在分類中尋找優化方案

鄭志遠

1 試題呈現

（2019年溫州卷第23題）某旅行團 32 人在景區游玩，他們由成人、少年和兒童組成.已知兒童 10人，成人比少年多 12人。

（1）求該旅行團中成人與少年分別是多少人？

（2）因時間充裕，該團準備讓成人和少年（至少各1名）帶領 10 名兒童去另一景區游玩，景區的門票價格為 100元/張，成人全票，少年8折，兒童6折，一名成人可以免費攜帶一名兒童。

①若由成人8 人和少年5 人帶隊，則所需門票的總費用是多少元？

②若剩余經費只有1200元可用于購票，在不超額的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人帶隊？求所有滿足條件的方案，并指出哪種方案購票費用最少。

2 試題“特色”解讀

2.1 題面簡約熟悉，回歸教材

題目取材緊貼學生熟悉的門票問題的知識情境，容易從題目中提取信息整合構建方程模型，本題涉及的知識點頗豐，融合了初中階段代數與幾何的核心知識。問題的設置既立足于初中數學知識的基礎：一元一次方程、兒育一次方程組、一元一次不等式等，題目包涵了方程、分類討論、數形結合等多種數學思想，體現知識與能力并用、思想與方法交融的命題特點，也非常符合“起點低、坡度緩、尾巴翹、寬進嚴出”的命題要求。

2.2 重視核心素養，凸顯能力

數學建模、數據分析是學生發展的核心素養，命題者緊緊圍繞核心突出對學生數學思想方法、數據分析能力、計算能力、知識應用能力等數學素養的考察。題目中包涵了豐富的數學解法和數學思維，有方程、不等式、定量求解和不定量的討論等。

2.3 解題方法多樣，發散思維

本題的第一小問既可以用一元一次方程解決也可以用二元一次方程組來解決，第二小問的第2個問題選擇的余地更大，可以用小學的枚舉法，也可以用初中的不等式，甚至可以用高中階段的線性規劃來解釋。解法多樣，跨度大，入口寬，學生可以從不同角度入手解決問題。既體現初小銜接的必要性，又強調初高銜接的重要性。

3 試題多解

解法1：設成人x人，少年y人.

①當1≤x≤10時，則100x+80y+（10-x）×60≤1200，解得x+2y≤15，變形得x≤15-2y.

當y=1時，x≤13，故x=10，費用為1080元;

當y=2時，x≤11，故x=10，費用為1160元;

當y=3時，x≤9，故x=9，費用為1200元;

當y=4時，x≤7，故x=7，x+y<12，不合題意;

當y=5時，x≤5，故x=5，x+y<12，不合題意。

②當10

當y=1時，x=11，費用為1180元

當y≥2時，x≤10.4，不合題意。

綜上所述，最多安排成人和少年12人帶隊，有三個方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人時購票費用最少.成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人時購票費用最少。

解法1分析：通過題意得到二元一次不等式，通過變形得到未知數的不等關系，因為一個未知數有取值范圍，而且在枚舉的范圍之內，故可以通過嘗試明確取值范圍的一個值，來求出另一個未知數的取值范圍，再根據題目已知條件從而確定最優解，以此類推，得到滿足題設的所有情況，再最終求得最優解。枚舉法是在可以枚舉的前提下使用，在小學數學例是非常重要的思想方法，這道題目，充分考慮到初小銜接。

解法2：①當成人為10人時，兒童免費，100×10+80×2=1160≤1200。

②當成人少于10人時，省出一個成人100元，多付兒童60元，由于要求安排人數最多，需安排少年1人抵去1個成人，在人數不變的情況下多花了40元，達1200元，故只有成人9人，少年3人符合條件.

③當成人多余10人時，兒童免費，每多出一個成人且少掉一個少年時，多出費

用20元;故x=11，少年為1人，此時費用1180;x=12，少年為0時，不合題意。

其余皆不可能.

