也越來越多。張睿等[2]開展了對CMUT動態性能的仿真與測試。Mukhiya等[3]通過實驗驗證了在擠壓膜阻尼現象下具有頻移的單個六邊形單元的特性。Sangjun等[4]研究了具有低偏置電壓的CMUT有作為便攜式化學傳感器系統關鍵部件的潛力。Khan等[5]提出一種機載塌陷電容微機械超聲換能器作為一種實用的超聲換能器。張丹丹[6]研究了一種可以有效處理超聲波信號的CMUT樣品。卓文軍等[7]對電容式機械超聲陣列尺寸進行了優化。張慧等[8]對電容式微超聲換能器陣列進行了一系列實驗研究。Engholm等[9]介紹了兩個換能器陣列探頭的特性。

近年來，對于納機電系統的非線性振動分析與控制研究取得較大的進展。Liu等[10]研究得到了納米梁諧波激勵主共振的最優控制。楊曉東等[11]分析了基于非局部效應兩端鉸支納米梁的橫向非線性振動。Khaniki等[12]分析了嵌入變化非線性彈性環境中的納米梁。Bornassi等[13]建立了納米器件在靜電力和分子間力作用下的運動方程并進行求解。Beni等[14]對梁式納機電系統的靜態不穩定性進行了理論研究。Ebrahimi等[15]提出了非經典梁的模型，用于納米梁在彈性地基中的非線性振動分析。鞏慶梅等[16-17]研究了納米梁非線性振動電容式傳感器控制方法。Zhao等[18]研究了殘余表面應力對懸臂納米梁非線性動力學行為的影響。Najar等[19]研究了在非線性力和直流電壓作用下納米梁的動態響應。

納機電系統存在的問題是NEMS器件處于納米尺寸，普通的振動信號傳感器尺寸接近甚至大于納米梁和控制器件的尺寸，無法應用到納米梁振動信號檢測中，所以振動信號的傳感成為納米梁振動控制的難題[1]。研究一種新型的基于電容式微機械聲學傳感的納米梁非線性振動控制方式，以期解決振動信號檢測難的問題。

基于電容式微機械聲學傳感的納米梁非線性振動控制，將CMUT器件置于納米梁下方作為振動信號檢測傳感器。以Euler-Bernoulli梁為振動模型，應用多尺度方法研究納米梁的非線性振動控制。仿真出幅頻響應曲線圖，分析納米梁的振動非線性，研究改變系統參數來減弱系統非線性的方法。希望通過選擇合適的系統參數可以減弱甚至消除系統振動的非線性，增強系統的穩定性。

利用了CMUT器件體積小、靈敏度高的優點，將其作為振動信號傳感器應用于納米梁振動信號的檢測中，以進行納米梁非線性振動控制研究。

1 電容式微機械聲學傳感器原理

如圖1所示，電容式微機械聲學傳感器器件主要由石墨烯薄膜和電極構成，在其接收模式下，聲波激勵薄膜使薄膜產生形變位移，從而導致薄膜與對應的下面電極板之間的電容值發生改變。對薄膜位移的響應，電容式微機械聲學傳感器的輸出電流i可以表示為[20]

(1)

式(1)中：ωa為聲波的角頻率；C為CMUT器件的電容；Vb為直流偏置電壓；Δx為薄膜位移；d0為導電薄膜與背部電極的距離;d為納米梁和上下極板間的初始距離;k為比例系數；w為納米梁的撓度。

圖1 電容式微機械聲學傳感器示意圖

2 基于電容信號傳感的納米梁靜電激勵振動控制模型

圖2 納米梁振動模型

作用于納米梁與靜電驅動極板間的激勵電壓V為

V=VD+Va=VD+V0cos(ωt)

(2)

式(2)中：Va=V0cos(ωt)為交流激勵電壓。

為便于分析，引入無量綱量:

(3)

式(3)中：u為納米梁振動時的無量綱位移；x*為X方向上的坐標；x為X方向上的無量綱坐標；l為納米梁的長度；t*為時間；t為無量綱時間；E為納米梁的楊氏模量；I為截面慣性矩；ρ為納米梁的密度；A為納米梁的橫截面積。

作用于納米梁與控制極板間的控制電壓VC為

(4)

式(4)中：g為控制增益。

在靜電控制力作用下，基于電容信號傳感的納米梁非線性振動微分方程可表示為

(5)

經過無量綱處理后納米梁的動力學方程可變為

(6)

式(6)兩邊同乘(1-u)2(1+u)2得到：

(7)

ε[VD+V0cos(ωt)]2(n7x2+n8x+n9)

(8)

應用多尺度法將式(8)的近似解用以下形式表示[21]：

x(t,ε)=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+

εx2(T0,T1,T2)+…

(9)

式(9)中：ε是無量綱參數；T0=t，表示快變時間尺度；T1=εt，表示慢變時間尺度。

取納米梁外激勵頻率近似等于納米梁的固有頻率，得到激勵頻率為

ω=ωn+εσ

(10)

