一種基于MC算法構建城市供水管網水壓面的方法

歐陽帆 鄧文琪

摘要：城市管網壓力面的精確模擬是供水系統運行維護的重要基礎。為克服單一擬合曲面精度難以提高的弊端，利用管網原始離散節點水壓值分別構建了非均勻B樣條（NURBS）曲面和分塊多項式內插擬合曲面，采用移動立方體（MC）算法將這兩個曲面進行處理，使新生成的水壓面具有較高的擬合精度。

Abstract： The accurate simulation of pressure surface of urban pipe network is an important basis for the operation and maintenance of water supply system. In order to overcome the shortcomings that the accuracy of a single fitting surface is difficult to improve， a non-uniform B-spline（NURBS） surface and a block polynomial interpolation fitting surface are constructed using the original discrete node water pressure values of the pipe network， the moving cube （MC） algorithm is used to process these two surfaces， so that the newly generated water pressure surface has a high fitting accuracy.

關鍵詞：MC算法;水壓面;城市供水管網

Key words： MC algorithm;water pressure surface;urban water supply network

中圖分類號：TU821.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2020）15-0257-02

1 研究背景

城市管網壓力面的精確模擬是供水系統運行維護的重要基礎，目前壓力曲面構建方法中NURBS曲面和分塊多項式內插擬合具有代表性。NURBS曲面能精確表示二次曲線弧與二次曲面[1];分塊多項式內插擬合內插速度快，同時能保證分塊連接處為平滑連續曲面[2]。

但是，NURBS曲面除構建曲面時的型值點在曲面上之外，其他的原始數據都只能得到較好的逼近;分塊多項式內插擬合雖然一定程度上解決了多項式對整個管網進行插值時多項式的階次越高擬合函數就越容易出現震蕩的問題[2]，卻無法消除震蕩。

近些年，以移動立方體（MC）法為代表的等值面重構被廣泛地應用于醫學等值面模擬和金屬探傷等方面，在以上兩種水壓曲面的基礎上，結合MC算法構建市政給水管網壓力面不失為一種新的嘗試。

2 ?兩種單一水壓面構建方法

2.1 Shepard內插法構建NURBS管網水壓面

信昆侖[3]等以總水壓值hi作為三維坐標的Z軸，以管網節點（xi，yi，hi）作為型值點在城市管網平面投影區域上進行Shepard插值，得到四邊形網格上的水壓數據，構造出基于雙三次B樣條曲面片的NURBS水壓面，方程如下：

式中：u，w∈[0，1]，p為控制點矩陣。

2.2 分塊多項式擬合法構建管網水壓面

將整個水壓面分塊，構建各分塊的雙三次曲面方程如下：

為保證分塊區域間的連續和光滑性，從兩相鄰水壓面扭矩連續拼接處x及y方向斜率都應保持連續條件出發可以得到關于a1，a2，…，a16的方程并確定其值。

3 ?基于MC算法構建水壓面

3.1 MC算法簡介

MC算法基本原理是：空間由無數的小立方體（體元）構成的，等值面與其中一些立方體相交，在立方體內部得到三角形曲面片，保證從相鄰的邊緣立方體中提取三角曲面片并拼接成曲面。根據三角形面片與體元八個頂點的拓撲關系建立一個以八位二進制為索引值的查找表，通過該表能夠查詢出與曲面相交的體元的邊的序號，從而通過一定的插值方法求出曲面與體元的交點[4]。

3.2 MC算法定位擬合效果更佳離散點

3.2.1 求兩單一曲面與MC立方體的交點

根據奈奎斯特采樣定理當采樣間隔Dx能使在函數F（x）中存在的最高頻率中每周期取有兩個樣本時，則采樣數據可以完全恢復原函數F（x）。基于上述MC算法，可將空間劃分為無數個邊長為δλ的小立方體[2]，δλ=min[1/2f1，1/2f2]，其中f1，f2分別是NURBS曲面和分塊多項式內插擬合曲面的頻率。

令NURBS曲面為F1（x，y），分塊多項式內插擬合曲面為F2（x，y），當x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]時，計算出F1（xi，yj），F1（xi-1，yj），F1（xi，yj+1），F1（xi-1，yj+1）的值。令：

式中：n1，k表示曲面與x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]空間內從k開始的n1個立方體相交。

此空間區域內分布的第k個立方體可表示為hk，其8個頂點分別是hk（xi，yj），hk（xi-1，yj），hk（xi，yj+1），hk（xi-1，yj+1），hk+1（xi，yj），hk+1（xi-1，yj），hk+1（xi，yj+1），hk+1（xi-1，yj+1）并且有：

