立足通法 圖象護航 技巧加速

王蘭靈

摘要?對函數單調性的研究，其核心可以歸結為研究導函數的圖象. 導函數圖象的形狀和位置能夠非常直觀地反映原函數的單調區(qū)間. 因此，導函數的圖象猶如護航使者，為函數單調性的討論保駕護航.

關鍵詞 導函數;圖象;單調性;分類策略

近幾年的全國卷，獨立命題的省市卷，都常以導數作為壓軸題，學生得分低. 無論是求函數極值、最值、不等式證明還是零點個數問題，最終都離不開討論含參函數的單調性. 筆者經過研究發(fā)現，對函數單調性的研究，其核心都可以歸結為研究導函數的圖象. 導函數圖象的形狀和位置能夠非常直觀地反映原函數的單調區(qū)間.?《普通高中數學課程標準（2017年版）》?也指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng). 直觀想象是發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎. 此外，我國著名數學家華羅庚也曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”. 因此，把導函數的圖象作為研究函數單調性的主要工具，既符合課程標準，又傳承了數形結合思想. 導函數的圖象猶如護航使者，為函數單調性的討論保駕護航. 含參函數導函數圖象的研究，與含參函數單調性的討論通法相通，但很多題目的數據設置非常有特點，如果我們能優(yōu)先發(fā)現數據的特殊性，便可利用技巧，優(yōu)化分類，提高解題效率.?下面以二次導函數（或類二次）為例，從易到難舉例示范.

類型一、判別式符號確定型（該類型較簡單，限于篇幅，略）

類型二、判別式符號不定型

通過以上四種類型的四個例題，我們可以把含參函數單調性的分類討論策略概括為“立足通法 圖象護航 技巧加速”，具體如下：

1. 將導函數盡量分解因式，把它變成整式乘除的形式.若出現二次函數（或類二次函數），則把其寫成二次函數的交點式形式，進而根據參數的符號、零點的分布、零點的大小分類討論.

2. 對于導函數無法分解因式的類型，則觀察參數，考慮其是否存在某個區(qū)間使得導函數（或導函數的某個因式）的符號是確定的. 若存在，則我們可以利用參數的特殊性優(yōu)化分類，提高效率;若不存在，則我們采用通法，根據參數的符號分類.

3. 對于以上兩種類型，我們都把導函數的圖象作為輔助工具，導函數的圖象能直觀地反映其零點的分布情況，更能自然地引導我們求出零點，且在必要的時候以零點的大小關系繼續(xù)分類.

參考文獻

[1]王守亮.構建二維循環(huán)模式 打造高效復習課堂[J].中學數學教學參考.2014年第12期：41-42，47.

[2]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.

[3]方明生.立足通性通法 尋求解題策略——含參函數單調性分類討論的標準[J].中學數學研究，2019年第9期：37-39.