空孔與運動裂紋相互作用的動焦散線實驗研究*

楊仁樹，肖成龍，丁晨曦，陳 程，趙 勇，鄭昌達

（1. 中國礦業大學(北京)深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室，北京 100083；2. 北京科技大學土木與資源學院，北京 100083；3. 中國礦業大學(北京)力學與建筑工程學院，北京 100083）

在井巷施工與城市地下工程等實際工程中，巖體通常存在大量的裂隙、孔洞等缺陷，當含缺陷的圍巖受到工程活動等動載的影響，其內部缺陷附近產生應力集中現象，以致周圍應力場發生改變，嚴重時會影響圍巖的完整性，甚至造成巖體力學性質的削弱，最終導致圍巖結構失穩。因此，對沖擊荷載下含缺陷介質的動態斷裂行為進行深入研究具有重要的工程意義。

近年來，對于在沖擊荷載下介質的動態斷裂破壞行為，國內外諸多專家學者進行了相關研究，取得了豐富的研究成果：Kalthoff 等[1]基于焦散線理論，測定了沖擊荷載作用下裂紋尖端的動態斷裂韌性；Rubinstein 等[2]研究了微觀缺陷與裂紋的相互作用，分析了裂紋擴展過程中的動態斷裂行為；姚學鋒等[3]采用動態焦散線實驗方法，設計沖擊三點彎實驗，研究了含偏置預裂紋有機玻璃(PMMA)試件的裂紋動態擴展行為；岳中文等[4]設計沖擊三點彎實驗，得到了不同傾角的層狀巖體的動態斷裂特征，裂紋的偏移距離隨預制裂紋角度的增加而增大；李清等[5]對含不同傾角的預制裂紋的半圓盤試件受沖擊荷載時的裂紋起裂時間、裂紋速度、斷裂韌度等參數進行研究；楊仁樹等[6]基于數字激光動態焦散系統，研究了含不同曲率缺陷的PMMA 試件受沖擊荷載作用的時程與應力規律；楊立云等[7]設計雙預制裂紋的三點彎實驗，研究了在沖擊荷載作用下次裂紋對主裂紋動態擴展行為的影響。以上研究成果豐富了沖擊荷載下巖石的動態斷裂理論，但在空孔與不同偏置距離裂紋的相互作用方面卻鮮有研究。

本文采用動態焦散線實驗系統，對不同預制裂紋偏移距離的含空孔PMMA 試件進行沖擊三點彎實驗，研究了預制裂紋不同偏移距離時運動裂紋與空孔的相互作用規律及試件的動態斷裂特性；并通過MATLAB 程序計算試件裂紋軌跡的分形維數，從分形的角度分析不同偏移距離時空孔對裂紋軌跡的影響，以期為實際工程提供一定的理論支持。

1 動態焦散線實驗

1.1 實驗系統

實驗系統為透射式數字激光焦散線系統[8]，如圖1 所示，實驗采用的高速相機型號為Fastcam-SA5(16G)，通過配備的PFV 軟件可設置相機參數、采集數據，該相機最大拍攝頻率可達1 000 000 s?1，本次實驗拍攝頻率設置為150 000 s?1（相鄰照片間隔6.67 μs），焦散圖片尺寸192×168 像素；實驗光源為綠色光源激光器，該光源輸出功率為0～200 mW，本次實驗光源輸出功率設定為50 mW。

圖 1 數字激光動態焦散線實驗系統Fig. 1 The system of digital laser dynamic caustics

1.2 實驗原理及方法

實驗采用動態焦散線方法[9]，該方法基于幾何光學原理。實驗時將試件置于兩場鏡間的平行光場，在落錘的沖擊加載下，裂紋尖端應力集中，裂紋尖端附近的試件厚度發生改變，進而改變了材料的光學折射率，入射光通過試件后將偏離原傳播方向，最終在參考平面上表現出界限分明的明暗區域，即焦散線與焦散斑[10-11]。

