基于最小耗能原理的海棠山隧道圍巖蠕變損傷模型

劉文博，張樹光，趙恩祿

(1.遼寧工程技術大學 土木工程學院，遼寧 阜新 123000；2.廣西巖土力學與工程重點實驗室，廣西 桂林 541004；3.桂林理工大學 土木與建筑工程學院，廣西 桂林 541004)

0 引言

當地下工程的基礎向著深部不斷推進時，基礎所處區域內的深部圍巖遭遇的地質條件也更加復雜多變，深部圍巖在高圍壓、高溫、高地應力以及強擾動條件下，表現出了復雜的流變特性，而巖石蠕變變形特性以及蠕變變形破壞機理是怎樣變化發展的，對于研究材料蠕變破壞機理具有重要的意義。故需要通過對巖石室內進行蠕變試驗研究，分析巖石在不同力學狀態下蠕變特性，建立一種合適的蠕變本構模型來描述巖石的流變性質，對建立數值力學模型及解決工程實際問題都具有重大的影響[1-4]。

近些年，學者們對于巖石流變性質、變形破壞機理以及如何構建一個合適的蠕變模型做了大量研究[5]，主要表現在以下幾個方面:張楚旋等[6]發現圍壓可以有效地提升能量的耗散，且卸載試驗的能量耗散要遠遠大于加載試驗中巖石的能量耗散量。王凱等[7]通過試驗得到在巷道開挖過程中圍巖的變形規律，結合數值計算軟件對煤巖開采過程中變形特性進行模擬，最終圍巖的耗能隨卸載速率逐漸增大，且導致圍巖進一步變形破壞。雷濤等[8]通過外部手段對巖石進行不同初始損傷試驗，進一步對含有初始損傷的巖石進行卸載試驗研究，得出巖石能量耗散與孔隙度均隨初始損傷程度的增大而增大。上述試驗研究中對于巖石在加載、卸載過程中能量耗散規律進行了深入的研究，驗證了通過能量耗散理論可以有效地描述巖石的變形破壞特性。為了進一步研究和預測巖石在不同條件下的變形規律，將結合巖石在蠕變過程中的能量耗散規律，反映巖石在蠕變變形過程中內部結構的劣化情況，從而更好地反映巖石的變形破壞行為。

因此，本研究對取自海棠山隧道圍巖進行三軸蠕變試驗，研究巖石在不同圍壓條件下變形劣化特性，然后結合現有最小能量耗散理論推導損傷演化模型，建立一個基于能量耗散理論的巖石非線性損傷蠕變方程，最后通過三軸蠕變試驗數據驗證模型的正確性與合理性。

1 三軸蠕變試驗研究

本研究選取的砂巖取自海棠山隧道圍巖，為減小試樣的差異性，確保試驗的可對比性，挑選的巖塊均來自同一斷面，海棠山隧道所在地區為低山丘陵地貌，山勢陡峭為深埋隧道。本研究設定圍壓為20 MPa和30 MPa，試驗每個軸向應力水平分成4級，采用分級加載的方式以達到逐級加載偏差應力。本次試驗采用偏差應力加載方法見表1。

表1 試驗方案(單位:MPa)Tab.1 Test scheme(unit:MPa)

試樣的加工精度按照《巖石試驗方法標準》(GB50218—94)[8]進行，制備成形狀為標準圓柱體，直徑50 mm，高度100 mm。本次試驗采用MTS812.02巖石試驗機如圖1所示。

圖1 試驗系統Fig.1 Test system

試驗方案：首先，在試件兩端面均勻涂抹凡士林，最大限度地消除端部效應；在加載時設定位移上限值，保證巖石變形不受外界干擾；加載方式采用荷載控制方式，以0.5 MPa/s的速率均勻施加軸向應力和圍壓，軸向應力水平每次加載10 MPa直至巖石失穩破壞為止，采樣間隔設置為5 s；最終通過輸出的試驗數據繪制出軸徑應變-時間歷時曲線。

1.1 蠕變歷時曲線分析

根據上述試驗方法和試驗方案，對海棠山隧道圍巖進行不同圍壓的常規三軸壓縮蠕變試驗，σ3=20 MPa和σ3=30 MPa作用下的分級加載軸向歷時蠕變曲線如圖2所示。

