巖溶區土洞基礎穩定性解析研究

趙明華，肖 堯，趙 衡，徐卓君,胡 倩

(湖南大學 巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

0 引言

我國疆域遼闊，地質條件復雜，巖溶就是工程中常見的不良地質，其主要分布在我國西南地區[1]。巖溶區常見的產物有土洞和溶洞，空洞的存在極大的削弱了基礎承載力，其穩定性分析關系到工程的安全性[2]。因此，對巖溶區土洞基礎穩定性分析具有重要的工程實踐價值。

目前，國內外許多學者已經對空洞的穩定性問題進行了研究，分析方法主要有模型試驗、數值分析和理論計算。考慮軸對稱模型，Baus 和Wang[3]基于室內模型試驗，對條形基礎荷載作用下硬黏土中的空洞穩定性進行了研究。隨后，Badie和Wang[4]通過模型試驗探討了土洞與基礎偏移位置對承載力的影響。采用離心機試驗,Kiyosumi等[5]對條形基礎荷載作用下多個空洞的穩定性進行了分析。模型試驗能有效地探討機理方面的問題，但造價昂貴，對于更多影響因素的探討可采用數值分析作為補充。Kiyosumi等[6]采用有限元法對多空洞地層上條形基礎的屈服荷載進行了計算。在此基礎上，Lee等[7-8]對不排水條件下土洞的穩定性進行了研究，并探討了傾斜荷載的影響。Xiao等[9-10]采用有限元極限分析法對條形基礎荷載作用下雙層土和巖體中的多空洞穩定性進行了研究。理論研究方面，Wang和Hsieh等[11]對、劉輝等[12]考慮軸對稱模型，采用極限分析上限法對條形基礎荷載作用下土洞的穩定性進行了分析。劉之葵等[13]基于彈性理論，求得條形基礎荷載作用下土洞周邊土體的應力狀態，并采用Mohr-Coulomb屈服準則，對土洞穩定性進行了評價。趙明華等[14-15]、胡柏學等[16]和雷勇等[17]對巖溶區樁基承載性能進行了研究，得到了相應的計算公式。李倩倩等[18]和趙衡等[19]采用復變函數的方法分別得到了橢圓形、矩形空洞地層應力場的精確解答，并對空洞的穩定性進行了分析。以上理論分析對基礎荷載作用下土洞的穩定性進行了深入的探討，但仍存在以下不足：其一，以上理論分析方法不能考慮非均布荷載對土洞穩定性的影響；其二，現有分析計算方法均采用軸對稱計算模型，其不適用于非對稱條件下土洞穩定性的評價。

鑒于此，首先根據工程實際情況簡化得到8種不同的計算模型；其次，基于Boussinesq解、Mindlin解分別對地層表面基礎荷載、地層內部基礎荷載進行積分，得到非均布基礎荷載作用下半無限空間內任意點的應力狀態；然后，基于復變函數理論，求得圓形、橢圓形土洞在自重作用下的應力，同時得到考慮地下水影響的應力表達式；最后，將基礎荷載作用下的應力狀態與土洞在自重作用下(考慮或不考慮地下水)的應力狀態進行疊加，并引入Mohr-Coulomb屈服準則，對土洞穩定性進行評價。該方法能綜合考慮基礎荷載的非均布及非對稱性，對巖溶區土洞基礎的初步設計具有較強應用價值。

1 計算模型

根據工程實際合理簡化得到如圖1所示的8種不同工況條件下的計算模型，并假定：

(1)地層中土洞為深埋空洞，截面形狀簡化為圓形或橢圓形；

(2)土洞縱向無限長，視為平面應變問題；

(3)地層中土體為理想彈性均質材料。

圖1 假定計算模型Fig.1 Assumed calculation model

圖1中A和B為基礎荷載的兩個端點；O為圓形、橢圓形土洞幾何中點；J為通過O點的垂線與土層表面的交點；d、dl分別為O點與A點的直線距離、水平距離；dh為土洞中心點O到土層表面的垂直距離；dw為土洞中心點O到地下水表面的垂直距離；ξ為基礎的寬度；s為基礎的埋置深度；h為地下水表面到土層表面的距離；r為圓形土洞的半徑；a、b為橢圓形土洞的長軸、短軸；q(l)為基礎荷載。

2 土洞穩定性分析

2.1 基礎荷載作用下地層應力求解

由圖1可知，基礎荷載作用于地層表面或地層內部，下面將分別對兩種不同基礎荷載作用下的地層應力進行求解。

(1)基礎荷載作用于地層表面

圖2 坐標系L1，L2Fig.2 Coordinate systems L1 and L2

圖1(a)、(b)、(e)、(f)為基礎荷載作用于地層表面的情況，以J點為原點，地層表面為x軸，OJ為z軸，建立直角坐標系L1,見圖2(a)。

在Boussinesq解的基礎上，對q(l)進行積分，可得到基礎荷載作用下任意一點M(x,z)的應力，表達式如式(1)～(3)所示：

(1)