式中：deff為試件厚度，本次實驗deff=5 mm；c 為材料的光學常數，本次實驗c=0.85×10?10m2/N；z0為試件至參考平面距離，本次實驗z0=0.9 m；F(v) 為動載作用下的修正系數，在具有實際意義的裂紋速度下，F(v)=1；g 為數值系數，g=3.17；Dmax為焦散斑的最大直徑。本次實驗中，deff、c、z0、F(v)、g 均為常數，因而通過對不同時刻的焦散圖片中焦散斑最大直徑的測量即可確定該時刻的裂紋尖端動態應力強度因子。

1.3 動焦散線實驗設計

由于有機玻璃具有與巖石材料相似的動態斷裂特性[14]，因而選用其作為本次模型實驗的實驗材料，該材料的動態力學參數如下[15]：膨脹波波速cp=2 320 m/s，剪切波波速cs=1 260 m/s，彈性模量Ed=6.1 GPa，泊松比μ=0.31，應力光學常數Ct=0.85×10?10m2/N。圖2 為試件模型示意圖，試件尺寸為220 mm×50 mm×5 mm（長×寬×厚），在試件幾何中心通過激光切割預制半徑R=3 mm 的空孔，試件底部垂直預制長10 mm 的裂紋。本次實驗共5 組方案，5 組方案中預制裂紋偏移試件中心的距離L 分別為0、3、6、9、12 mm（0～4 倍空孔半徑R），每組方案共3 組試件，共15 組，依次對應試件編號Sx?n(x=0，3，6，···，12，表示預制裂紋偏移距離為x mm；n=1，2，3，表示每種情況下的第n 組試件)。實驗加載通過落錘自由下落沖擊試件上表面的中心，即三點彎曲加載，本次實驗的落錘質量為1 kg，落錘下落高度為300 mm，保證了每組實驗中落錘對試件的沖擊荷載一致，實驗加載裝置如圖3 所示。

圖 2 試件模型示意Fig. 2 Sketch map of the specimen

圖 3 沖擊加載裝置Fig. 3 Impact loading system

2 動焦散線實驗數據分析

2.1 試件斷裂形態

5 組方案共15 組試件實驗后，對各組實驗數據處理分析，發現每組方案的各組試件實驗結果基本一致，驗證了本次實驗結果的準確性與可靠性。圖4 為每組方案中隨機選取的一組試件S0-1～S12-1的裂紋擴展軌跡。由圖4 可知，預制裂紋與空孔的相對位置對裂紋擴展軌跡產生顯著影響，在沖擊荷載的作用下，隨著預制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，試件共呈現三種破壞形態：當預制裂紋偏移距離不大于3 mm（試件S0-1、S3-1）時，裂紋起裂后貫穿空孔；預制裂紋的偏移距離增大至6 mm（試件S6-1），裂紋擴展至空孔附近時，空孔對運動裂紋呈現出顯著的“吸引”作用，裂紋路徑向空孔偏轉，但未與空孔貫穿，隨后裂紋遠離空孔；預制裂紋偏移距離大于9 mm（試件S9-1、S12-1），裂紋起裂后即向落錘加載方向擴展，直至貫穿試件，空孔對裂紋的擴展軌跡無顯著影響。

圖 4 裂紋擴展軌跡Fig. 4 Crack propagation paths in different specimens

2.2 動態焦散斑圖

由于篇幅所限，文中只給出試件S0-1、S6-1、S12-1各時刻裂紋與空孔作用的動態焦散斑圖片，如圖5 所示，記落錘與試件沖擊接觸的時刻為0 μs。

圖 5 動態焦散斑系列圖像Fig. 5 Dynamic caustic spots of specimens

試件S0-1裂紋尖端焦散斑的擴展可分為3 個階段：第一階段，落錘沖擊試件時產生的應力波以加載點為圓心在試件傳播，受應力波影響，預制裂紋尖端的焦散斑尺寸不斷增大，即應力強度因子不斷增大，在180.09 μs 時達到本次實驗條件下的臨界應力強度因子，試件起裂，226.78 μs 裂紋尖端焦散斑擴展至空孔下端；第二階段，焦散斑融入空孔，空孔上方的陰影面積隨時間不斷增大，說明空孔上端發生能量積累，且能量的積累程度隨時間加劇；第三階段，當空孔上端能量累積到極值，600.30 μs 時空孔上端二次起裂，且焦散斑尺寸大于第一階段，說明二次起裂所需能量大于一次起裂，起裂后裂紋向落錘加載處擴展，焦散斑尺寸減小，直至試件被裂紋貫穿。