圖2 軸向蠕變歷時曲線Fig.2 Axial creep duration curves

由圖2可知，在圍壓20 MPa作用下，荷載作用4級后發生失穩變形破壞，在圍壓30 MPa作用下，荷載作用也經歷5級后發生失穩變形破壞；瞬時應變和蠕變應變都隨著應力水平增大不斷增大，且瞬時應變占總應變比例的變化規律呈現先減小后增大趨勢。

1.2 軸向蠕變曲線分析

將不同圍壓條件下所得蠕變試驗數據運用Boltzmann疊加原理[9]進行處理，得到各級軸向蠕變曲線如圖3所示。

圖3 軸向分階段蠕變曲線Fig.3 Axial phased creep curves

由圖3可知，只有當施加在巖石的應力水平較高時，才會出現穩定蠕變和加速蠕變現象，否則蠕變變形只有衰減蠕變變形；以圍壓30 MPa為例，在σ1=80 MPa時，蠕變速率從初始值衰減至零，最終的蠕變變形為0.110 2%(全部為衰減蠕變)；在90 MPa 和100 MPa作用下，衰減蠕變變形時間大約為8 h左右，巖石的蠕變變形便轉變為穩定蠕變變形，蠕變速率從初始值衰減至一個穩定值；在最后一級應力水平110 MPa作用下，蠕變變形出現加速蠕變變形，變形與時間之間的規律呈現出明顯的非線性變化趨勢。同時，圍壓的增高不僅增大了試樣的破壞應力水平，同時延緩了軸向蠕變變形。

1.3 蠕變試驗瞬時變形分析

根據試驗數據繪制不同圍壓下砂巖瞬時變形量與應力水平關系如圖4所示。

圖4 瞬時變形曲線Fig.4 Instantaneous deformation curves

巖石在低應力作用下，不考慮巖石初始損傷[10-12]，瞬時應變階段的變形可以當做彈性應變，此時巖石內部空隙開始閉合，在施加較大應力水平后，瞬時應變不僅包含了彈性應變，也包含了塑性應變，此時巖石內部空隙在完全閉合后，會產生一定裂隙使得巖石體積由壓縮狀態轉化為膨脹狀態，瞬時應變非線性特性更加明顯。

2 非線性損傷蠕變方程

2.1 損傷變量

通過引入開關元件來改進西原模型[13]，則改進后的西原模型，如圖5所示。

圖5 改進后的西原模型Fig.5 Improved Nishihara model

改進后西原體一維蠕變方程為[14-17]：

當σ<σcr時，

(1)

當σcr≤σ<σs時，

(2)

當σs≤σ時，

(3)

式中，E0，E1為彈性模量；η1，η2為黏滯性系數；σs為長期強度；σcr為開關元件啟動應力；ε為應變；σ為應力。

根據應變等效原理[18-19]將改進后的西原體一維蠕變方程表示如下

(4)

式中，D1為彈性體劣化的損傷變量；D2為彈性體和黏彈性體劣化的損傷變量；D3為改進后整個西原體劣化的損傷變量。

假設不考慮對時間t求導所得應變速率，分別對上式關于時間t求導數得：

(5)

根據材料內變量理論和最小耗能原理[20]，在不考慮材料熱耗散能時，其耗能率φ(t)為：

(6)

本研究蠕變試驗在常溫條件下進行假三軸試驗(σ1>σ2=σ3)，屈服函數選取以下形式，即[21]：

(7)

式中J2為應力偏量第二不變量。

根據最小耗能原理知材料在損傷破壞過程中，巖石任意時刻在約束條件(屈服函數)下耗能最小，即

(8)

式中λ為拉格朗日比例常數。

聯立式(5)～(8)式可得：

(9)

式中，λi為拉格朗日比例常數，i=1，2，3；C1，C2和C3為材料常數，可擬合得到;a=1/E0+1/E1×[1-exp(-E1×t/η1)]；b=exp(-E1×t/η1)/η1。

根據文獻[22]知，在不考慮體積變化的前提下，令S=σ1-σ3，將式(1)～(3)轉化為西原體三維狀態下的非線性損傷方程，得出巖石的軸向蠕變損傷方程為:

當σ<σcr時，

(10)

當σcr≤σ<σs時，

(11)

