自由段彈道目標跟蹤算法在工程中的應用

李啟飛，吳 芳，范趙鵬

（1.91550部隊，遼寧大連116000；2.海軍航空大學，山東煙臺264001；3.91001部隊，北京100000）

彈道目標跟蹤是彈道防御系統中極其重要的任務之一[1-3]，跟蹤的精度將直接影響彈道預報初值點的精度，會影響彈道的攔截[4-5]。因此，對目標精確跟蹤是當前雷達技術領域的一個熱點和難點。與助推段和再入段相比，彈道目標自由段防御具有更加重要的地位[5]，其優點主要有：防御面積大，可以節省大量的兵力；攔截時間長，可實施多次攔截。但在大氣層以外飛行，受地球引力的作用，彈道目標的自由防御段難以進行有效的機動。且彈道相對單一，彈頭從彈體分離后常呈現加速飛行的特點[6-7]。因此，彈道目標自由段防御的軍事研究價值顯得尤為重要。

本文主要研究自由段的彈道目標跟蹤問題，在這個階段，目標在大氣層外運動，空氣阻力和其他攝動力可以忽略，僅考慮地球引力作用[8]。通常來說目標飛行平穩，僅有某些先進的目標可以進行些小的機動[9-10]。彈道目標的跟蹤是一個連續的非線性濾波過程，其運動狀態非線性、量測非線性。傳統的彈道目標跟蹤方法，利用擴展卡爾曼濾波器（EKF）進行非線性濾波[9]，但是本文選取自適應跟蹤模型[11-13]，其可以將機動加速度轉化為一個不相關的白噪聲。此時，用卡爾曼濾波（KF）即可獲得較好的跟蹤效果，而無須采用擴展卡爾曼再次對目標量測模型進行線性化，從而簡化算法，減少運算時間。為了驗證算法性能，本文中采用Singer和當前統計（CS）2種自適應跟蹤模型結合卡爾曼濾波進行目標跟蹤，與擴展卡爾曼濾波進行了對比驗證。

1 基于Singer-KF的跟蹤濾波算法

為了更好地對彈道目標進行跟蹤，這里采用比較精確的包含地球形狀動力學系數J2項的標準橢球地球重力模型[14-16]，并將其和Singer算法相結合解決彈道目標跟蹤問題。

在雷達站ENU坐標系下的目標動力學模型為：

設B 為雷達站大地緯度，φ 為雷達站地心緯度，則地心緯度與大地緯度間的轉換關系式為：

式（3）中：a、b 分別為地球橢圓長半軸、短半軸，且a=6 378 137 m，b=6 356 755 m。

令θ=B-φ，則

式（4）中，ρ=re+z，z 為ENU坐標系下的z 軸數據，而

這 里 ， ω 為 地 球 自 轉 角 速 度 ，且ω=7.27×10-5rad/s。

彈道目標的狀態方程為：

且

式（8）、（9）中：0 為3×3的全零矩陣，T 為采樣間隔，α是機動時間常數的倒數，即機動頻率，而

可得狀態的一步預測為：

狀態預測值的估計誤差：

協方差的一步預測：

式（13）中，過程噪聲協方差矩陣為：

式（14）中：

式（15）中：σ2

m是目標的加速度方差。而

對于機動加速度方差σ2

m，可由下式獲得：

式（17）中：pM為目標機動加速度等于極大值aM或極小值-aM的概率p0為非機動概率（機動加速度等于0的概率），機動加速度在區間[ ]-aM,aM上近似服從均勻分布。

量測值的進一步預測

式中，量測矩陣H(k+1)為：

新息協方差為：

式中，R(k+1)為ENU 直角坐標系下的轉換量測噪聲協方差矩陣。

增益為：

狀態更新方程為：

式（23）中：I 為9×9的單位陣。

須要強調的是，運動模型是在ENU 直角坐標系下，量測模型是在雷達站極坐標下，跟蹤濾波過程需要進行坐標系間的轉換[8]。

2 基于CS-KF的跟蹤濾波算法

該算法采用修正瑞利分布來描述機動加速度的統計特性，所假設的分布具有分布隨均值變化而變化，方差由均值決定的優點[17]。因此，算法在估計目標狀態的同時，還可辨識出機動加速度均值，從而實時地修正加速度分布，并通過方差反饋到下一時刻的濾波增益中，實現了閉環自適應跟蹤。

