一個三角不等式的控制證明與推廣

石煥南, 王飛, 王東生

(1. 北京聯合大學 師范學院， 北京 100011； 2. 浙江機電職業技術學院 數學教研室，浙江 杭州 310053； 3. 北京電子科技職業學院 基礎部， 北京 100176)

0 引言

本文以R表示實數集，x=(x1,…,xn)表示n維實向量，n維實向量的集合記作

R={x=(x1,…,xn):xi∈R,i=1,…,n},

n維正實向量的集合記作

設x=(x1,…,xn)∈Rn,x的初等對稱函數是

初等對稱函數的對偶形式是

2019年6月，臺灣國立高雄師范大學的杜威仕(Wei-Shih Du)教授給我們提供了如下資料，引起了我們的興趣.

羅馬尼亞的Daniel Sitaru提出如下問題：

2(sinx)1-sin x·(1-sinx)sin x<1.

(1)

加拿大的Jalil Hajimir利用貝努利(Bornoullie)不等式證明了不等式(1)，阿爾及利亞的Mokhtar Khassani-Mostaganem和羅馬尼亞的Remus Florin Stanca分別利用算術-幾何平均值不等式和詹森(Jensen)不等式加以證明. 阿塞拜疆的Rovsen Pirguliyev-Sumgait利用詹森(Jensen)不等式證明了不等式(1)的一般形式:

如果a、b>0且a+b=1,那么

(2)

本文將利用受控理論證明不等式(1)，并加以引申和推廣. 我們首先給出如下兩個定理.

(3)

顯然，當n=2時，不等式(3)就化為不等式(1).

(4)

(5)

進一步，將不等式(1)延伸到初等對稱函數及其對偶式上，得到如下結果.

Ek((sinx)1-sin x)=Ek((sinx1)1-sin x1,…,(sinxn)1-sin xn)=

(6)

(7)

1 定義和引理

我們需要如下定義和引理.

定義1[1-4]設x、y∈Rn滿足

則稱x被y所控制，記作xy. 其中x[1]≥…≥x[n]和y[1]≥…≥y[n]分別是x和y的分量的遞減重排. 又若x不是y的重排，則稱x被y嚴格控制，記得xy.

注1[1-4]定義1的條件(i)等價于

(8)

定義2[1-4]設x、y∈Rn.x≥y表示對于所有i=1,2…,n有xi≥yi. 設Ω?Rn，稱φ:Ω→R是一個遞增函數，若x≥y?φ(x)≥φ(y). 稱φ是一個遞減函數當且僅當-φ是一個遞增函數.

定義3設Ω?Rn,φ:Ω→R，若在Ω上xy?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的Schur凸函數； 若在Ω上xy?φ(x)<φ(y)，則稱φ為Ω上的嚴格Schur凸函數.

我們要用到如下引理.

引理2[1-4]設x=(x1,x2…,xn)∈Rn,則

(sinx,1-sinx)(sin2x,cos2x);

(9)

(sin2x,1-sin2x)(sinx,1-sinx).

(10)

證明根據定義1和注1加以證明.

f"(x)=f′(x)(logf(x))′+f(x)(logf(x))"=

2 定理的證明

從而據引理1,有

證畢.

定理2的證明由引理6,f(x)=x1-x在(0,+∞)上嚴格對數凹，從而結合引理1、引理2和引理3即可證得定理2.

從而結合引理4和引理6即可證得定理3.

定理4的證明類似定理3的證明，可依引理5和引理6證得定理4.

控制關系和Schur凸函數是受控理論的兩個最基本的概念，控制關系是向量間的一種較弱的次序關系，Schur凸函數是比熟知的凸函數更為廣泛的一類函數，二者的結合是導出不等式的有效方法. 此種方法具有兩個鮮明的特點，一是用此法證明不等式往往非常簡潔，二是用此法建立不等式常常是“成批”的，它能把許多已有的從不同方法得來的不等式用一種統一的方法簡便地推導出來(見文[5-19]).