無砟軌道橋梁數值模擬及沖擊特性計算

王宇宸 （同濟大學，上海 200092）

1 引言

雙層梁在移動荷載作用下的動力響應問題是軌道和橋梁在車輪荷載作用下的理想化模型。雙層梁模型能夠很好地將軌道、扣件和橋梁三者區分開來，可以針對特定研究對象進行詳細的動力響應研究。Hamada[1]研究了連接結構為溫克勒型彈簧的雙層梁系統的自由振動和強迫振動，給出了上梁和下梁相同時雙層梁振動的解析表達式。Oniszczuk[2]給出了彈性連接的一般雙層梁系統的無阻尼自由振動和強迫振動的一些解析表達式。Vu[3]提出了一種求解雙梁系統在簡諧激勵下的振動的精確方法，并指出，為了解耦系統的運動控制偏微分方程，上梁和下梁的抗彎剛度及線質量必須相同，并且邊界條件也必須相同。Gurgoze和Erol[4]提出了一種求解由均布的彈簧及阻尼器連接的雙層梁系統受迫振動的精確解的方法。Hilal[5]研究了在連續的粘彈性地基上由移動常量力引起的雙層梁系統的動力響應問題。Palmeri和Adhikari[6]提出了一種伽遼金狀態空間方法來求解具有粘彈性層雙層梁系統的橫向振動問題。對于多層梁系統，Kelly和Srinivas[7]給出了一組具有確定的彈性連接的多層梁系統在軸向荷載作用下結構的固有頻率和振型的一般理論。Rssin[8]通過研究得到了一種雙層梁系統的動態響應閉合解，該系統的荷載形式是一個恒定的或一個簡諧作用的移動集中力。對于雙層梁系統來說，只有Hilal研究了由于移動常量力引起的動態響應。一般認為，移動簡諧荷載能夠模擬車輪偏心或者車體上部結構做簡諧運動時車橋之間的作用力，是一種典型的交通荷載形式。本研究通過數值編程建立了雙層梁系統的有限元模型，拓展了現存雙層梁解析解的應用范圍，并使用解析解進行了程序驗證。以移動簡諧荷載作為外部激勵，研究移動簡諧荷載的速度和頻率變化對上梁及下梁跨中沖擊系數的影響。

2 數值模型建立

單跨無砟軌道橋梁可以理想化的看作是一個兩端簡支的雙層梁系統，其模型如圖1(a)所示，系統由2根梁組成，梁均按照伯努利歐拉理論進行假設，兩梁之間布有均布的彈簧和阻尼器進行連接。

圖1 雙層梁模型及廣義梁單元示意圖

雙層梁的運動控制方程為：

其中，EI為上梁的抗彎剛度；ρA為上橫梁的線質量密度；α為下梁與上梁的剛度之比；β為下梁與上梁的線密度之比；K為梁間連接系每米的剛度系數；C為梁間連接系每米的阻尼；yi是yi(x,t)的縮寫，表示第i根梁在t時刻距離左端x米處的豎向位移。

為了計算移動簡諧力作用下的結構沖擊特性，將結構分解為具有上下梁并在其端部連接彈簧和阻尼器的單元,如圖1(b)所示。單元中，上梁的自由度為vu=[v1、v2、v5、v6]，下梁自由度為vl=[v3、v4、v7、v8]。由于上梁和下梁具有均勻的橫截面，所以可以用Hermite三次多項式函數作為形函數。

在廣義雙層梁單元模型中，單元剛度矩陣不僅包括由上下梁本身產生的剛度，還包括由連接系產生的剛度。由于連接系提供的彈性力U與其兩端的相對位移成正比，這些力可以表示為U1=-K(v1-v3),U3=K(v1-v3),U5=-K(v5-v7),U7=K(v5-v7)。由于忽略了上下梁自身的阻尼，單元結構的阻尼全由，它與上下梁的相應節點的相對速度成正比，即。雙層梁單元的阻尼矩陣可寫為一個簡單對角矩陣。基于單元質量、剛度和阻尼矩陣，可以根據單元連接關系和支承邊界條件形成結構矩陣。采用等效節點荷載表示移動簡諧力的荷載效應：