(2)

(3)

(2)基礎荷載作用于地層內部

圖1(c)、(d)、(g)、(h)為基礎荷載作用于地層內部的情況，以J點為原點，地層表面為x軸，OJ為z軸，建立如圖2(b)所示的直角坐標系L2。

在Mindlin解[20]的基礎上，對q(l)進行積分，可得到基礎荷載作用下任意一點M(x,z)的應力，表達式如式(4)～(6)所示：

(4)

(5)

(6)

(7)

2.2 土洞在自重作用下應力求解

本研究的對象主要包括圓形土洞、橢圓形土洞，下面將分別給出圓形、橢圓形土洞在自重作用下及含地下水時應力場的求解，具體內容和過程如下：

(1)土洞為圓形時

圖1(a)～(d)為圓形土洞的情況，不考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖3(a)所示，并取直角坐標系K1。

圖3 圓形土洞受力分析Fig.3 Force analysis on circular soil cave

圖3中，γs和γn分別為土體的重度、浮重度；q為地下水表面以上土層的荷載；β為地層側壓力系數，可由式(7)求得。

β=ν/(1-ν)。

(8)

文獻[21]采用復變函數的方法，對該問題進行了求解。

取映射函數：

Ζ=ω(ζ)=rζ。

(9)

解得不考慮地下水時，圓形土洞在重力作用下的應力表達式，如式(10)～(12)所示。

σθ=-0.5μ1μ2(1+α2)+0.5μ3[α+0.5μ4ρ+

0.5μ2α3-μ5(α3+α)]sinθ-0.5μ1μ6(1+3α4)·

cos 2θ+μ3μ6(α5-0.25α3+0.25ρ)sin 3θ， (10)

σρ=0.5μ1μ2(α2-1)-μ1μ6(2α2-0.5+1.5α4)·

cos 2θ-μ3μ6(α5-1.25α3+0.25ρ)sin 3θ-0.5μ3·

[α+μ5(α-α3)+0.5μ2α3-0.5μ7ρ]sinθ，

(11)

τρθ=μ3(0.25μ2α3+0.25μ6ρ-μ8α-0.5μ5)·

cosθ-μ1μ6(0.5-1.5α4+α2)sin 2θ+

μ3μ6(-0.25ρ-α5-0.75α3)cos 3θ，

(12)

式中，σθ，σρ分別為曲線坐標下θ，ρ方向上的正應力；τρθ為切應力；μ1=γsdh；μ2=1/(1-ν)；μ3=γsr；μ4=(1+2ν)/(1-ν)；μ5=1/(2-2ν)；μ6=(1-2ν)/(1-ν)；μ7=(3-2ν)/(1-ν)；μ8=(1-2ν)/(4-4ν)；α=1/ρ。

當ρ=1時，可得圓形土洞洞邊的應力表達式，如式(13)～(15)所示。

σθ=-μ1μ2+0.5μ3(1+0.5μ4+0.5μ2-2μ5)·

sinθ-2μ1μ6cos 2θ+μ3μ6sin 3θ，

(13)

σρ=0，

(14)

τρθ=0。

(15)

應力分量由極坐標向直角坐標的變換關系式[22]為：

σx=σρcos2θ+σθsin2θ-2τρθsinθcosθ，

(16)

σz=σρsin2θ+σθcos2θ+2τρθsinθcosθ，

(17)

τxz=(σρ-σθ)sinθcosθ+τρθ(cos2θ-sin2θ)。

(18)

將式(13)～(15)代入式(16)～(18)可得x-z平面直角坐標系下圓形土洞在重力作用下洞邊的應力表達式，如式(19)～(21)所示：

sin3θ-2μ1μ6sin2θcos 2θ+μ3μ6sin2θsin 3θ， (19)

2μ5)cos2θ·sinθ-2μ1μ6cos2θcos 2θ+

μ3μ6cos2θsin 3θ，

(20)

sin2θcosθ+μ6(2μ1cos2θ-μ3sin 3θ)sinθcosθ。

(21)

當考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖 3(b) 所示，并取直角坐標系K2，本研究仍然將土洞作為深埋空洞處理，根據文獻[21]，則必須滿足dw>5r。

(2)土洞為橢圓形時

圖1(e)～(h)為橢圓形土洞的情況，不考慮地下水時，圓形土洞受力分析如圖4(a)所示，并取坐標系K3。

圖4 橢圓形土洞受力分析Fig.4 Force analysis on ellipse soil cave

文獻[18]對上述問題進行了求解，由于應力表達式冗長，本研究僅給出計算步驟：

① 令q=0，并將dh，γs，z替換文獻[18]中的d，γ0，y便可得到橢圓形土洞在自重作用下的應力表達式。

②令ρ=1，可得在復平面內橢圓形土洞洞邊的應力表達式。

③將復平面內橢圓形土洞洞邊的應力表達式轉換為直角平面內的應力表達式，轉換關系如式(22)所示[23]。

(22)

