“心形函數”的愛情

陳璐

一封數學情書

發明了解析幾何的法國數學家勒內·笛卡爾和瑞典公主克里斯蒂娜之間，有一段浪漫的愛情傳說，堪稱理工科學霸的表白典范。

故事開始于1648年斯德哥爾摩的一個午后，52歲的笛卡爾正在街頭研究數學問題。這位法國哲學家、數學家，因為黑死病的蔓延逃到了瑞典，此時他的全部財產只有身上破破爛爛的衣服和隨身攜帶的幾本數學書。

他專注的神情吸引了一位路過的少女——18歲的克里斯蒂娜。她拿起笛卡爾的數學書和草稿紙，和他交談起來。言談中笛卡爾發現，這個女孩思維敏捷，對數學有著濃厚的興趣。兩個人道別后不久，笛卡爾接到國王的通知，他被聘為公主的數學老師。克里斯蒂娜就是這個公主。愛情，在日復一日的相處中悄然萌芽。然而，當這一切傳到國王耳中時，國王大怒，下令馬上將笛卡爾處死。最終，在公主的哀求下，笛卡爾被遣送回法國。

法國數學家勒內·笛卡爾

身體羸弱的笛卡爾回國后很快就染上了黑死病，生命進入倒計時。在最后的日子里，他仍然思念著克里斯蒂娜，每天堅持給她寫信，并盼望心上人的回音。可是這些信都被國王攔截下來。在寄出第13封信后，笛卡爾永遠地離開了這個世界。這封最后的情書中沒有寫一句話，只有一個方程式：

r=a（1-sinθ）。

看不懂這封信的國王，召集了全城的數學家，卻沒人能解開這個方程式。于是國王放心地把信交給了悶悶不樂的公主。拿到信的克里斯蒂娜立刻找來紙和筆，將這個函數的曲線圖在坐標軸上畫了出來，一個心形圖案出現在眼前，這是笛卡爾對克里斯蒂娜最后的告白。這就是著名的“心形函數”。

這段傳說既美麗又“硬核”，符合人們對一位數學家至深告白的全部想象，因此流傳甚廣，感動了無數癡情男女。

歷史上，笛卡爾確實擔任過克里斯蒂娜的老師，并因她而死，但故事遠沒有這么浪漫。和傳說不同，克里斯蒂娜并不是一位柔弱的公主，她的父親是著名的“北方雄獅”古斯塔夫二世。1632年古斯塔夫二世在呂岑戰役中去世，年僅6歲的克里斯蒂娜即位成為女王，并在20多年的統治期內，帶領瑞典進入鼎盛時期。

1649年9月，53歲的笛卡爾接受克里斯蒂娜女王的邀請，從荷蘭來到瑞典的斯德哥爾摩擔任宮廷教師，為女王講授哲學。此時的克里斯蒂娜23歲，已掌權多年。克里斯蒂娜對笛卡爾的到來感到非常高興，免去他一切宮廷瑣務，只需每周3次在早上5點前來和她討論哲學問題。但是，她沒有料到的是，笛卡爾痛恨早起。因為自幼體弱多病，笛卡爾養成了賴床的習慣，上午11點之前不會起床。剛好，那一年冬天是斯德哥爾摩60年來最寒冷的冬季，所以，這場教學成了一道意料之外的催命符，笛卡爾很快患上肺炎，并因此在第二年2月離開了人世。

真正和故事中這位公主形象比較相符的，其實是波希米亞國王腓特烈五世的長女——伊麗莎白公主。她天性聰慧，求知欲極強，在認識笛卡爾之前就通讀了他的大部分著作。1643年，笛卡爾與伊麗莎白公主開始通信。伊麗莎白渴望弄懂笛卡爾的形而上學問題，她特別關注肉體與靈魂之間的關系。她提出的第一個問題，就與身心互動有關。但笛卡爾的回信并沒有令她感到滿意，所以公主懇請笛卡爾就“靈魂的激情”做出更清楚的說明。這影響了笛卡爾的思考方向，同時也令《論靈魂的激情》這本著作得以誕生。

