探討微積分中極限的計(jì)算方法

郎曉琴 帥昌浩

摘? 要：極限思想是微積分的基本思想，是一系列重要概念比如導(dǎo)數(shù)、連續(xù)、定積分等的理論基礎(chǔ)，也是很多問(wèn)題的求解工具。正確掌握極限的運(yùn)算方法和運(yùn)算技巧，對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有重要意義。該文通過(guò)歸納和總結(jié)，主要介紹了求解極限的幾種方法，并針對(duì)每種方法給出了例題的解析，以期讀者能從中獲取一些解題的靈感，使解題思路更加清晰。

關(guān)鍵詞：微積分? 極限? 函數(shù)? 計(jì)算方法

Abstract： Limit thought is the basic idea of calculus， is the theoretical basis of a series of important concepts such as derivative， continuity， definite integral and so on， and Its also a tool for solving many problems. It is very important to master the method and skill of limit calculations correctly when we learn higher mathematics. By concluding and summarizing， this paper mainly introduces several methods to solve the limit， and gives some examples for each method， so that readers can catch some inspirations from solving the problems.

在微積分這門(mén)課程中，極限的概念占有重要的地位，并以各種形式貫穿全部?jī)?nèi)容，是微積分研究的重要工具，因此掌握好極限的求解方法是學(xué)好微積分的關(guān)鍵所在。該文就求極限的一些方法和技巧做一個(gè)比較全面的概括和總結(jié)，并通過(guò)舉例的形式對(duì)這些方法做一個(gè)說(shuō)明。

1? 極限計(jì)算主要方法

利用函數(shù)的連續(xù)性求極限具體如下。

定理：若函數(shù)f在點(diǎn)x0連續(xù)，g在點(diǎn)μ0連續(xù)，μ0=f（x0），則復(fù)合函數(shù)g。f在點(diǎn)x0處連續(xù)。此方法簡(jiǎn)單易行但不適合于f（x）在其定義區(qū)間內(nèi)是不連續(xù)的函數(shù)，即f（x）在x0處無(wú)定義的情況。

9? 利用泰勒公式求極限

對(duì)某些較復(fù)雜的函數(shù)，用常規(guī)方法來(lái)做相對(duì)比較麻煩或者求不出來(lái)，利用泰勒展開(kāi)式來(lái)求極限有時(shí)就顯得比較方便，實(shí)際上前面提到的無(wú)窮小替換方法只是用函數(shù)的一階泰勒展開(kāi)式帶入，有些時(shí)候用一階泰勒展開(kāi)式帶入是不夠了，需要用更高階的泰勒展開(kāi)式帶入進(jìn)去才起作用。在求極限時(shí)通常用到的是帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式：

在做的時(shí)候，根據(jù)不同的函數(shù)選擇合適的階數(shù)和余項(xiàng)。

例9：求極限。

思路分析：由于分母通過(guò)無(wú)窮小替換后是，所以分子中的泰勒展開(kāi)式中只需要展開(kāi)到含有這一項(xiàng)和的泰勒展開(kāi)式中只需要展開(kāi)到含有這一項(xiàng)就足夠了。將各自的泰勒展開(kāi)式帶入后約掉，就很容易求出極限來(lái)。

10? 結(jié)語(yǔ)

以上方法是在高等數(shù)學(xué)里求極限的重要方法。在做求解極限的題目時(shí)，僅僅掌握以上方法而不能夠透徹清晰地明白以上各方法所需的條件也是不夠的，必須要細(xì)心分析仔細(xì)甄選。一個(gè)求極限的題目，所用到的方法也不止一個(gè)，大家在能夠融匯貫通，選擇出適當(dāng)?shù)姆椒ǎ@樣不僅準(zhǔn)確率高，而且會(huì)省去許多不必要的麻煩，起到事半功倍的效果。筆者作為學(xué)生，認(rèn)識(shí)和理解水平有限，該文只是針對(duì)最常見(jiàn)的極限的計(jì)算方法展開(kāi)討論，歸納總結(jié)了9種方法，所例舉的例子也相對(duì)簡(jiǎn)單，希望這些計(jì)算方法對(duì)學(xué)習(xí)極限的同學(xué)有所幫助。

參考文獻(xiàn)

[1] 彭舟.數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)[M].3版.北京：高等航空工業(yè)出版社，2005：7.

[2] 張香云，王家軍.高等數(shù)學(xué)[M].3版.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2018：8.

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：8.

[4] 李永樂(lè)，王式安.復(fù)習(xí)全書(shū)[M].5版.北京：西安交通大學(xué)出版社，2017：1.

[5] 楊國(guó)華.函數(shù)極限的計(jì)算方法和技巧歸納[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012，7（11）：83-84.