考慮質量相關性需求與完全預防性維修的EPQ決策

盧 震，徐 健，楊允鋒

(東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110819)

1 引言

經濟生產批量(Economic Production Quantity，EPQ)模型最早由Taft[1]提出，并作為控制庫存的有力工具，其模型被廣泛運用于工業領域。但傳統的EPQ模型與實際生產并不是十分符合，許多學者結合實際問題對模型進行擴展修正。Massonnet等[2]將需求率設定成以時間為自變量的函數，進而構建最優生產批量模型；在此基礎上，Tayal等[3]和Das等[4]考慮在一個設定的周期內，產品的需求率是一個隨時間變化的線性函數，在此條件下擴展了EPQ模型；Andriolo等[5]進一步考慮了缺貨情況于以上的模型當中；Mandal和Pal[6]構建了基于斜坡型需求率的EPQ模型。Hsu等[7]以及Taleizadeh和Mohammadi[8]對經濟生產批量問題的擴展研究進行了相關的文獻綜述；國內學者謝金星等[9]針對能力受限的批量問題的數學模型與算法，介紹了一些主要的研究問題和方法。

由于傳統的EPQ模型對于其所提出的假設過于嚴格，越來越多的學者也開辟了更多新的視角，Ghare和Schrader[10]在構建EPQ模型時假設了一個固定的退化率；Geetha和Udayakumar[11]、Li Shoude[12]等學者均對Ghare和Schrader所提出的模型進行了擴展研究。對于其他方面的考慮，Wee等[13]針對庫存失效的經濟生產批量模型研究了部分缺貨的情形；Goyal和Gunasekaran[14]將營銷策略和產品失效引入經濟生產批量模型；Teng和Chang[15]構建了一個包括產品價格以及與存貨相關需求的考慮產品失效的經濟生產批量模型。國內的學者也在EPQ模型的擴展上做了許多相關的研究，魯奎[16]在考慮運輸成本和多供應商的情況下研究了動態經濟批量問題。

此外，為了有效改善生產過程中設備的質量退化現象，許多學者在EPQ問題研究中引入了預防性維修策略，并依據相鄰兩次預防性維修的間隔期是否固定以及通過預防性維修是否將設備修復如新將預防性維修策略分為周期性完全、周期性不完全、非周期性完全以及非周期性不完全四類預防性維修策略。其中，Aghezza等[17]和Nourelfath等[18]構建了周期性完全預防性維修和生產批量計劃的集成優化模型;Fitouhi和Nourelfath[19]和Hui和Gede[20]研究了非周期性完全預防性維修策略下的EPQ問題。Mustapha等[21]在EPQ決策中考慮了周期性不完全預防性策略；Mabrouka等[22]則進一步研究了非周期性不完全預防性策略下的EPQ問題。Charabory和Giri[23]提出了有檢查策略的EPQ模型，在設備生產過程中存在“受控”和“非受控”兩種狀態，通過定期或不定期的檢查以決定維修或預防性維修來提高設備的可靠性。

由于在大部分擴展EPQ問題均為整數非線性規劃問題(INLP)，考慮到問題求解的復雜性，許多啟發式算法被用于此類問題的求解，遺傳算法(GA)由于其簡單易用性，而成為一種較為常見的求解擴展EPQ問題的啟發式算法[24-26]。

綜上所述可以看出，已有的EPQ問題的研究中，對于可變需求模式的研究主要集中在庫存依賴需求、時間相關需求等方面，缺乏對產品質量相關需求的考慮，尤其是對于在預防性維修策略下同時考慮質量相關性需求及其與產品質量差異相關聯的研究并不多見。在實際生產經營過程中，產品需求率的大小在影響企業經濟生產批量決策的同時，還會受到產品質量水平的影響；而適當的設備維護計劃可以在有效改善設備工作狀態同時，提高產品質量水平，進而提升產品需求率。因此，在EPQ問題中綜合考慮預防性維修策略與質量相關性需求有助于更為實際的解決EPQ問題。本文在已有研究的基礎上提出單機環境下考慮產品質量相關性需求的EPQ與維護計劃的集成優化模型。同時，為有效降低問題研究的復雜性，本文對設備的維護采用周期性完全預防性維修策略[17,18]。