當σs≤σ時，

(12)

式中S為應力偏張量。

2.2 損傷蠕變參數確定

根據文獻[23-24]可知,通過等時應力-應變曲線(如圖6所示)可以得出圍壓30 MPa下砂巖的長期強度為σs=90 MPa。

圖6 等時應力-應變曲線Fig.6 Isochronous stress-strain curves

本研究采用Origin軟件對試驗曲線進行參數辨識(參數見表2)。由于所施加應力水平較大，遠遠超過蠕變起始應力門檻值σcr，不會存在只有瞬時應變且不產生蠕變變形的情況，故只考慮其他兩種情況下的蠕變損傷模型與試驗數據的對比。

表2 蠕變擬合參數Tab.2 Creep fitting parameters

將表中不同應力水平作用下的蠕變參數值代入到改進后的模型中，得到巖石在不同應力水平作用下模型曲線與試驗數據對比如圖7(b)所示。同理，可得圍壓20 MPa蠕變損傷變量與時間關系的曲線如圖7(a)所示。從試驗數據與模型曲線對比可知，結合能量原理和最小能耗原理確定內變量D，可以較好地反映巖石內部變形變化狀態，并可以將巖石損傷演化規律以能量變化方式呈現出來，進一步說明巖石損傷貫穿于整個加載試驗過程中，也可以通過損傷演化規律來描述巖石能量耗散規律。

圖7 對比曲線Fig.7 Contrast curves

將表2中確定的蠕變參數代入式(9)中，繪制出不同圍壓條件下，砂巖試樣最后一級損傷變量D3與時間t的變化關系如圖8所示。

圖8 損傷變量與時間Fig.8 Damage variable vs. time

由圖8可知，損傷變量隨著時間的增加，先呈現出近水平、小幅度增長，在蠕變變形進入加速蠕變后，損傷變量開始急劇增大，數值逐漸趨近于1，這說明了在變形進入加速蠕變變形階段后，巖石內部空隙首先在軟弱區積聚，使得巖石損傷程度進一步加大，內部空隙和裂隙逐漸貫通為宏觀裂縫，最終巖石產生失穩破壞。

為了進一步驗證本研究建立蠕變損傷模型的適用性，引用文獻[25]中花崗巖蠕變試驗數據，基于最小二乘法獲得蠕變模型參數，然后將計算模型曲線與試驗數據對比如圖9所示。

圖9 計算值與實驗值擬合(花崗巖)Fig.9 Calculated values fit with experimental values (granite)

由圖9可知，本研究建立的蠕變損傷模型，對于不同圍壓作用下花崗巖蠕變特性也有較好地描述，計算曲線和試驗數據擬合度較高，說明了該損傷模型不僅適用于描述砂巖的蠕變特性，也適用于描述花崗巖的蠕變特性。這是由于建立的損傷模型是考慮巖石耗散機制的基礎上，而能量的耗散機制存在于任何一個自然作用中，故本研究建立的損傷模型可以適用于任何巖石的蠕變變形情況。

3 結論

以阜新海棠山隧道圍巖(砂巖)為研究對象，對三軸蠕變作用機制展開研究，構建了一個新型的能量耗散蠕變模型。得出以下主要結論：

(1)在施加較大應力水平后，瞬時應變不僅包含了彈性應變，也包含了塑性應變，此時巖石內部空隙在完全閉合后，會產生一定裂隙使得巖石體積由壓縮狀態轉化為膨脹狀態，瞬時應變非線性特性更加明顯，且瞬時變形逐漸由線性轉變為非線性，具有較為明顯的轉折點。

(2)在相同圍壓、不同應力下砂巖蠕變試驗曲線與模型曲線擬合度較高，說明了基于最小耗能原理來建立非線性蠕變損傷模型，對砂巖蠕變全過程演化規律描述是合適可行的，也充分地說明將巖石作為耗散結構來確定巖石損傷程度以及反映巖石蠕變全過程變形規律是正確的。

(3)通過能量原理引入內變量D，可以較好地反映巖石內部應力-應變變化狀態，也較好地呈現出巖石內部能量耗散具體過程，且該模型對于不同圍壓作用下花崗巖蠕變特性也有較好地描述，計算曲線和試驗數據擬合度較高，說明了該損傷模型的適用性廣泛。