分形集上的雙邊中點不等式

時統業

(海軍指揮學院， 江蘇 南京 211800)

0 引言

引理1[13]設f、g∈Dα(I)，則有(f(x)+g(x))(α)=f(α)(x)+g(α)(x)；(f(x)g(x))(α)=f(α)(x)g(x)+f(x)g(α)(x)；(cf(x))(α)=cf(α)(x)，其中c是常數；(f(g(x)))(α)=f(α)(g(x))(g′(x))α.

閉區間上的局部分數階連續函數是局部分數階可積的. 局部分數階定積分有與黎曼定積分類似的性質，如線性性質、區間可加性、比較性質、絕對不等式、牛頓-萊布尼茨公式、換元法、分部積分法等[14].

定義1[3]設區間I?R，函數f:I→Rα，若對任意u、v∈I和任意λ∈[0，1]，有

f(λu+(1-λ)v)≤λαf(u)+(1-λ)αf(v)，

則稱f是I上的廣義凸函數.

引理3[3]設f∈Dα(I)，則下面條件等價：

引理4[3]設f∈D2α(a,b)，則f是(a,b)上的廣義凸函數當且僅當對任意x∈(a,b)有f(2α)(x)≥0α.

引理6設n為自然數，則有(xnα)(α)=nαΓ(1+α)x(n-1)α.

證明當n=1時結論顯然成立. 假設n=k時結論成立，即(xkα)(α)=kαΓ(1+α)x(k-1)α，則根據引理1有

(x(k+1)α)(α)=(xkαxα)(α)=(xkα)(α)xα+xkα(xα)(α)=kαΓ(1+α)x(k-1)αxα+xkαΓ(1+α)=(k+1)αΓ(1+α)xkα.

即n=k+1時結論也成立，引理得證.

證明由引理6和引理2即可得證.

文[16]建立了恒等式

(1)

其中：f(x)在[a，b]上具有二階導數，且f″(x)在[a，b]上可積.

利用恒等式(1)，文[16]給出中點積分公式的估計：

(2)

其中f是[a，b]上的二階可微函數，存在常數k和K使得k≤f″≤K.

文[17]利用恒等式(1)給出中點積分公式的另一個估計：

(3)

其中:f：[a，b]→R二次可微，對任意x∈[a，b]有k≤f″(x)≤K. 文[17]還舉例說明了式(2)與式(3)不分強弱.

引理8設區間I?R，I°是I的內部，f:I°→Rα，a、b∈I°，a

(4)

證明使用兩次局部分數階分部積分法(引理2)得

(5)

類似可得

(6)

將式(5)與式(6)相加并整理，則式(4)得證.

本文受到文[18]所用方法的啟發，將給出分形集Rα上關于中點積分公式的新的雙邊不等式， 加強了不等式(2)和(3). 為證明本文主要結果，我們還需要下面的引理. 為方便起見，記

證明利用引理2，得

(7)

故由式(7)及k≤f(2α)≤K，有

則引理9得證.

1 主要結果

定理1設f∈D2α[a,b]，f(2α)∈Cα[a,b]，且存在常數k、K∈Rα,k

(8)

證明利用局部分數階分部積分法(引理2)得

(9)

由引理8和式(9)有

(11)

利用引理7得

(12)

(13)

(14)

綜合式(11)～式(14)得

于是有

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

綜合式(17)和式(21)，則式(8)的右邊兩個不等式得證.

當k≤f(2α)≤K時，有-K≤(-f)(2α)≤-k. 對函數-f應用已證結論，則式(8)的左邊兩個不等式得證.

推論1設f：[a，b]→R二次可微，f″在[a，b]上可積，且存在常數k和K，k

定理2設f∈D2α[a,b]，f(2α)∈Cα[a,b]，且存在常數k、K∈Rα,k

(22)

于是有

(23)

(24)

推論2設f：[a，b]→R二次可微，f″在[a，b]上可積，且存在常數k和K，k

(25)

證明在定理2中取α=1即可得證.

注2式(25)是式(2)和式(3)的加強.