幾何畫板在平面向量數量積求最值中的應用

王曉明

【內容摘要】隨著教育課程的不斷變革，各科的任課教師要根據現有的課程標準采取高效的課堂授課模式。在高中數學教學中，幾何畫板因其自身的優勢，已經成為眾多數學教師首選的教學工具。運用幾何畫板輔助教學，不僅能增加課堂教學容量、優化課堂教學結構，而且能增強學生的學習興趣，激發學生的探究精神。高中的平面向量知識對學生是有一定難度的，尤其是對于平面向量數量積求最值問題，學生處理起來相當棘手。因而，借助于幾何畫板這個教學工具來進行動態演示，使得數學問題更加形象、直觀，學生易于理解、掌握，同時增強學習積極性，進而提高課堂教學效率。所以，本文就幾何畫板的優勢特點探討其在平面向量數量積求最值中的應用，旨在為高中數學教師的教學提供一定的借鑒意義。

【關鍵詞】幾何畫板 平面向量數量積求最值 應用

一、幾何畫板的優勢特征

幾何畫板在高中數學教學中是一種非常有用的教學工具，它可以被應用到平面幾何教學，立體幾何教學甚至是高中代數教學。幾何畫板操作簡單，功能強大，而且在任意拖動幾何圖形的過程中保持幾何關系都不變，以一種動態的方式來呈現需要學習的幾何圖形。因此，在如今以學生為主體的課堂教學中，借助于幾何畫板平臺，學生在觀察、探索、發現過程中深化對知識的理解和掌握。幾何畫板在平面向量數量積求最值中的應用有以下兩大優勢：

首先，數學教師運用幾何畫板有助于學生能更加直觀地了解抽象的數學語言，從而可以加快課堂的學習進度，提升課堂的教學效率。其次，恰當地運用幾何畫板，可以提升學生的自主探究能力，進而提升學習興趣和積極性，進一步培養學生的創新能力。

二、幾何畫板在平面向量數量積求最值中的應用

1.引入幾何畫板，激發學習興趣

初中數學對于平面向量這一塊要求不高，學生只需初步了解一些概念，但是高中的平面向量教學頗有難度。況且高一學生從初中升入高中，有時無法適應高中數學教學，導致學生對數學有一定的恐懼心理。因而，在進行平面向量數量積求最值的教學中引入幾何畫板，借助于幾何畫板的動態演示來突破解題難點，使得學生易于接受，更能提高學生的學習興趣和積極性，從而取得較好的教學效果。

2.任務驅動，培養探究能力

在進行平面向量數量積求最值的教學過程中，教師可以先讓學生了解平面向量數量積的相關理念，然后讓學生動手操作幾何畫板來進行驗證。在驗證過程中出現的問題，可以小組之間進行相互討論，倘若學生在多次嘗試之后仍然無法解決，教師利用幾何畫板進行演示，之后再讓學生自己進行探究。在反復的嘗試中思考、分析，從而提升學生的探究能力。

3.實踐應用，關注教學成果

將幾何畫板的教學工具引入到學生的群體中，讓學生自己動手操作來解決下面習題。

已知：△ABC的外接圓是半徑為1的⊙0，且∠BOC=120°，求：（1）BA→·BC→的最大值;（2）AB→·AC→的最小值。

分析：第一小題，作AH垂直于BC于點H，如圖1，BA→·BC→=∣BA→∣·∣BC→∣·cos（BA→，BC→）根據平面向量數量積幾何意義，BA→·BC→即為∣BC→∣與BA→在BC→上的投影的乘積，由題可得∣BC→∣=3，故求BA→·BC→的最大值就轉化為求投影的最大值。為此，借助于幾何畫板地操作，當點A在圓上運動時，觀察BA→在BC→上的投影變化情況，學生容易發現當點A在點A1處時，即A1H1與圓相切，而A1H1垂直BC時，∣BH→∣max=∣BH1→∣=1+32，所以BA→·BC→最大值為 3（1+32）。

第二小題，取BC中點為點M，如圖2，根據極化恒等式，AB→·AC→=∣AM→∣2-14∣BC→∣2所以AB→·AC→即為第三邊BC中線長與第三邊BC一半的平方差，由題可得∣BC→∣=3，∣OM→∣=12，故求AB→·AC→的最小值就轉化為求中線長的最小值，為此，借助于幾何畫板地操作，當點A在圓上運動時，觀察中線AM的變化情況，學生容易發現當點A在點A2處，即A2、0、M三點共線時，∣AM→∣min=∣A2M→∣=12，所以AB→·AC→最小值為-12。

通過對這道習題的研究，我們發現讓學生參與甚至動手操作幾何畫板的動態演示，從中觀察、分析，這樣易于探究出動點A在何處位置時取得最值。這樣的課堂教學學生真正做到了合作探究，發現新知。

三、小結

高中數學教學的難度已經比初中要高很多，高中數學的知識點會結合其他的知識點共同考核，如果學生不能夠完全地理解知識點的含義，很容易在綜合題的解題過程中出現看不懂題的情況。因而，在解決平面向量數量積求最值問題時，借助于幾何畫板操作，使得學生能夠更加直觀地了解問題本質，從而快速有效地解決問題，大大提升教學效率。所以，幾何畫板使得數學課堂教學變得更靈活，更有效，更直觀。其實幾何畫板更為學生提供了一個可以進行幾何“實驗”的環境，有助于發揮學生的主體性，積極性和創造性，充分體現了現代教學的思想。

【參考文獻】

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（作者單位：浙江省天臺育英中學）