劉徽《九章算術注》中的數學思想方法及其貢獻

吳維煊, 章秋香

(宿遷經貿高等職業技術學校， 江蘇 宿遷 223600)

0 引言

劉徽生活在三國時代的魏國，他從事過野外測量，研究過天文歷法，但他最主要的工作是數學研究. 他自幼攻讀《九章算術》，在攻讀的過程中發現很多問題的表達方式不佳，問題的解決方式較為零散，缺乏系統性，于是開始為《九章算術》全書做注釋,成書《九章算術注》. 劉徽在《九章算術注》中處處閃爍著先進數學思想的光輝，不僅讓中國古代數學體系趨于系統化，而且為完善古算理論做出了突出貢獻. 目前，關于劉徽《九章算術注》的研究論文較多，主要涉及某一思想方法的研究，如科學思想的來源[1]、形象思維中的幾何理論[2]及演繹邏輯思維[3]等方面,系統研究劉徽的數學思想方法，特別是劉徽的辯證法思維，在現有文獻中尚未見到. 本文深入探索劉徽《九章算術注》中的辯證法、復雜問題轉化、邏輯推理、敢于創新等思想方法及其貢獻。

1 《九章算術注》中的數學思想方法

1.1 樸素的辯證法思想

劉徽在為《九章算術》做注釋過程中，遵循樸素的辯證法思想，突破了《九章算術》一題一解的局限性，主張具體問題具體分析，解決數學問題不應拘于一法，應思考多種解決問題的方法，及各種方法中的聯系. 在多種解法中，到底用哪個方法，劉徽認為“可隨率宜也”，用現代人的說法，就是“要辯證地看問題”.

例如 《九章算術》“方程”章最后一題，“今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五，問一斗值幾何”.

該問題的解決相當于解下面的五元線性方程組:

求解這個方程組比較麻煩，劉徽寫了一篇叫《方程新術》的文章，文章中提出了3種解法.

解法1該解法的中心思想是消去常數項，然后再把每行(方程)的項數減到只剩兩項，最后再用比例表示5個未知數之間的關系. 求出一個未知數的解之后，其余未知數也可求出. 在求解的過程中，劉徽有一段精彩的敘述：“令左右相減，先去下實，又轉去物位，求其一行二物正負相借者，易其相當之率. 又令二物與他行互相去取，轉其二物相借之數，即皆相當之率也……”他用此法求得5個未知數中任意兩個未知數之間兩兩“相當之率”[4]：

4x=7y、3y=4z、5z=3u、6u=5v.

如何由這個比例式求解5個未知數？由(3)-(4)得

x+4z-3u=4.

(6)

解法2該解法的中心思想是由各式連續減式(6)，消去首項. 因為式(6)首項系數為1，可以不必互乘. 利用這種方法，先求出未知數u=6，再依次求出其余4個未知數.

解法3該解法的中心思想是運用連比例這一方式，劉徽將這種解法概括為“置群物通率為列衰，更置減行群物之數，各依其率乘之，并以為法”. “群物通率”就是根據解法1中的比例有

x∶y∶z∶u∶v=7∶4∶3∶5∶6，

再通過式(6)(“減行”)即可求得.

這3種解法雖然使用方法不同，但各種方法之間有一定的聯系，各種方法的結果可以互用. 用何種方法解決這一問題，需要用辯證的思維，根據所要求解的問題及個人解決問題的習慣及方式，做到如劉徽所言“可隨率宜也”. 劉徽樸素的辯證法思維，為后人學習數學、解決數學問題提供了很好的范本. 辯證法思想的應用，也是數學教學中具體問題具體分析的重要思想方法.

1.2 在不同的數學問題中挖掘一般規律

劉徽在《九章算術注》的序文中說“事類相推，各有攸歸，故條枝雖分而同本榦者，知發其一端而已”. 這段描述的意思是有許多數學問題，表面上看問題表述方式各不相同，但在數學理論上卻是一致的，他們是有共同根源的相同問題. 劉徽善于尋求不同數學問題內部的一般規律，如在“勾股”章16題注中說：“言雖異矣，及其所以成法，實則同歸矣”[5].

“齊同術”理論的完善及推廣，充分彰顯了劉徽在不同數學問題中挖掘一般規律的數學思想. 劉徽把趙君卿關于“齊同”的定義進一步加以解釋，在“衰分”章“返衰”下注稱“母同則子齊，齊即衰也”，即：將一組分數通分后，根據分子的大小關系，就可得到分數間的大小關系.

