一道選擇題引發的思考

方婷

清明時節雨紛紛。在這個不一樣的節日里，沉淀自己的心情，反思上次數學練習的錯誤。

3月底進行了一次數學練習，是根據高考的難度要求，與《2013浙江理、文樣卷10》的類似題型：

如右圖，函數y=f（x）的圖像為折線OAB，設g（x）=f[f（x）]，則滿足方程g（x）=x的根的個數為（）

A.2個? ? ? ? ? ? ? ? B.4個? ? ? ? ? ? ? ? C.6個? ? ? ? ? ? ? ? ?D.8個

命題背景：函數的迭代。用圖像給出一個具體的分段函數，讓學生進行迭代得到新的函數，畫出圖像，從而數出與函數y=x的圖像的交點個數。主要考查學生由圖像得函數解析式的能力，對函數的代入運算及嚴密的數學邏輯分析能力，充分運用了數形結合的思想。

可是不要解析式，如何單靠圖像解決？

因為y=f（x），所以g（x）=f[f（x）]=f（y），若g（x）=x，則f（y）=x，所以有y=f（x），x=f（y），所以有x=y，則函數y=f（x）與函數y=x圖像的交點個數為2，與正確答案相悖。

其實對照標準答案很容易發現，一個是y=g（x）與y=x相交，一個是y=f（x）與y=x相交，顯然后一種是錯的。那么，后一種方法的錯處在哪里？其實，y=f（x），f（y）= x，并不是簡單的得到x=y，而是一個變換，一個迭代的變換。第一個式子的圖像上的點可以用（x，y）表示，而第二個式子圖像上的點則可用（y，x）表示，即g（x）=f[f（x）]=f（y）=x的根的個數，實質是函數y=f（x）的圖像與它關于y=x的對稱的圖像的交點個數。如圖所示。

這個方法很是快速，特別是對此題要進行分段函數的迭代。那是否具有通用性呢？追溯原因，在于g（x）=x，若此題變為g（x）=2x，還可否如此簡單？答案是：方法超過考試大綱，但是也可解。因為y=f（x），所以g（x）=f[f（x）]=f（y），若g（x）=2x，則f（y）=2x，即x=f（y），若y為橫坐標，x為縱坐標，則圖像橫坐標不變縱坐標變為原來的。要在一個坐標系中表示，則如圖示：

那么這個迭代問題有出現了新的變化題形式。本質還是一樣的迭代思想考查，某模擬卷第9題：已知f（x）為偶函數，當x≥0時，f（x）=2a|x-1|-a （a>0），若函數y=f[f（x）]恰有10個零點，則a的取值范圍為（ ）

A.（0，）B.（，）C.（0，] D.[，+∞）

作為一個選擇題，此題可用排除法，選擇特殊的值，比如令a=1，從而得到f（x）的解析式，進而解得x恰好有10個解，從而得到正確的結果。

但是，是否有別的辦法呢？畫函數f（x）的圖像，不放令f（x） =0，可得x=，。

設f（x0） =t，則f [f（x0）]= f（t）=0，得t=，時，即f（x0）= ，的解x0的個數即y= f（x）圖像與y=t圖像的交點，可得B選項。

上一題還要用解析式來的圖像，高考模擬考試數學（文科）試卷》第10題：已知函數y=f（x），y=g（x）的圖像如圖所示，則函數y=g[|f（x）|]的大致圖像是（ ）

這時，由圖像得解析式然后再進行迭代的方法，運算量太大且費時，不如延續上面迭代驗算的技巧：g（x）=0時，x=±1，則f（x0） =±1的解x0即為g[f（x）]=0的解，排除A，B選項，關鍵x=2時，f（2）>1，g[f（2）]>1，從而快速排除C。

其實，分段函數迭代問題無數變式不勝枚舉，但是函數問題的本質永遠是數形結合的思想，利用函數的性質可知圖像，也可由函數圖像得性質。華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”在這類題型中真是最體現了此思想方法的快捷簡便。

數學教學應引導學生注重數學知識基礎的同時，也要真正理解數學的思維和思想方法，在能力的培養過程中感悟數學。在課堂上，教師應該以概念為基礎，以思想方法為主線，以知識為載體進行教學，不斷反思、總結，才能不斷提升。