式中，θ為復平面極坐標系的角度；θ1為直角平面極坐標系的角度。

當考慮地下水時，橢圓形土洞受力分析如圖4(b) 所示，并取坐標系K4，本研究仍然將土洞作為深埋空洞處理，根據文獻[21]，則必須滿足dw>5a。

2.3 土洞穩定性評價

將基礎荷載作用下產生的應力與土洞洞邊在重力作用下(考慮地下水或不考慮地下水)產生的應力疊加，可得到基礎荷載作用下的土洞洞邊應力表達式：

σx=ψx+φx，

(23)

σz=ψz+φz，

(24)

τxz=ψxz+φxz，

(25)

在利用式(23)～(25)對應力進行疊加時，統一按切應力以順時針方向為正、壓應力為負、拉應力為正。

則可求得相應的最大、最小主應力為：

(26)

(27)

土體極限平衡狀態時的莫爾圓與抗剪強度包線的關系如圖5所示。

圖5 Mohr應力圓與強度的關系Fig.5 Relationship between Mohr stress circle and strength

圖5中，c為土體的黏聚力；φ為土體的內摩擦角；τ為切應力；σ為正應力。

由圖5可得土體破壞時的條件：

(28)

式(28)中規定壓應力為正，拉應力為負，與式(26)、式(27)中符號規定相反，因此，將式(26)、式(27)代入式(28)時，需對符號正負號進行變換。若：

(29)

則可判斷土體破壞，土洞處于不穩定狀態；反之，土洞處于穩定狀態。

2.4 土洞穩定性評價計算步驟

為了便于分析，給出了不同工況下的分析步驟，如圖6所示。

(1)對基礎荷載作用下的地層應力進行求解：基礎荷載作用于地層表面時，采用 Boussinesq解積分式求解；基礎荷載作用于地層內部時，采用Mindlin解積分式求解。

(2)建立土洞在自重影響下應力場的計算模型，基于復變函數的方法對考慮地下水或不考慮地下水時，圓形土洞或橢圓形土洞在自重影響下的應力場進行求解，并得到土洞洞邊應力分量的表達式。

(3)將基礎荷載作用下的地層應力表達式與土洞在重力作用下洞邊應力分量的表達式進行疊加，得到基礎荷載作用下的土洞洞邊應力分量表達式。

(4)引入Mohr-Coulomb屈服準則，對土洞洞邊上的點進行驗算，從而判斷土洞是否穩定。

圖6 土洞穩定性評價計算過程Fig.6 Calculation process of soil cave stability assessment

3 算例

某工程[2]采用1.6 m×1.6 m的獨立柱基，如圖7所示。基礎埋深為1 m，基底以下為硬塑黏土，地下水為潛水，水位埋深為地面以下1.8 m,硬塑黏土承載力標準值fk=200 kPa，黏土重度γs=18 kN/m3，c=50 kPa，φ=26°，基底附加應力P0=180 kPa，基礎底面以下5.0 m 處有一洞高為0.60 m的土洞，土洞內無充填物，硬塑黏土側壓力系數β取0.5。

圖7 工程概況(單位：m)Fig.7 Project profile(unit:m)

該工程實例與本研究圖1(d)的情況一致，此時s=1 m，h=1.8 m，dw=4.5 m，dl=-0.8 m，ξ=1.6 m，r=0.3 m，q(l)=180 kPa，γn=8 kN/m3。

由于該問題為軸對稱問題，本研究按照文獻[2]的做法，取a(θ=0°)、a(θ=30°)、a(θ=60°)、a(θ=90°)作為土洞穩定性的驗算點。根據圖6給的計算步驟，可得應力計算結果如表1所示。

表1 應力計算結果Tab.1 Stress calculation result

將σ1，σ3代入式(12)，可知a，b，c，d均處于穩定狀態，因此可以判斷該土洞在基礎荷載作用下穩定，這與文獻[2]所得結論是一致的。

4 結論

(1) 根據土洞上方基礎的承載特性，綜合考慮了地下水、土體自重、溶洞形狀對土洞穩定性的影響，提出了8種不同條件下土洞穩定性計算模型，為基礎荷載作用下土洞的穩定性分析奠定了基礎。

(2) 通過對Boussinesq解、Mindlin解進行積分，得到基礎荷載作用在地層表面、地層內部時地層應力表達式，并基于復變函數方法求得土洞在自重影響下的洞邊應力，將二者疊加得到了基礎荷載作用下土洞洞邊應力狀態。

(3) 根據應力分量求得最大、最小主應力，引入Mohr-Coulomb屈服準則，選取離基礎較近的土洞周圍的關鍵點進行驗算，從而對土洞穩定性進行評價。