2 假設與符號說明

2.1 研究問題與相關假設

考慮設備在生產過程中隨著運行時間的增加而發生退化,設備的運行狀態隨著時間的推移，會有可能從原來的“受控”狀態轉為“非受控”狀態(“非受控”狀態下設備仍能運轉，但生產的產品質量會大大降低)，設備狀態轉化的概率隨設備運行時間增加而增加。設備在生產過程中會產出三種質量水平的產品：高質量合格品、低質量合格品和不合格品。其中不合格品只在設備“非受控”狀態下以一定比率產生，且能被及時檢測并進行修復。設備在“受控”和“非受控”狀態下均會生產一定比例的低質量合格品，“非受控”狀態下的低質量合格品產出率高于“受控”狀態。低質量合格品和高質量合格品雖然均為合格產品，但在未來用戶的使用當中會有不同的質量表現，因此，從長期來看，市場的需求是受產品質量(產品中低質量合格品率)的影響。在這種情況下，通過對設備進行周期性的完全預防性維修可使設備的生產狀態得到恢復，從而提高設備可靠性，降低設備生產狀態轉換的概率，減少產品中低質量合格品比率。針對以上問題，本文以單位時間的利潤最大化為目標，綜合考慮質量相關性需求與完全預防性維修下的經濟生產批量策略的確定。

為了便于展開研究，結合企業生產與維護的實際情況，本文給出以下相關研究假設：

1)本文的研究假設由一臺機器生產一種產品，生產率已知且恒定；

2)在生產過程中，設備不發生導致設備停機的故障；

3)在生產過程中對設備進行檢查，檢查時如果設備處于“非受控”狀態，則進行完全的恢復，否則進行完全的預防性維修；

4)檢查時間、恢復時間、預防性維修時間均忽略不計；(此項假設主要是為在突出本文研究重點的同時，簡化問題研究的復雜性，此類假設可參見文[17-18])

5)不合格品修復后都是低質量合格品，且其修復過程不占用正常的生產時間；

6)產品的價格由市場決定，為外生變量，產品需求只受產品的質量影響，且在一個生產周期內保持不變，產品的質量由產品中的低質量合格品比率來表示。

2.2 符號說明

p單位時間的生產率，已知且恒定；

d單位時間的需求率，是低質量合格品的函數

Pr單位產品的售價；

n檢查次數，決策量；

T檢查周期，決策量；

c0單位產品生產成本；

c1生產周期設置成本；

cs單次檢查成本；

ch單位產品單位時間庫存持有成本；

F(t) 生產過程中設備從“受控”到“非受控”發生狀態轉換的時間節點t的概率分布函數；

R(t) 設備恢復費用，R(t)=a+b(T-t)，其中a>0b>0

cp單次完全預防性維修的費用；

c單位不合格品修復成本；

α“非受控”狀態下所生產的不合格品比率；

θ1“受控”狀態下所生產的低質量合格品比率；

θ2“非受控”狀態下所生產的低質量合格品比率，θ2>θ1；

Q經濟生產批量，Q=nTp；

μ需求率調解系數。

3 模型構建

針對綜合考慮質量相關性需求與完全預防性維修的EPQ策略問題，本文采用企業單位時間的利潤最大化為系統最優化目標，其中生產總成本包括庫存成本、產品生產成本、檢查成本、周期設置成本、不合格品修復成本、設備預防性維修成本和恢復成本。

3.1 需求率函數

基于產品的需求率d與其質量有關，當所有產品均為高質量合格品時，產品的需求率達到其最大值dmax。有需求率函數如下所示：

d=dmax(1-μ·ρ)

(1)

