齊次核的Hilbert型積分不等式的研究進展與現狀

洪勇

(1. 廣東白云學院 數學教研室， 廣東 廣州 510450； 2. 廣東財經大學 統計與數學學院， 廣東 廣州 510320)

0 引言

1908年和1911年，著名數學家Hilbert和Schur先后證明了不等式：

兩式中的常數因子π都是最佳的. 由于這兩個不等式分別與級數算子和積分算子有緊密的聯系，由此它們有重要應用價值. 特別是近代調和分析采用算子理論作為基本研究方法后，更加突顯了這類不等式的理論意義，從而進一步促進了對這兩個不等式的研究，形成了一套Hilbert型不等式的理論體系.

本文針對齊次核的Hilbert型積分不等式理論體系由淺入深、由特殊到一般、由具體到抽象的形成過程，結合作者的研究成果，陳述其研究歷程及目前的研究現狀，展示了齊次核的Hilbert型積分不等式的3個發展階段.

1 Hilbert型積分不等式與權系數方法

(1)

因此對式(1)的研究具有重要的理論意義和實際應用. 于是引入多個參數，對式(1)進行改進、推廣和向高維發展的研究隨之展開.

近100年來，特別是最近20年，經國內外學者楊必成、匡繼昌、洪勇、高明哲、Mitrino J E、Pecaric J E等的努力，取得了豐碩的成果，在國內外重要期刊上發表了數百篇的學術論文.

之所以近20年內，Hilbert型不等式的研究能夠取得重大進展，很大程度上也得益于徐利治先生在[2]中提出的權系數方法，其基本思想是：

設r>0，α∈R，記

選取參數a、b，根據H?lder不等式，有

其中：權函數ω1(x)及ω2(y)為

于是

記α=λ+ap-bp+1，β=λ+bq-aq+1，則得到Hilbert型積分不等式：

(2)

選取適配參數有較強的技巧，是得到最佳Hilbert型不等式的關鍵所在.

定義奇異積分算子T為

(3)

則可以證明式(2)等價于

2 Hilbert型積分不等式研究的第一階段

這個階段持續時間最長，多年來，特別是從徐利治先生提出權系數方法以來，以楊必成為首的一大批學者取得了大量的成果，其特點是：針對一些具體的齊次核，技巧性地進行參數搭配，通過對權函數精確細致的估算，得到若干具有最佳常數因子的Hilbert型積分不等式，同時也對式(1)進行改進與推廣.

選取適配數a=b=(1-λ)/4，2000年文[3]引入多個參數得到定理1.

這個定理的意義在于較早引入多個獨立參數，用權系數方法得到了齊次核的具有最佳常數因子的Hilbert型不等式，為后來的進一步研究提供了范例.

選取適配數a=b=(1-λ)/(pq)，文[4]得到定理2.

其中的常數因子是最佳的.

選取適配數a=(1-λ)/q2，b=(1-λ)/p2，文[5]得到定理3.

其中的常數因子是最佳的.

根據定理2和定理3，選取不同的適配數進行不同的參數搭配可以得到同一個齊次核的不同的Hilbert型積分不等式，且常數因子都是最佳的.

選取適配數a=b=(2-λ1λ2)/(pq)，可得定理4.

其中的常數因子是最佳的.

更多的相關結果，可以參見文 [6-12].

3 Hilbert型積分不等式研究的第二階段

利用權系數方法研究Hilbert型積分不等式時，要使所得的不等式具有最佳常數因子，不僅需要精細的對權函數的估算，更關鍵的還在于搭配參數a、b的選取. 那么怎樣選取a和b使之能成為適配數呢？前面的研究都是基于作者豐富的經驗而得到的. 經過對大量文獻的分析和探索，2016年文[13]完美地解決了這一問題，雖然文章是針對級數不等式而言的，但易知對積分不等式仍然適用.

都收斂. 則

(4)

該結果的出現，將齊次核的Hilbert型積分不等式的研究推向了一個新的階段. 其特征是：選取a、b滿足bp+aq=λ+2，可以成批地得到相應的Hilbert型積分不等式.

又由于bp+aq=(μ-λ)+2也可寫為

由于bp+aq=(μ-λ)+2還可寫為

設K(x,y)=|ln(x/y)|/max{xλ,yλ}，則K(x,y)是-λ階齊次非負函數. 因為bp+aq=2-λ可寫為.

其中的常數因子是最佳的.

4 Hilbert型積分不等式研究的第三階段

(5)

成立. 若要進一步求出算子范數，還需討論當式(5)成立時，其最佳常數因子是多少？

這些問題的討論顯然是更深入更具重要意義的，可喜的是2017年文[14]得到定理10.

(6)

由此可得到：當且僅當λ=-1即當K(x,y)是-1階齊次非負函數時，T是Lp(0,+)到自身的有界算子.

在這個階段，可構造出齊次核下的所有Hilbert型積分不等式，只需取特定的K(x,y)并計算出

取0階齊次核的非負函數：

于是可得定理11.

取-λ階齊次非負函數：

于是可得定理12.

利用上述方法構造齊次核的具有最佳常數因子的Hilbert型積分不等式，主要工作就是計算積分

5 結語

在研究齊次核的Hilbert型積分不等式的過程中，許多學者同時也討論一些非齊次核的情況，當然還考慮Hilbert型級數不等式、半離散Hilbert型不等式，并將相關結果推向高維情形. 限于篇幅，對這些方面的研究進展與研究現狀，筆者將在另文陳述.