設目標運動狀態方程為：

式（24）中，F(k)如式（8）所述，G(k)為輸入控制矩陣，即

該算法的一步預測方程為：

其余跟蹤步驟同第1節。

3 自適應模型下EKF濾波算法

跟前文一樣，目標運動狀態可選擇用Singer 或者CS模型，這里選擇用EKF進行濾波。

量測方程為：

式（29）中，

V(k)是離散時間白噪聲序列，且

與其相伴的協方差（近似的均方誤差）為：

其中，雅可比矩陣[18]為：

增益為：

狀態更新方程為：

協方差更新方程為：

4 仿真及結果分析

設關機點目標的經度為0°，緯度為0°，高度為80 km，在地心地固坐標系下三軸上的速度分量均為3 km/s。雷達站經緯度為東經1.5°，北緯9.5°，大地高程0 m，雷達探測頻率1 Hz，采樣時間860 s，雷達的測距誤差均方差為6 m，方位和俯仰測角誤差均方差為0.001 4 rad，通過給定的誤差均方差，基于高斯分布模型隨機產生各觀測時刻距離、方位角誤差數據，并疊加于仿真彈道，生成的雷達對彈頭的測量數據，如圖1 所示。Singer 模型中選取參數α=1 000 ，aM=100，pM=0.6，p0=0.2，ENU 坐標系下分別采用Singer模型結合卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波對目標進行跟蹤，為更清晰顯示濾波結果，選取其中401～450 s 測量時間段內的50 個跟蹤步數進行放大顯示，如圖2 所示。CS 模型中選取參數α=0.1，aM=100，ENU坐標系下采用CS模型結合卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波的跟蹤結果（401～450 s）如圖3所示。

圖1 雷達對彈頭的測量數據圖Fig.1 Radar measurement data map of warhead

圖2 Singer-KF與Singer-EKF的放大濾波圖Fig.2 Enlarged filter map of Singer-KF and Singer-EKF

圖3 CS-KF與CS-EKF的放大濾波圖Fig.3 Enlarged filter diagram of CS-KF and CS-EKF

由圖2、3可以看出，2種自適應模型與兩種濾波算法相結合后都能取得較好的濾波效果。

為了分析比較2 種濾波方式的濾波精度，本文選取位置均方根誤差（RMSE）作為衡量參數，圖4 顯示的是50個跟蹤步驟中Singer-KF與Singer-EKF的位置均方根誤差的對比，圖5 顯示的是50 個跟蹤步驟中CS-KF與CS-EKF位置均方根誤差的對比。仿真結果表明，與自適應算法結合后，卡爾曼濾波精度與擴展卡爾曼濾波精度基本一致。

圖4 Singer-KF與Singer-EKF的RMSE放大圖Fig.4 RMSE enlarged drawing of Singer-KF and Singer-EKF

圖5 CS-KF與CS-EKF的RMSE的放大圖Fig.5 Enlarged RMSE of CS-KF and CS-EKF

表1 2種算法下的單步耗時比較Tab.1 Comparision of single step time between the two algorithms

4 結論

本文基于工程需要研究了自由段彈道目標的跟蹤問題。通過仿真實驗驗證，KF、EKF 2 種濾波方式分別與自適應跟蹤模型相結合后，KF 濾波可以達到與EKF 濾波幾乎相同的濾波效果，但其算法簡單、運算時間短，可以較好滿足自由段彈道目標跟蹤的工程需求。另外，本文采用的是仿真測量數據，數據測量較為理想，在實際彈道跟蹤問題的解決中還需要針對部分時刻測量數據的缺失以及虛假干擾數據信息進行特殊算法處理，從而更好地解決自由段彈道目標的跟蹤問題。