其中，μ為調解系數，0<μ≤1；ρ為一次生產周期所生產的低質量合格品的總比率。

一個生產周期中產生的低質量合格品由三部分組成，分別為“受控”狀態下所生產的低質量合格品、“非受控”狀態所生產的低質量合格品、不合格品修復后的低質量合格品。

(1)“受控”狀態生產的低質量合格品數：

(2)

(2)“非受控”狀態生產的低質量合格品數：

(3)

(3)不合格品修復后的低質量合格品的數量：

(4)

則一個生產周期所產生的低質量合格品總數為：

A=A1+A2+A3

(5)

一個生產周期所生產的產品總數為npT，則低質量合格品比率ρ如式所示：

(6)

則與質量相關的需求率函數如下：

d=dmax(1-μ·ρ)

(7)

3.2 預防性維修成本

設備狀態轉換時間的概率分布函數設定為F(t)，其概率密度函數為f(t)。因為只有在檢查時設備處于“受控”狀態時才進行預防性維修，因此，當檢查周期為T，每個生產周期的檢查次數為n，每次完全預防性維修的費用為cp，則可知周期期望預防性維修總成本為：

(8)

3.3 恢復成本

只有在檢查時設備處于“非受控”狀態時才進行恢復操作。在對設備進行恢復時，單次的恢復費用為R(t)=a+b(T-t)，其中a>0、b>0，T-t為設備發生狀態轉換到檢查時的時間間隔，則周期期望恢復總成本為：

(9)

3.4 庫存持有成本

在下面圖1中描述了產品在整個生產過程中的庫存變化，其中T1到Tn為n次預防性維修的時間節點，其間隔期為T，此期間庫存增加率為p-d，Tn時刻設備停止生產，Tn到Te期間為單純的庫存消耗階段，其消耗率為需求率d，到Te時刻庫存消耗到零，并由此刻開始下一個生產批次。在整個生產過程中，庫存大于零，沒有缺貨發生。

圖1 產品庫存情況

令單位產品單位時間的庫存持有成本為ch，一個生產周期的期望庫存可以用圖1中三角形面積表示。則期望周期庫存持有總成本如下：

(10)

3.5 不合格品修復成本

當單位不合格品修復成本為c時，由式(4)可知期望周期不合格品修復總成本如下：

(11)

3.6 其他成本

(1)生產周期設置成本

在生產周期開始前，通常發生各種生產事項的準備費用，設定生產設置成本為一固定的數值c1，則有：

E(TC)=c1

(12)

(2)周期產品生產成本

令單件產品的生產成本為c0，而一個生產周期的生產批量為npT，則有一個生產周期的周期產品生產成本為：

E(PC)=c0nTp

(13)

(3)周期檢查成本

一個生產周期的檢查次數為n，設定一次檢查所需要的成本為cs，則有周期檢查成本為：

E(SC)=ncs

(14)

3.7 最優EPQ模型的構建

一個生產周期總成本包括設置成本、生產成本、檢查成本、庫存持有成本、預防性維修成本、恢復成本和不合格品修復成本，可以表示為式(15)，其中d如式(7)所示。

(15)

一個生產周期的期望時間為：

(16)

以企業單位時間的利潤最大化為目標來構建最優的EPQ模型，進而求出最優的檢查次數n、檢查周期T，由檢查次數和檢查周期可確定經濟生產批量。企業一個生產周期的總利潤為總收入減去總成本，總收入為Pr˙npT，總成本如式(15)，單位時間的期望利潤就是周期的期望利潤除以周期的期望時間，由此可得出企業的單位時間的期望利潤為：

(17)

模型的約束條件如下所示：

(18)

上述約束條件分別表示:設備預防性維修成本小于設備的恢復成本；需求有上限；生產率大于需求率；n是正整數；單位產品的售價大于單位產品的生產成本。問題的主要決策變量為檢查周期T、檢查或預防性維護的次數n。此問題是典型的整數非線性規劃問題，考慮目標函數的復雜性，本文采用遺傳算法對模型進行數值求解。

