類比推理法在大學數學教學中的應用

劉懿輝

(延安大學西安創新學院 計算機學院，陜西 西安 710100)

0 引言

高等數學是大學數學的基礎課程，屬于工科類專業的必修課程，作為大學生學習其他專業知識的重要工具，教師在講解其相關概念、理論、定理等過程使用類比推理方法(下文簡稱“類推法”)，能夠啟發學生思維，對其創新能力的提升具有重要意義.

1 類比推理法概念和模式

1.1 概念

類推法主要是找出兩個對象存在的相似、相同等屬性，進而展開類比，推斷出在其他屬性方面也存在類似之處的系列推理過程.這種方法對個別現象展開觀察，與歸納推理方法相似.但同時此方法屬于由特殊向特殊方向的推理，因此，與歸納推理由特殊向一般的過程不同.類推法分為完全類推和不完全類推兩種形式.其中，完全類推指的是對兩種事物展開相同對比，不完全類推是對兩種事物展開不完全相同的比較.在大學數學教學中，使用此方法能夠使學生更好地發現、解決問題，通過向學生傳授學習方法，逐漸培養學生思維，提高其解題能力.

1.2 模式

2 在大學數學中應用類比推理法的意義

高等數學具備嚴謹的理論系統，教材中主要以概念講解、性質介紹、公式呈現和定理證明等內容為主.教學環節，教師需要重點通過推理方式為學生傳授知識，進而培養大學生的邏輯思維.使用類推法可從數學歷史發展的角度，對各種數學問題展開觀察和類比，通過總結，找出問題解決途徑.因此，應用類推法進行教學(以下把這種方法稱為類推教學法)能夠結合實際學情，從學生興趣入手，重點培養大學生的學習、鉆研和創新等能力，此方法的應用具有如下三點意義：首先，講授高等數學知識時，使用類推教學法，能夠結合實際問題，創設情境，引導大學生發現問題，并提出新的可能性或者問題，利用自身已掌握的知識，以全新的視角發現事物獨有的同類特點，在復習以往知識的基礎上，學習新的知識；其次，使用類推教學法，能夠引導學生對問題的本質展開探究，從多個維度對問題展開分析.高等數學當中涉及多個概念、多種公式，利用此方法學生可更好地學習抽象概念，展開創新，對完善大學生的數學思維有重要作用；最后，使用類推教學法，可清晰地向學生呈現出數學知識之間的邏輯關系以及形成過程，引導學生聯系知識本質，展開創新，學習更多解決問題的方法.

3 大學數學教學中類比推理法的應用

3.1 概念類比

3.1.1 積分概念

在數學領域中，概念主要指的是研究對象本質的抽象表達，即通過概念講解將對象本質揭示出來.類推法作為啟發性的教學方法，能夠更好地揭示積分相關概念.高等數學中積分概念共分為7個種類，分別為定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分，每一個積分概念對應一類概念，并且相互之間存在緊密聯系.上述積分概念組成大致相同，在講解以上概念的過程中常利用幾何知識，結合物理意義進行講解.首先引入例題，分析問題、研究解題思路，利用分割思想、近似求和，最終取極限值進行定義，從而揭示積分概念內涵.因此，可利用定積分的概念，展開類比，講解其他種類的積分概念，啟發學生自主總結其他積分概念.學生通過已知的概念，可掌握積分相關概念本質，進而更好地學習其他概念.

此外，高等數學的常微分方程中，方程通解存在相似性質.例如根據一階線性非齊次方程通解等于其對應的齊次微分方程通解和該非齊次微分方程特解之和，使用類推法展開推理，可獲得如下結論，即二階線性的非齊次方程，其通解等于對應齊次微分方程通解和該非齊次微分方程特解之和.

3.1.2 指數函數

3.2 定理類比

3.2.1 微積分定理

3.2.2 廣義積分

3.3 空間平面類比

數學家Geore Polya曾經說過，“類比在數學學習過程是個領路人，能夠根據平面幾何知識解決立體幾何相關問題”，即通過相似的條件推導出類似結論，這一觀點在平面和空間二者的類比中應用明顯.

3.4 無限的類比

部分數學問題難以通過有限次運算進行精確求解，此時需要找出無限變化趨勢，通過規律將問題求解出來，高等數學中微積分就是利用此思想建立的.大學生已經掌握部分初等數學的求解方式，可以解決部分有限問題，對于分析、求解無限問題時，即可使用類推思維.在高等數學教學過程中，從有限向無限過渡，單純使用類比推導方法可能獲取的結果并不精準，對此可結合實際情況對結果展開適當的修正，進而獲得正確的結論.

4 結語

總之，在高等數學教學中，通過類推法能夠指導學生不斷深入地思考、系統地歸納數學知識，同時將不同層次知識串聯起來，強化記憶效果.通過數學教學過程概念和定理的類推，啟迪學生觸類旁通，舉一反三，提高了學生的思維能力，教學成效明顯.