基于MC法分別比較第k，k+1，…，（k+n1）個立方體的8個頂點與F1（xi，yj），F1（xi-1，yj），F1（xi，yj+1），F1（xi-1，yj+1）的大小，將大于F1（x，y）的立方體頂點標記為1，小于F1（x，y）的標記為0，以此得到一個基于體元與曲面拓撲關系的8位二進制索引值，并查找MC算法的查找表得到與曲面相交的立方體的邊。因為小立方體足夠小，找到立方體與曲面相交的邊時，交點默認為是立方體邊的中點。

同理可以得到分塊多項式內插擬合曲面與x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]空間域內從m開始的n0個立方體相交的點。

3.2.2 定位更佳離散擬合點

當x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]時，因為δλ足夠小，可選該區域內的水壓均值μh來代表該區域內真實水壓面的水壓值，由于NURBS曲面除型值點外其它點只能較好逼近，而分塊多項式內插擬合曲面擬合階次再高也無法克服其圍繞真實值震蕩的缺點。因此x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]，兩個曲面上的點都是圍繞水壓均值點來回震蕩，與μh值鄰近的值出現的概率大，離μh越小的值出現的概率越小，并且該區域兩種曲面上的點分布都是集中在μh附近，從而當x∈[xi，xi-1]，y∈[yj，yj+1]時，真實水壓面上的點Q（x，y，h）服從三元正態分布N3（μ，∑）。因此可以將定位擬合效果更佳的離散點的問題轉化為求總體均值μ的最大似然估計。

將真實水壓面上的點視為總體，基于MC算法求得的交點視為來自總體的樣本點，在作似然估計之前需要對上述來自總體的樣本值做一定的預處理，依據區間估計原理求出總體水壓均值μh的置信度為（1-α）的置信區間，將未落入區間之內的樣本值剔除掉。因為總體服從正態分布，方差未知，故采用如下公式求置信區間[5]：

式中：為樣水壓本均值，S*n為樣本水壓標準差，且

上述三元正態分布未知參數值μ的最大似然估計為：

式中：n為樣本點數。

令k01，k11，…kn1，m01，m11，…，mn1，為樣本值經過預處理之后曲面分別與第k，（k+1），…，（k+n1），m，（m+1），…，（m+n0）個立方體方向邊的交點數，k00，k10，…，kn0， m00，m10，…，mn0為曲面分別與第k，（k+1），…，（k+n1），m，（m+1），…，（m+n0）個立方體水平方向邊的交點，欲求的點為Qi：

令NURBS曲面與第k到k+n1個立方體沿AB方向與立方體交點數為n01，沿BC方向與立方體交點數為n11，沿CD方向與立方體的交點數為n21，沿DA方向與立方體的交點數為n31;分塊二元樣條插值曲面與第m個立方體到m+n0個立方體沿AB方向與立方體交點數為n00，沿BC方向與立方體交點數為n10，沿CD方向與立方體的交點個數為n20，沿DA方向與立方體的交點數為n30，則：

當Qi（x），Qi（y），Qi（h）確定下來時，就定位出了空間中更逼近真實水壓的點。

4 ?結論

提出了一種基于MC算法構建市政給水管網水壓面的新思路。通過MC算法得到同一區域內NURBS曲面及分塊多項式插值擬合曲面與空間小立方體的所有相交點，并對這些交點運用區間估計理論進行預處理，剔除擬合誤差較大點，繼而用最大似然估計法定位得到更加逼近真實水壓面的離散數據點。該法有效地克服了用單一曲面逼近離散點時的缺陷，但是由于MC算法本身存在二義性，導致由離散點拼接成的多邊形有多種可能，二義性有待解決，從而得到更高精度的離散點。

參考文獻：

[1]施法中.計算機輔助設計與有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001，8.

[2]李志林，朱慶. 數字高程模型[M].武漢：武漢測繪科技大學出版社，2000，3.

[3]信昆侖，劉遂慶，耿為民.城市給水管網三維水壓面的繪制[J].給水排水，2002，28（6）：83-85.

[4]胡凌燕，史康柏，徐少平，劉小平.基于改進立方體算法的三維重建[J].中國醫學影像技術，2019，35（6）：925-929.

[6]趙選民，徐偉，師義民，秦超英.數理統計[M].北京：科學出版社，2002.

基金項目：廣東省教育廳青年創新項目（2017GkQNCX066）;深圳市科技計劃（JCYJ20180307155011964）;深圳信息職業技術學院青年科技培育項目（QN201708）;深圳信息職業技術學院青年創新團隊項目（SZIIT2019KJ024）。

課題項目：全國輕工職業教育教學指導委員會2018年度教改課題《基于教育部生態文明教育需求下的高等職業院校VR游戲化垃圾分類課程的設計、實施和評價研究》，課題編號：QGHZW2018076。

作者簡介：歐陽帆（1984-），女，湖南汝城人，博士研究生，專任教師，講師，研究方向為生物信息學處理及市政管網漏損預判。