綜上所述，最多安排成人和少年12人帶隊，有三個方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人時購票費用最少.成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人時購票費用最少。

解法2分析：嘗試著以成人10人作為分界點數，并通過分析計算成人10人以下和10人以上的情況來解決問題。

解法3：設可以安排成人x人、少年y人帶隊，則1≤x廣博精神，經過歲月沉淀積累了諸多文化典籍，抑或是濃縮精華，抑或是博采眾長，抑或是晦澀難懂，抑或是淺顯易見。借助經典文化讀本來提高小學語文課堂質量，無疑是一種有效的教學手段。小學語文教師根據不同年齡段學生的特點，來選擇適合的文化經典讀本，讓古人智慧領航今日文化傳揚。適合的經典文化讀本，既能培養小學生閱讀興趣，又能領略古人的思想智慧。分級閱讀在此時得以有效體現，例如：小學一到三年級學習的傳統文化經典讀本，可以為《三字經》、《千字文》、《弟子規》等基礎性的、朗朗上口的文化經典，而四到六年級的小學生則可以學習《增廣賢文》、《孝經》、《老子》等諸多經典文化思想，從中領略我國傳統文化智慧，進而深度挖掘學生內在潛能，對語文教學產生敬畏之情，對于語文學習的理解，不再停留于表面，發現其內在價值。

綜上所述，農村小學語文課程的教學與傳統文化的融合需要充分發揮農村地區獨特的優勢，同時也要通過有效的理念轉變和方式轉變來提升小學生對傳統文化的基礎認知，達到對小學生素質培養的目的，從而激發小學生強大的愛國情懷和民族精神。

課題項目：本文系甘肅省平涼市教育科學“十三五”規劃2019年度課題《在小學語文課堂教學中滲透中華優秀傳統文化的探究》成果，課題批準號[2019]PLG340。

（作者單位：甘肅省平涼市靜寧縣德順小學）

≤17，1≤y≤5.

當1≤x<10時，

當x=9時，100×9+80y+60≤1200，∴y≤3.

∴，此時x+y=12，費用為1200元;

當x=8時，100×8+80y+2×60≤1200，∴y≤3.5.

∴，此時x+y=11<12，不合題意，舍去;

同理，當x<8時，x+y<12，不合題意，舍去。

當10≤x≤17時，

若x=10，則費用為100×10+100×y×0.8≤1200，得y≤2.5，

∴y的最大值是2，此時x+y=12，費用為1160元;

若x=11，則費用為100×11+100×y×0.8≤1200，得b≤1.25，

∴y的最大值是1，此時x+y=12，費用為1180元;

若x≥12，100x≥1200，即成人門票至少是1200元，不合題意，舍去;

綜上所述，最多安排成人和少年12人帶隊，有三個方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人;其中成人10人，少年2人時購票費用最少.

解法3分析：本題滲透了分類討論的思想，分類討論的原因：成人的人數大于或等于10時兒童不需要額外買票，小于10時個別兒童需單獨買票，從而導致費用計算方法發生變化。

分類討論的對象以及取值范圍：以成人a的人數進行分類，分為⑴10≤x≤17，⑵1≤x<10，

分類后，逐項討論，得到各類解題結果，這里需要注意的是，根據題目限制的金額1200元，需要學生綜合利用分析推理能力，排除a≥12，a≤8的情況。整合上述結果，得出符合人數“最多”的方案，計算出金額后找出費用“最少”的方案。

最優方案型問題，以學生所熟悉的生產生活中的實際問題設置問題情境，綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力，多與二元一次方程組、一元一次不等式（組）和一次函數緊密聯系，需要學生利用已學過的數學知識通過建立適當的數學模型來判斷或探求解決問題的最優方案。由于實際問題的復雜性、多樣性，往往需要分類討論，正確解答分類討論問題，必須清晰回答下面幾個問題：為什么而分？怎樣分？分為幾類？最終結果怎樣？因此，要重視分類討論的教學，根據各階段教學目標加強分類討論思想的滲透，強化分類討論的意識，培養學生思維的條理性、嚴密性，提高分析問題和解決問題的能力。

4 教學建議

4.1 滲透“有效閱讀”，培養學生的閱讀能力

應用題涉及的信息量大，數據多，學生很容易混淆。這就要求教師在平時的教學過程，培養學生認真閱讀應用題的習慣，學生滲透“有效閱讀”的“三步走策略”，粗讀、細讀、精讀。分析比較題目中的信息，抓住題目中的關鍵信息，深入理解，挖掘知識點的內涵與外延，有必要作適當的拓展。

4.2 突出數學思想方法

分類討論和數形結合思想在高中階段數學學習中占據了非常重要的位置，目前在初中階段，學生的數學思想意識還是比較欠缺的，這就要求教師在平時的教學活動中有意識地去引導，哪些問題需要進行分類討論，怎么分？分幾類？依據是什么？在代數問題抽象化的背景下，能否轉化成幾何圖形解決問題是否更直觀。

（作者單位：浙江省溫州市第四中學）