更有意思的是，伊麗莎白還很喜歡數學，她的一項業余愛好就是解代數題。笛卡爾曾在給伊麗莎白的信中寫道：“經驗告訴我，有能力了解形而上學推論方法的人，大多數無法理解代數的結構;而那些能夠理解代數的人，又通常沒有能力了解形而上學。我尊貴的公主殿下，在我看來，您卻同時能夠輕易地了解二者。”而公主給笛卡爾的信，落款總是“對您充滿深情的朋友”。雖然兩個人相差22歲，但他們的書信中充滿了感情，看不出任何年齡差距。幾乎所有的笛卡爾傳記作者都猜測，他們之間是不是有了男女之情，然而誰也無法從這些滿是思想討論的書信中捕獲任何證據。

不過，對于笛卡爾去瑞典宮廷擔任女王老師的決定，伊麗莎白曾堅決反對，態度異常激烈。后來，當波蘭瓦薩王朝的瓦迪斯瓦夫四世向伊麗莎白求婚時，她斷然拒絕，理由竟然是：“我已經愛上了笛卡爾的哲學，并希望為此奉獻終身。”

人類的心臟，愛情的象征

心形函數所使用的極坐標系，是在笛卡爾去世80多年后，由艾薩克·牛頓在他1736年出版的《流數法和無窮級數》中首先應用到平面上的。此外，心形函數的英文名稱“Cardioid”，則是意大利數學家卡斯蒂隆1741年正式命名并發表在英國皇家學會期刊《自然科學會報》上的，意為“像心臟的”。

即便心形函數不是笛卡爾發明的，但作為解析幾何的奠基人，沒有他，便不會有心形函數的誕生，人們因此樂得將這個故事安在他身上。那么，為什么我們看到心形就會聯想到愛情呢？從什么時候起這種圖形成了愛情的標志呢？

“在14世紀之前，它并不意味著愛情。”美國加州大學洛杉磯分校的中世紀文學教授埃瑞克·賈格爾在他那本《心形圖案的前世今生》中指出。盡管現在人們看到心形的時候就會聯想到一系列與愛相關的詞語，但古希臘人可能會對這種聯想感到極度困惑。

現在人們熟悉的這種形狀，最早是作為裝飾圖形出現在許多古希臘陶器上的。那些被粗略描繪的葉子等植物圖案，環繞成一個并不復雜的曲線，且不蘊含特殊意味。但當愛情的概念在中世紀開始成形時，它的象征意義也隨之成形。

心形函數曲線圖

愛情詩《梨之戀》的插圖

早在古希臘，抒情詩就常常把心和愛聯系在一起。在已知最早的希臘故事中，詩人薩福為自己“瘋狂的心”因愛顫抖而痛苦。她生活在公元前7世紀的勒斯波斯島，身邊環繞著她的女弟子，她為她們寫了充滿激情的詩歌，比如，“愛搖撼了我的心，就像山上的風吹亂了橡樹。”

古希臘哲學家也都不同程度地同意，心臟與人們最強烈的情感有關，包括愛。柏拉圖認為，在愛情以及恐懼、憤怒、暴怒和痛苦等情緒中，胸部占據了主導地位。亞里士多德進一步擴展了心臟的作用，賦予它至高無上的地位。古羅馬人時常把心和愛聯系起來。愛神維納斯在她的兒子丘比特的幫助下點燃了人們的心，而丘比特的箭總能射中人的心臟。在心形圖像的歷史上，常被提及的一幅作品，是詩人蒂博1255年創作的法語愛情詩《梨之戀》的插圖，這被認為是解剖學文獻之外的第一張心臟插圖。人們認為，這首詩和這幅圖畫的靈感，來自一個深陷愛情的人可以把自己的心交給所愛之人，就像詩中的情人把梨給別人一樣。然而，詩作插圖中這顆心的形狀更像一只梨，與我們如今熟知的心的樣子仍然有些差別。