4 利用遺傳算法求解模型

遺傳算法(GA)是一種模仿自然選擇和生物進化過程的搜索技術。遺傳算法已被廣泛應用于各種應用中，特別是在整數非線性規劃問題(INLP)問題中，并被證明能夠在合理的時間內提供接近最優的解。

結合本文的最優EPQ策略問題，具體的算法步驟如下：

1)解表示和種群初始化：種群中的一個解決方案由對應于EPQ策略中的完全預防性維修的間隔周期T和預防性維修次數n組成的向量來表示。初始種群是通過將隨機生成的T和n的值分配給每個種群個體而產生的。種群的規模選擇為50。

2)適應度函數值的計算：由于標準遺傳算法中適應度值是取最小，結合本文研究的目標為利潤最大化，因此，令適應度函數為公式(17)的結果取負值。并將式(18)中的前三個約束作為懲罰函數并入到適應度函數中，形式分別為M*[cp-R(t)]+,M*[d-dmax]+,M*[d-p]+，其中M為懲罰因子，取10000。則適應度函數的最終表達式為

F=-П+M*[cp-R(t)]++M*[d-dmax]++M*[d-p]+

依據適應度函數公式計算種群中每個個體的適應度函數值。

3)選擇運算：依據步驟2)所得的50個個體的適應度值，采用輪盤賭選擇法進行50個新個體的選擇。

4)交叉與變異：設定交叉概率和變異概率分別為0.8和0.05。依據設定的交叉概率和變異概率對步驟3)所得的新個體基因進行交叉和變異操作，得到新一代的子代種群。

5)終止條件判斷：依據設定的終止代數50代，判斷是否滿足終止條件？如果不滿足，則重復步驟2到5，直至終止條件滿足。

5 數值分析

5.1 考慮質量相關需求的EPQ最優策略

使用MATLAB遺傳算法工具箱對問題求解，可得最優預防性維修次數n*=3，最優的檢查周期T*=0.23月，以及最優單位時間利潤П(n*,T*)= 16695.61元/月，遺傳算法最優適應度值的迭代過程如圖2所示：

圖2 遺傳算法適應度值迭代過程

在此基礎上，進一步分析不同預防性維修成本cp與不合格品比率θ2對EPQ策略、企業收益和市場需求的影響，計算結果分別如表1、2所示。

由表1可以看出，當設備處于“非受控”狀態所產生的不合格品率θ2增加時，市場的質量相關需求保持基本穩定，即產品的質量水平基本保持不變，但是最優的預防性維修次數n*增加，維修間隔期T*縮短，單位時間的利潤∏*降低。這是因為當“非受控”狀態下不合格率增加時，為減少低質量產品的產生，保持穩定的市場需求，就需要降低生產過程中由受控狀態轉為非受控狀態的可能性，因此所投入的預防性維修次數增加，且間隔期同時縮短，相應的預防性維修的成本隨之增加，從而導致單位時間利潤有所下降。

表1 不同不合格頻率θ2對最優EPQ策略的影響

表2 不同預防性維修成本cp對最優EPQ策略的影響

從表2可以看出，當隨著預防性維修的單次成本cp增加時，最優的預防性維修次數n*減少，維修間隔周期T*增大，市場需求d小幅減少，單位時間利潤∏*降低。這是因為當單次預防性維修成本增加時，為有效控制預防性維修總成本，以保證合理的企業收益，就需要適當減少預防性維修次數以及加大維修間隔期。這一維修策略的調整必然在一定程度上增加生產過程中“非受控”狀態的發生可能，產品中低質量產品比率因此增加，從而導致市場需求產生小幅降低，單位時間收益相應減少。

由此可見，在市場需求受產品質量影響時，加強對生產過程控制、加強設備維修管理，可以減少生產系統失效狀態發生的可能，有效提高產品質量的同時增強產品質量的穩定性，為企業獲取最大化收益。

