第一類Hardy型積分不等式的等價性質及其應用

楊必成

(廣東第二師范學院 數學系， 廣東 廣州 510303)

0 引言

(1)

(2)

具有最佳常數因子kp的Hardy-Hilbert型積分不等式:

(3)

在式(3)的條件下，Hardy等[3]在定理350中還考慮了如下非齊次核的情形:設

(4)

1998年,楊必成[4-5]引入獨立參數λ>0及Beta函數,推廣式(1)為

(5)

(6)

當λ=1、r=q、s=p時,不等式(6)變為式(2);當λ=1、r=p、s=q時，不等式(6)變為如下式(2)的對偶形式:

(7)

2009年,文[7-8]還利用引入獨立參數及兩對共軛指數的方法,推廣式(3)及式(4)為一般-λ齊次核的形式,并建立了兩類Hardy型積分不等式. 文[9-10]還給出了多重方面的應用.

2016-2017年,洪勇等[11]建立了一般齊次核離散Hilbert型不等式最佳常數因子的聯系參數的等價陳述;洪勇[12]還考慮了一般齊次核Hilbert型積分不等式成立的聯系多參數的等價條件；楊必成[13]考慮了逆向Hardy型不等式的類似情形;2019年,楊必成[14-15]給出了積分及半離散Hilbert型不等式最佳常數因子聯系參數的若干等價陳述. 類似的結果可參閱文[16-20].

本文引入若干獨立參數,應用實分析的思想技巧,建立一個一般非齊次核第一類Hardy型積分不等式，還建立了它的等價式及聯系最佳常數因子與多參數的若干等價陳述,并導出齊次核第一類Hardy型的情形. 作為應用,給出其算子表示及若干特殊核的例子.

1 若干引理

又設f(x)、g(y)在R+上為非負可測函數,使

(8)

引理1如下非齊次核第一類Hardy型積分不等式成立:

(9)

證明定義如下權函數:

(10)

固定x,作積分變換u=xy,可求得

(11)

同理,由對稱性，可算得

(12)

應用H?lder積分不等式[21]、Fubini定理[22]、式(10)及式(12),有

下證此式取嚴格不等號. 若取等號,則存在不全為零的常數A和B,使[21]

注1若σ1=σ,則式(8)及不等式(9)變為:若

則有如下簡化的第一類Hardy型積分不等式:

(13)

引理2不等式(13)的常數因子k1(σ)是最佳的.

證明任給ε>0,設

若有正常數M(≤k1(σ)),使之取代k1(σ)后,式(13)仍成立,則特別地,有如下不等式：

可求得

還可求得

故M=k1(σ)為式(13)的最佳值. 證畢.

(14)

應用帶權的H?lder不等式,還成立如下不等式[21]:

(15)

2 等價形式及若干等價陳述

定理1不等式(9)等價于下列積分不等式:

(16)

(17)

且式(16)與式(17)的常數因子是最佳值的等價條件是式(9)的相同常數因子也是最佳值.

特別地,若σ1=σ,則有具有最佳常數因子的式(13)及如下與之等價的積分不等式:

(18)

(19)

證明若有式(16),則由H?lder積分不等式[21],有

(20)

(21)

若J1=0,則式(16)必然成立;若J1=,則式(16)不可能成立,即有條件J1<. 下設0

即有式(16),且它與式(9)等價.

同理,可證得式(9)與式(17)亦等價. 故式(9),式(16)與式(17)齊等價.

若式(9)的常數因子為最佳值,則由式(19)可導出式(16)的常數因子也為最佳值. 不然,則能導出式(9)的常數因子不為最佳值的矛盾. 同理,用反證法，若式(16)的常數因子為最佳值,則式(9)的常數因子也必為最佳值. 不然,由式(21),則能導出式(16)的常數因子也不為最佳的矛盾. 因而式(16)的常數因子是最佳值等價于式(9)的常數因子也是最佳值. 同理可證式(17)的常數因子是最佳值當且僅當式(9)的常數因子也是最佳值. 故式(16)及式(17)的常數因子是最佳值等價于式(9)的相同常數因子也是最佳值. 證畢.

(22)

(23)

(24)

定理2下列陳述等價:

(iii)σ1=σ;

(ii)?(iii). 由(ii),式(15)取等號. 則由引理3, 可得關系式σ1=σ.

故陳述(i)、(ii)、(iii)及(iv)等價. 證畢.

則有下面等價的齊次核第一類Hardy型積分不等式:

(25)

(26)

(27)

且不等式(25)的常數因子是最佳值等價于式(26)及式(27)的常數因子也是最佳值.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

推論2下列陳述等價:

(III)μ+σ=λ;

3 算子表示及若干特例

定義如下實賦范線性空間:

于是還有

即h1∈Lp,ψ1-p(R+).

定義1定義一個非齊次核第一類Hardy型積分算子T1:Lp,φ(R+)→Lp,ψ1-p(R+)為:對任意f∈Lp,φ(R+),唯一對應h=T1f∈Lp,ψ1-p(R+). 定義T1f與g∈Lq,ψ(R+)的形式內積及算子T1的范數為

即H1∈Lq,φ1-q(R+).

由定理1、定理2,有推論3.

推論3若f(>0)∈Lp,φ(R+),g(>0)∈Lq,ψ(R+),則有如下等價不等式:

(34)

(35)

(36)

還可定義實賦范線性空間：Lp,Φ(R+)、Lq,Ψ(R+)、Lp,Ψ1-p(R+)及Lq,Φ1-q(R+).

即H∈Lq,Φ1-q(R+).

由推論1、推論2,有

推論4若f(>0)∈Lp,Φ(R+),g(>0)∈Lq,Ψ(R+),則有如下等價不等式:

(37)

(38)

(39)

當γ=σ、σ1∈(0,)時，

由推論3，當且僅當σ1=σ時，

由推論4，當且僅當μ+σ=λ時，

當γ=σ、σ1∈(0,)時，

由推論3，當且僅當σ1=σ時，

由推論4，當且僅當μ+σ=λ時，

當γ=σ、σ1∈(-α,)時，

由推論3，當且僅當σ1=σ時，

由推論4，當且僅當μ+σ=λ時，