劉徽進一步完善“齊同術”理論后，指出其他數學問題，諸如求幾個分數的平均值、解釋衰分術、均輸、盈不足和方程等問題，都有“齊同術”的一般規律，因而“齊同術”是解決該類問題的方法之一. 在數學教學中，很多老師受劉徽思想方法的影響，很注重培養學生一題多變，在多種問題中探討一般規律的思維.

1.3 用不同的方法解決相同問題

《海島算經》第1題，今有望海島(AB)，立兩表(DE和D1E1)齊高三丈，前后相去(EE1)千步. 令后表與前表相直. 從前表(DE)卻行123步，人目著地(F)取望島峰(A)，與表末(D)參合，從后表(D1E1)卻行(E1F1)127步，人目著地(F1)取望島峰(A)，亦與表末(D1)參合，問島高AB及去表(BE)各幾何(圖1)？

劉徽以“術”的形式給出了計算公式. 若用現代符號表示，該公式為

(7)

(8)

這一問題是對同一目標在不同地點兩次立表進行測量，其解法是利用兩次測量數據進行計算，所以叫“重差”. 式(7)～式(8)可由“出入相補”原理推出.

ACBHH1DD1EFE1F1

圖1 望海島示意圖

如圖1，D1是矩形AF1的對角線上的一點，所以，矩形D1H1的面積=矩形D1B的面積，即

AC·E1F1=BE1·DE.

(9)

又D是矩形AF的對角線上的一點，所以矩形DH的面積=矩形DB的面積,即

EF·AC=BE·DE.

(10)

(9)-(10) 得AC·(E1F1-EF)=DE·EE1，所以

(11)

式(11)的兩邊同加DE，即得公式(7).

由此可見，劉徽《海島算經》解測望問題的主要工具是“出入相補”原理，不涉及角和三角函數概念，這與西方的三角測量有明顯的區別. 他還運用“類推衍化”的方法，使重差術由兩次測望，發展為“三望”“四望”. 而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題. 在數學教學中，一題多解是拓展數學思維、培養數學能力的重要學習方法，該方法在數學教學中的普遍應用，是劉徽在注釋中為后人留下的寶貴財富.

1.4 將難以解決的復雜問題進行轉化

劉徽將難以解決的復雜問題進行轉化，對數學教學的影響是深遠的. 當某一數學問題無法解決時，對問題進行轉化，將一個問題分解成若干問題，將顯性問題轉化成隱性問題，將代數(或幾何)問題轉化成幾何(或代數)問題，是求解數學問題的重要方法.

1.5 嚴謹的邏輯推理

劉徽對《九章算術》中的所有數學概念都做了解釋或邏輯定義，在解釋和定義中，他非常注意數學推理的邏輯性，充分考慮各問題之間的邏輯關系. 在“勾股”章的注釋中，明確指出：這一章之所以一開頭就提出了勾股定理，是因為“將以施于諸率，故先具此術，以見其源也”. 劉徽用這一精彩的論述，從“邏輯”角度注釋了勾股定理出現在“勾股”章開頭的必要性. 劉徽認為有些問題不能只限于感性認識，必須在感性認識的基礎上提升到理性認識的層面，并在理性認識的基礎上形成數學理論. 因而，他從邏輯嚴謹性出發，對于那些能從邏輯上證明的法則都進行了論證.

劉徽創造的十進小數，就是邏輯推理的最好實證. 在劉徽提出十進小數以前，計算中遇到奇零小數時，或是化為分數，或是用地位制命名法，或是四舍五入. 當小數位數少時，這樣處理固然可以，位數多了，就很不方便. 劉徽從長度記法入手，在長度的記法中用到單位名，丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位. 當現實中遇到精確到“忽”以下數位時，劉徽用十進分數形式表達，創造了具有非凡意義的十進小數.

劉徽在《九章算術注》中有3個地方用十進小數注釋.

有了十進小數，無論有多少小數位，都能給出精確的表達. 而創造十進小數的過程，在小數部分的數位以100、101、102、…、10n為分母，就是邏輯推理思想的具體應用. 在開方術的注釋中，他從開方不盡的意義出發，論述了無理方根的存在，并引進了新數，創造了用十進分數無限逼近無理根的方法.

嚴密的邏輯性，是數學學科的特點. 以幾何教學為例，幾何學習能力的培養，遵循圖形的認識、圖形與變換、圖形與證明、圖形與坐標這一邏輯進行，以邏輯推理為依托構建了幾何學習的知識體系.