另一個早期將心臟與愛結合在一起的例子，來自中世紀手抄卷《馬內塞古抄本》。這是一本創作時間在1300年至1340年之間的情詩合集。其中一頁的插圖中，一棵奇特的樹矗立在一對夫婦之間，形成一顆心的輪廓，心形中的徽章上寫著拉丁文的“愛”。

到了1400年，意大利詩人弗朗西斯科·巴爾貝李諾的詩集《愛的記錄》出版。書中插圖大膽描繪了裸體的丘比特，他站在一匹脖子上戴有心形花環的馬的背上，射出箭和玫瑰。這個心形圖案很快得到普及，心形開始出現在掛毯、撲克牌和其他藝術作品中。

意大利詩集《愛的記錄》中的插圖

如今收藏在羅浮宮的15世紀早期掛毯《心的禮物》，描繪的是一名男子小心翼翼地拿著一顆紅色的小心臟，向一個靜坐在綠葉間的女子走去，似乎要把這顆心交付于她。這一形象成為“宮廷式愛情”最受歡迎的代表之一。宮廷式愛情是支配著歐洲宮廷貴族行為的柏拉圖式愛情規則。這一富于幻想的畫面，在貴族圈子里廣泛流傳，表現了高尚而有禮貌的愛情。15世紀，約翰內斯·谷登堡用活字印刷機引發了一場信息革命，心形所代表的愛情含義也就此傳播開來，為人們廣泛接受。

如何用數學找到真愛

數學家用數學的方法處理與愛相關的問題，這似乎是很常見的做法。2010年菲爾茲獎得主賽德里克·維拉尼曾在他的日記體自傳《一個定理的誕生》中寫道，“我坐飛機一向只選擇經濟艙”，因為從統計學意義上來說，“經濟艙里的姑娘更可愛”。

數學還被運用到對婚姻關系的預測中。心理學家約翰·葛特曼和數學家詹姆斯·穆雷開發了一種數學模型，通過給夫妻對話時的情緒表現打分，比如認同加4分、有興趣加2分、拒絕溝通扣2分，以此來量化夫妻吵架時彼此間的互動和影響，并通過視覺化的圖像分析，為遭遇婚姻危機的夫婦提供咨詢。

他們發現，最終每對夫婦的分數走勢都會慢慢趨于穩定，不會有太大出入。這種趨勢代表了這對夫妻之間的問題。如果他們的對話評分曲線一直向下，就代表兩個人實在很難彼此欣賞，婚姻最終可能走不下去。根據不同的函數圖像，葛特曼和穆雷將婚姻分為5類：不穩定型、理智型、逃避型、敵意型和分裂型。其中前三者盡管相處模式不同，但都屬于比較能夠長久的婚姻。通過對130對伴侶長達12年的跟蹤測驗，這套模型的總體預測精準度高達94%。葛特曼和穆雷將這項研究寫成書出版了，名為《婚姻的數學：動態非線性模型》。

如果說將愛情和數學聯系起來，在以前是專屬于數學家的高端玩法，那么，如今隨著在線約會逐漸普及，數學在愛情中的作用逐漸加強。在日本漫畫《戀愛禁止的世界》中，為了解決少子化問題，日本政府禁止了自由戀愛，改為由政府全面接管。也就是說，政府會通過分析一系列遺傳基因和各種數據資料，利用數學模型幫你決定合適的婚姻對象，保證兩個人之間的契合度。盡管這是一個極端的假設，但越來越多的交友軟件正在利用一些數學解決方案來幫助用戶匹配潛在的合適人選。

伽利略曾說：“數學是描述現實、揭示世界運作原理的語言。這種通用語言現已成為檢驗真理的黃金標準。”或許，正是因為愛情的不確定性，人們才希望能夠用一種準確的語言去描述和檢驗它。而數學“非錯即對”的標準，也能夠為那些在情感中猶豫不決的人提供直接的解決方案。不過，值得注意的是愛因斯坦所說的那句話：“數學定律離現實越近，就越不確定;數學定律越確定，離現實就越遠。”