最后采用Newmark-β法計算雙層梁的時程響應。

3 程序驗證

當上梁和部梁的剛度比和線密度比為1時，W u,Y.and Gao,Y[9]導出了上、下梁在移動簡諧荷載作用下的時程響應的解析解。將有限元數值積分結果與該解析解進行了比較，從而驗證有限元模型和計算程序的正確性。

在本文中建立的雙梁模型中，沖擊系數與荷載的移動速度和荷載的振動頻率密切相關。使用無量綱參數將輸出結果規格化有利于結果的統一，各無量綱參數如下：

其中，y0為梁跨中的位移，具體含義為當移動簡諧荷載幅值靜止作用于在梁的跨中時跨中產生的靜撓度，此時。ω1為系統的基頻；。為了同時考察當移動簡諧荷載作用于雙層梁系統時的強迫振動和離開系統后的自由振動，的最大值取到2。使用兩種計算方法得到的雙層梁系統跨中位移時程圖像如圖2所示。

圖2 數值計算方法與解析計算方法跨中時程結果對比

上圖展示了兩種計算方法得到的上梁與下梁跨中動力反應比時程曲線圖像。其中左圖研究對象為上梁，右圖的研究對象為下梁。橫軸為時間無量綱量，縱軸為動力與靜力反應比數值。可以看出，有限元模型計算的上、下梁的位移時程響應無論是在t位于0至1之間的強迫振動階段，還是t位于1至2之間的自由振動階段，計算結果都與解析解吻合較好，也表明了該模型對雙層梁在移動簡諧荷載作用下的動力響應計算具有一定的可靠性。

4 實橋沖擊系數計算

以一座典型的橋梁為背景。軌道和橋梁部分的參數如表1所示。雙層梁由鋼軌和混凝土梁組成，上梁可以看成是鋼軌，下梁可以看成混凝土梁。可見，在實橋中，上梁和下梁的截面特性一般不相同，其抗彎剛度和線密度也不同。數值模型可以通過調整上下梁的剛度比和質量比來模擬實際情況，因此數值模型比解析解具有更廣泛的應用范圍。表中的參數，用于數值模型的計算。模型參數如表2所示。

實橋截面數據 表1

數值模型參數 表2

圖3 數值計算下的不同荷載移動速度和頻率對應的跨中沖擊系數

圖 3（a）和圖 3（b）示出了上梁和下梁的最大跨中位移沖擊系數隨荷載移動速度和荷載振動頻率之間的關系。可以發現，雙層梁系統的上梁由于與移動簡諧荷載直接接觸，沖擊系數形成的表面較為粗糙。由于上下梁之間存在的連接結構具有一定的剛度和阻尼，提供了減震和隔振，所以下梁跨中沖擊系數形成的表面較為光滑。從圖 3（a）和圖 3（b）中還可以看出，當荷載振動頻率接近荷載的移動速度時，上下梁的沖擊系數取得極值，上梁跨中沖擊系數極值為1.1，下梁沖擊系數極值為1.07。當荷載振動頻率和移動速度滿足一定的線性關系時，沖擊系數則會大大減小，線性比值隨橋梁各個參數變化而改變，需要針對具體橋型進行分析。

5 結語

本研究使用廣義雙層梁模型單元進行建模，得到了軌梁系統的通用模型建立方式，并驗證了這種方法的正確性，擴展了現存雙層梁系統計算方法應用范圍，為后續數值模型研究提供指導。通過實橋數值計算發現，當上下梁的橫截面特征相對接近時，荷載的移動速度和振動頻率變化將對跨中位移沖擊系數產生較大影響。對于實際工程來說，軌道橋梁上下梁的橫截面特征差異很大，在這種情況下，移動簡諧荷載不會顯著影響上梁和下梁的沖擊系數。