1.6 敢于挑戰權威的創新思想

劉徽在“方程”章的注釋中指出，有些人“拙于精理”,只知按前人的方法，亦步亦趨地去做，不懂得改變解題的方法和步驟，有的甚至于“或用算而布氈，方好煩而喜誤，曾不知是非，反欲以多為貴”. 劉徽這一論述，尖銳地批評了當時數學上的“踵古”思想. 劉徽認為：“學者踵古，習其謬失”. 沒有創新的思想，就沒有學術的發展，就沒有人類的進步. 劉徽敢于質疑，敢于提出新觀點的優秀品質，是他為數學作出巨大貢獻的內生動力.

例如在“方田”章“圓田術”的注釋中，他指出圓周率“非周三徑一之率也，周三者從其六觚之環耳”. 這句注釋闡明，“周三”只是圓內接正六邊形的周長，而不是圓的周長. 可是很多人還亦步亦趨地守著“周三徑一”這個陳腐的概念，不敢超越.

劉徽的“割圓術”對數學知識體系的進一步完善具有重大意義. 不僅求得“徽率”，提高了圓周率的精度. 而且在將圓內接正多邊形的邊數逐次加倍，以使多邊形面積逼近圓面積時，劉徽的“割之彌細，所失彌少. 割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，是劉徽極限思想的萌芽[6].

劉徽在《九章算術注》中提出了很多創新性算法及觀點，雖然有些算法及觀點還需要進一步的完善，甚至存在錯誤，卻為后人的創造性探索積累了經驗、留下了課題.

1.7 注重“直觀性”在感性認識中的作用

劉徽注意到直觀性在感性認識形成中的重要作用，他主張“析理以辭，解體用圖”，理論的形成需要建立在直觀的感性認識的基礎上，只有這樣，才能更好地形成數學知識體系. 因而，他在《九章算術注》中很注意使用圖形、立體模型、剪紙和涂抹顏色等技巧.

例如對“正負術”的注釋“今兩算得失相反，要令正負以名之. 正算赤，負算黑”注釋的意思是：現在要用算籌代表得失相反的兩種量，就把表示“得”的算籌所代表的數叫正數，把表示“失”的算籌所代表的數叫作負數，并且把代表正數的算籌涂上紅色，把代表負數的算籌涂上黑色. 劉徽在這句注釋里不僅用“得”與“失”給正負數下了一個很好的定義，并且還從視覺上給正、負數算籌涂上不同顏色，便于人們直觀地辨認和使用. 劉徽還認為“言負者未必負于少，言正者未必正于多”，這是說正負數的絕對值，前一句話是指負數的絕對值未必小，后一句話是指正數的絕對值也不一定很大. 在計算中，籌的總數不變，即籌的個數不變.

對于《九章算術》中的幾何命題，劉徽常以“解體用圖”的方法予以詮釋和證明. 所謂“解體用圖”就是利用圖形的分解、合成、割補或移動位置等方法進行等積變換，從而證明原著的命題或計算公式是成立的.

數學教學中常用的圖示法、列表法、模型制作法等，是劉徽“直觀性感性認識”數學思想的具體應用.

2 為完善數學知識體系做出卓越貢獻

在中國數學史上，劉徽第一次提出運用辯證法思維解不是唯一的一類方程，即“不定方程問題”的概念，并從辯證的角度提出并定義了許多數學概念：如冪(面積)、方程(線性方程組)、正負數等；在線性方程組解法中，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則，改進了線性方程組的解法；劉徽創造了比直除法更簡便的互乘相消法，與現今解法基本一致；他推導出等差級數前n項和公式；在“勾股”章的注釋中，劉徽不僅論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，發展了勾股測量術，還提出了相似勾股形理論，通過對“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論. 他用比率理論建立了數與式的統一的理論基礎，應用出入相補原理和極限方法解決了許多面積和體積問題，為中國數學發展做出了卓越的貢獻.

劉徽的數學成就，不僅對中國古代數學發展產生了深遠影響，而且在世界數學史上也被很多外國學者稱作“中國數學史上的牛頓”. 在世界數學史上，他最早提出十進小數概念，并用十進小數來表示無理數的立方根；在開方不盡的問題中提出“求徽數”的思想，這種方法與后來求無理根的近似值的方法一致；他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣.

《九章算術》雖然體系不甚完整，一些算法還存在問題，但仍然是中國古代數學的瑰寶，并為世界數學的發展做出了重要的貢獻. 劉徽的《九章算術注》讓中國古代數學體系走向規范，不僅給人類留下開創性的數學定義、命題與原理，他在注釋過程中彰顯的辯證法、在不同的數學問題中挖掘一般規律、用不同的方法解決相同問題、復雜問題轉化、邏輯推理、敢于創新等思想方法，成為激勵人們不斷探索未知的精神財富.