5.2 與忽略質量相關需求的EPQ策略的對比分析

為進一步驗證考慮質量相關需求EPQ策略的有效性，下面將分析當市場需求受產品質量影響時，采用傳統靜態需求(即忽略需求的質量相關性)下的EPQ決策與應用考慮質量相關需求的EPQ決策，企業所獲單位時間利潤之間的關系。首先，在構建基于完全預防性維修的EPQ模型時，若忽略質量相關性需求，則需求為不受產品質量影響的定值，即需求率調節系數μ=0，則d=dmax=900件/月。原問題式(17)在除μ以外其他參數不變情況下，使用MATLAB遺傳算法工具箱對其進行求解，可得其EPQ最優決策為nd*=1,Td*=0.768月，單位時間利潤為∏d(nd*,Td*)= 17451.54元/月(其中上標d表示忽略需求質量相關性下的EPQ決策)。若將此決策應用到實際生產經營過程中，即將決策nd*=1，Td*代入到具有質量相關性需求的EPQ模型式(17)中，則產生的實際的單位時間利潤為∏(nd*,Td*)=15654.89元/月，小于原最優單位時間利潤∏(n*,T*)=16695.61元/月，其利潤差為1040.72元/月。表3展示了當市場中的需求率調節系數μ在0.1～0.9區間變化時，企業考慮質量相關需求所得到的最優EPQ決策及產生的單位時間利潤，與忽略質量相關需求下的最優EPQ決策及其產生的實際單位時間利潤之間的關系。

表3 不同的需求率調節系數下質量相關性需求EPQ決策與靜態需求EPQ決策下的利潤比較

首先，由表3左面四列數據可以看出，當需求率調節系數μ增加時，產品的需求率受產品質量的影響增大，從保證企業收益的角度，有必要加大設備預防性維修力度，從而在增加預防性維修次數n*的同時進一步縮短維修間隔期T*。其次，由表3右面四列數據可以看出，忽略需求質量相關性下的EPQ決策不受需求率調節系數變化的影響，而若將此決策應用到實際生產經營中，其所產生的企業收益將小于考慮質量相關性需求的EPQ決策為企業帶來的收益，且隨著市場需求受產品質量影響程度的增加，這一利潤的差值將明顯增加，由此可以看出本文所給出的EPQ策略會為企業帶來更多的收益。

6 結語

本文通過在EPQ決策中，綜合考慮質量相關性需求和完全預防性維修策略，對經典的最優經濟生產批量問題進行了擴展性研究。在建模階段，依據產品需求受產品質量(低質量產品比率)影響這一客觀背景，構建產品的需求率函數，在此基礎上綜合考慮單批次生產周期內發生的各項成本，以單位時間利潤最大化為目標，構建最優經濟生產批量模型。考慮到模型的復雜性，采用遺傳算法對預防性維修次數、維修間隔周期以及經濟生產批量的最優決策進行數值求解及分析，并得出以下幾點結論：(1)隨著不合格品率θ2的增加，市場的質量相關性需求基本穩定，預防性維修次數n*增多，維修間隔期T*縮短，單位時間的利潤∏*降低；(2)隨著預防性維修的單次成本cp增加，預防性維修次數n*減少，維修間隔周期T*增大，市場需求d小幅減少，單位時間利潤∏*降低；(3)隨著市場需求受產品質量影響程度的增加，預防性維修次數n*增加，維修間隔期T*縮短，單位時間利潤∏*降低；(4)與忽略質量相關性需求的EPQ策略相比，考慮質量相關性需求的EPQ策略會為企業帶來更多的收益，且隨著市場需求受產品質量影響程度的增加，這一收益的增加變得更為明顯。由于本文采取的是定周期的完全預防性維修策略，故在接下來的研究中可進一步考慮不完全預防性維修且變周期的情況；對于影響需求因素的多樣性方面，可以進一步考慮產品售價、保修期等因素對產品需求的影響。