試件S6-1裂紋尖端焦散斑的擴展可分為兩階段：第一階段，在沖擊荷載的作用下，預制裂紋尖端的焦散斑尺寸增大，試件于193.43 μs 起裂，起裂后裂紋快速擴展，并于246.79 μs 受空孔對運動裂紋的“吸引”作用顯著向空孔偏轉但未貫穿空孔，焦散斑尺寸逐漸減小；第二階段，焦散斑于286.81 μs 開始遠離空孔，并向落錘加載處不斷擴展，焦散斑尺寸先增大后減小，直至貫穿試件。

試件S12-1在沖擊荷載的作用下，預制裂紋尖端的焦散斑尺寸增大，試件于193.43 μs 時起裂，空孔對裂紋擴展未造成顯著影響，裂紋向落錘加載方向不斷擴展，直至試件被裂紋貫穿。

2.3 裂紋擴展速度

圖6 為沖擊荷載作用下5 組試件裂紋擴展速度與時間的關系曲線，由圖可知，隨著預制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，裂紋擴展速度v 共呈現3 種變化規律。

圖 6 裂紋擴展速度隨時間變化Fig. 6 Change of crack growth speed with time

試件S0-1、S3-1沿預制裂紋起裂后，裂紋速度迅速增大至214.89 m/s (200.10 μs)與229.88 m/s (200.10 μs)，隨后速度減小，直至裂紋貫穿空孔。空孔上端能量積累，當能量累積到極值，空孔上端二次起裂，起裂速度分別達到462.48 m/s (600.30 μs)與472.42 m/s (606.97 μs)，該速度分別為一次起裂時速度峰值的2.15 倍與2.06 倍，說明二次起裂需要更多的能量，隨后速度減小直至裂紋貫穿試件。

試件S6-1起裂后，裂紋速度迅速增大至240.7 m/s (226.78 μs)，隨著裂紋靠近空孔，裂紋速度逐漸減小，并于280.14 μs 降低至谷值150.0 m/s，之后裂紋遠離空孔，裂紋速度隨之增大，由速度變化規律可知，空孔對裂紋擴展起顯著抑制作用。最終裂紋速度不斷減小直至裂紋貫穿試件。

試件S9-1、S12-1起裂后，裂紋速度迅速增大至222.66 m/s (220.11 μs)與224.89 m/s (226.78 μs)，隨后速度振蕩減小直至裂紋貫穿試件。由此可知，當預制裂紋偏移距離大于9 mm 時，空孔對裂紋速度的變化規律無顯著影響。

2.4 動態應力強度因子規律

圖7 為沖擊荷載作用下5 組試件裂紋尖端動態應力強度因子與時間的關系曲線，由圖可知，從落錘沖擊接觸試件到試件沿預制裂紋起裂的能量積累階段(0～200.10 μs)，5 組試件動態應力強度因子隨時間的變化規律基本一致，起裂時裂紋尖端基本相同，在0.93～1.00 MN/m3/2之間。起裂后裂紋尖端的能量釋放，應力集中程度降低，隨之減小，隨著預制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm，試件起裂后共呈現三種變化規律。

圖 7 裂紋應力強度因子隨時間的變化曲線Fig. 7 Change of crack stress intensity factor with time

(1) 試件S0-1、S3-1起裂后受空孔影響，分別減小至0.63 MN/m3/2(233.45 μs) 與0.64 MN/m3/2(220.11 μs)。裂紋貫穿空孔，空孔上端的能量不斷積累，于空孔上端發生二次起裂，兩組試件起裂時的分別為1.74 MN/m3/2(600.30 μs)與1.84 MN/m3/2(606.97 μs)，二次起裂的動態應力強度因子分別為一次起裂時峰值的2.76 倍與2.88 倍，說明二次起裂需要更多的能量，起裂難度更大。二次起裂后迅速減小直至裂紋貫穿試件。