式(10)中：σ為激勵頻率調諧參數。

將式(9)與其對時間的導數代入式(8)，再將式(8)“=”兩邊ε同次冪的系數相等，得到：

(11)

μn2x0D0x0+μn3D0x0+

[VD+V0cos(ωt)]2×

(12)

將式(11)的近似解表示為

(13)

(14)

處理過程中利用以下變換:

(15)

將式(13)、式(15)代入式(12)，為避免出現久期項，得到：

n7VDV0A2e-jσT1=0

(16)

D1a=m1a3+m2a+(m3a2+m4)sinφ

(17)

aD1φ=σa-m5a3+m6a+(3m3a2+m4)cosφ

(18)

(19)

(20)

求得系統主共振的幅頻響應方程和相頻響應方程為

(21)

(22)

只考慮非線性項的影響，得到無量綱動力學方程對應的Hamilton方程為

(23)

為便于分析，假定原點(x,y)=(0,0)處該保守系統的勢能為0，由此得到系統的勢能函數V(x)及Hamilton函數H(x,y)如下:

κx-(2κ-η)ln(x+1)+2γ-η+κ+

(2κ-η)ln1

(24)

(2κ-η)ln(x+1)+2γ-η+κ+

(2κ-η)ln1

(25)

3 數值模擬及分析

以Euler-Bernoulli梁一階振動模態為例進行分析，納米梁的參數值如表1所示，進行仿真之后得到系統振動的幅頻響應曲線圖、非線性項變化圖以及勢能曲線圖。

表1 納米梁參數值

如圖3所示為控制增益g不同時的幅頻響應a曲線。在所選取參數范圍內以及其他參數保持不變時，改變控制增益的大小會對納米梁的振動非線性產生影響。當g=10.80時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間。當g從10.40變為10.02時，系統的最大振幅減小且系統振動非線性減弱，逐漸趨于穩定。由此可得控制增益的取值在選取范圍內時，控制增益減小，系統振動非線性減弱。

圖3 控制增益不同時的幅頻響應曲線

如圖4所示為系統阻尼μ不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內及其他參數保持不變時，改變系統的阻尼對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當μ=0.7×10-2時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間。當μ從1.4×10-2變為2.1×10-2時，系統的最大振幅減小且系統振動非線性減弱，逐漸趨于穩定。由此可得系統阻尼的取值在選取范圍內時，系統阻尼越大，系統振動的振幅越小，振動非線性越弱。

圖4 系統阻尼不同時的幅頻響應曲線

如圖5所示為直流激勵電壓不同時，非線性項隨控制增益變化曲線。將非線性項控制在合理范圍內有助于提高系統振動的穩定性。在所選取參數范圍內以及其他參數保持不變的情況下，當直流激勵電壓一定時，非線性項隨控制增益的增加呈現出先增加后減小的趨勢。當控制增益一定時，直流激勵電壓越大，非線性項越小。

如圖6所示為交流激勵電壓不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其他參數保持不變時，改變交流激勵電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當V0=0.85 V時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間。當V0從0.50 V變為0.15 V時，系統的最大振幅減小且系統振動非線性減弱。由此可得交流激勵電壓的取值在選取范圍內時，交流激勵電壓越小，系統振動的振幅越小，振動非線性越弱。

圖5 直流激勵電壓不同時非線性項隨控制增益變化曲線

圖6 交流激勵電壓不同時的幅頻響應曲線

如圖7所示為直流激勵電壓不同時的幅頻響應曲線。在所選取參數范圍內以及其他參數保持不變時，改變直流激勵電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產生影響。當VD=9.0 V時，在共振頻率點左側出現系統振動不穩定的非線性區間。當VD從9.6 V變為10.0 V時，系統的最大振幅變化不大但是系統振動的非線性減弱。由此可得直流激勵電壓的取值在選取范圍內時，直流激勵電壓越大，系統振動的非線性越弱。

圖7 直流激勵電壓不同時的幅頻響應曲線

如圖8所示為勢能[V(x)]曲線隨參數γ的變化，可以看出，物理意義上的平衡點存在3個。在原點左側，勢能隨著γ的增大逐漸增大，在原點右側，勢能隨著γ的增大逐漸減小。

圖8 勢能曲線隨參數γ的變化

4 結論

(1)系統的阻尼、控制增益、直流激勵電壓和交流激勵電壓都是影響系統振動的因素，其中，改變系統阻尼和交流激勵電壓對系統振幅產生較大的影響，控制增益和直流激勵電壓對振幅影響較小。在所選取的參數范圍內，適當增大系統的阻尼和減小交流激勵電壓都可以減小系統的振幅。

(2)改變其中任何一個參數均對系統振動的非線性產生影響，選取合適的系統參數可以有效地對系統非線性振動進行控制與調節，提高系統的穩定性。

(3)分析幅頻響應曲線可得，通過增大系統阻尼、減小控制增益、增大直流激勵電壓以及減小交流激勵電壓可以減弱系統振動的非線性。