(2) 試件S6-1起裂后受空孔的“吸引”作用，裂紋向空孔偏轉，迅速減小，于273.47 μs 降低至谷值0.25 MN/m3/2，286.81 μs 裂紋開始遠離空孔，隨之增大，于333.50 μs 達到峰值0.76 MN/m3/2，由變化規律可知，空孔對裂紋擴展起顯著的抑制作用。隨后，逐漸減小直至裂紋貫穿試件。

(3) 試件S9-1、S12-1起裂后裂紋尖端能量釋放，減小，并分別在0.57～0.74 MN/m3/2(220.11～426.88 μs)與0.63～0.80 MN/m3/2(213.44～446.89 μs)之間震蕩，隨后，逐漸減小直至試件貫穿。當預制裂紋偏移距離大于9 mm 時，空孔對裂紋尖端應力強度因子無顯著影響。

3 裂紋軌跡的分形維數計算

分形理論由Mandelbrot 于1975 年創立，分形理論的出現為分析具有自相似性的不規則幾何形體提供了定量刻畫的方法[16]，且由謝和平[17]首次將該理論應用于巖石的損傷破環分析。其中，計盒維數由于其相對簡單的計算方法，且能夠準確表征裂紋空間分布[18-19]，因而在巖石斷裂力學中得到了廣泛應用。將分形體用邊長為 δ 的盒子均勻覆蓋，記 N (δ) 為所有與分形體相交的盒子個數，則計盒維數DB[20-22]的表達式為

圖8 為5 組試件在沖擊荷載作用下的裂紋軌跡進行二值化處理后的圖片，圖像尺寸為1 024×1 024像素，將二值圖導入MATLAB 計盒維數計算程序進行計算。

圖9 為5 組試件裂紋軌跡的計盒維數擬合直線，5 組擬合直線的相關系數均大于0.99，證明了試件在沖擊荷載作用下的裂紋軌跡符合分形規律。試件S0-1～S12-1裂紋軌跡的分形維數D1～D5分別為1.222 0、1.308 8、1.319 2、1.292 1、1.279 0。當預制裂紋與試件中心無偏離時，裂紋軌跡的分形維數為五組試件中的最小值（1.222 0），說明該情況下裂紋軌跡復雜程度最低，裂紋的擴展軌跡最規則。當預制裂紋發生偏離時，裂紋軌跡的分形維數較試件S0-1增大，從分形的角度進一步驗證了預制裂紋偏移距離與空孔對裂紋擴展的影響。預制裂紋與試件中心偏離6 mm 時，裂紋軌跡的分形維數為五組試件中的最大值（1.319 2），說明該情況下裂紋軌跡最復雜，裂紋的擴展軌跡規則程度最低。

圖 8 裂紋軌跡二值圖Fig. 8 Binary diagrams of the crack trajectories in different specimens

圖 9 裂紋軌跡的計盒維數擬合曲線Fig. 9 Box-counting dimension fitting curves of crack trajectories in different specimens

4 結 論

本次實驗條件下，當預制裂紋偏移試件中心距離由0 mm 增大至12 mm（0～4 倍空孔半徑R），存在2 個臨界偏移距離6 mm (2R)、9 mm (3R)，在臨界偏移距離裂紋的擴展軌跡、動態斷裂特性發生顯著變化，整體呈現為以下3 種規律：

（1）偏移距離不大于3 mm 時，裂紋貫穿空孔，空孔上端發生二次起裂，且二次起裂的速度與應力強度因子分別平均為一次起裂時峰值的2.1 倍與2.8 倍，二次起裂需要更多的能量，無偏移時裂紋軌跡的分形維數為最小值1.222 0。

（2）偏移距離由3 mm 增大至6 mm 時，裂紋不再貫穿空孔，裂紋擴展至空孔時首先向空孔偏轉，隨后裂紋遠離空孔，空孔對裂紋先吸引后排斥，裂紋擴展速度與應力強度因子先減小后增大，裂紋軌跡的分形維數達到最大值1.319 2。

（3）偏移距離大于6 mm 時，空孔對裂紋的吸引作用逐漸減小；偏移距離大于9 mm 后，空孔對裂紋擴展無顯著影響，裂紋起裂后即向落錘加載方向擴展，裂紋速度與應力強度因子振蕩減小直至貫穿試件，裂紋軌跡的分形維數較6 mm 時有所減小。