猶豫模糊有序信息系統(tǒng)及其屬性約簡

賀艷平，張海東

數(shù)學與應用數(shù)學研究

猶豫模糊有序信息系統(tǒng)及其屬性約簡

賀艷平1，張海東2

（1. 西北民族大學 電氣工程學院，甘肅 蘭州 730030；2. 西北民族大學 數(shù)學與計算機科學學院，甘肅 蘭州 730030）

猶豫模糊信息系統(tǒng)是對傳統(tǒng)的信息系統(tǒng)的一種推廣。首先，在猶豫模糊信息系統(tǒng)中利用猶豫模糊值的得分函數(shù)，定義了一種優(yōu)勢關系。通過用這種優(yōu)勢關系替代經(jīng)典粗糙集理論中的不可分辨關系，建立了一種基于優(yōu)勢關系的粗糙集模型。此外，為了簡化知識表示，提出了一種消除冗余信息的屬性約簡方法，并通過一個實例說明了該方法的有效性。

優(yōu)勢關系；優(yōu)勢粗糙集；猶豫模糊信息系統(tǒng)；約簡

1 引言

粗糙集理論是Pawlak[1,2]提出的用來處理數(shù)據(jù)分析中不精確、模糊和不確定性問題的數(shù)學方法。然而，這種Pawlak粗糙集模型及其它的一些推廣模型諸如模糊粗糙集[3,4]、直覺模糊粗糙集[5,6]、猶豫模糊粗糙集[7,8]等，都沒有考慮偏好屬性的優(yōu)先順序。在這種情況下，Greco等人[9-10]引進了標準的優(yōu)先排序問題，把Pawlak粗糙集進行了推廣，通過用優(yōu)勢關系替代不可分辨關系構建了基于優(yōu)勢關系的粗糙集方法（DRSA）。在DRSA中，近似的知識是向上合并類和向下合并類的集合，而優(yōu)勢類是由優(yōu)勢關系定義的對象集，其中條件屬性是標準，類是偏好排序的。

猶豫模糊集理論是由Torra[11]提出的一種模糊集的擴展，它允許一個元素的隸屬度具有幾個可能的不同值。由于粗糙集和猶豫模糊集都能俘獲到相同概念下不精確的方面，所以將兩者融合起來研究也是自然的。文獻[7]將猶豫模糊集與粗糙集相結合，提出了猶豫模糊粗糙集的概念。然而，文獻[8]指出，基于猶豫模糊粗糙集的猶豫模糊子集不一定滿足反對稱。為了彌補這一缺陷，文獻[8]在兩個論域上引入了一種猶豫模糊粗糙集，并利用該模型給出了不確定環(huán)境下的一個新的決策方法。文獻[12]將粗糙集擴展為區(qū)間值猶豫模糊環(huán)境，引入了區(qū)間值猶豫模糊粗糙集的概念，并在文獻[13]中研究了該模型的拓撲結構。

另一方面，知識約簡也是經(jīng)典和廣義粗糙集理論的一個重要研究內(nèi)容，但是這個問題在猶豫模糊環(huán)境下很少被討論。一般來說，可能沒有足夠的專業(yè)知識或者擁有足夠的知識水平用一個值或一個單詞來精確地表達我們對考慮對象的偏好，進而通常會在一些不同的值之間產(chǎn)生一定的猶豫。在這種情況下，傳統(tǒng)的信息系統(tǒng)不能只用一個詞匯或一個值來表達偏好或評價。考慮到這些事實，我們會很自然地對猶豫模糊背景下的信息系統(tǒng)進行研究，姑且稱作猶豫模糊信息系統(tǒng)。本文的主要目的是引入一種猶豫模糊信息系統(tǒng)的優(yōu)勢關系，并通過用優(yōu)勢關系代替不可分辨關系，建立一種粗糙集方法。然后，從考慮對象排序的角度出發(fā)，在猶豫模糊有序信息系統(tǒng)中設計一種消除冗余信息的約簡方法。

2 猶豫模糊信息系統(tǒng)中的優(yōu)勢關系

在文獻[11]中，Torra引進了猶豫模糊集的概念，其定義如下。

為了比較猶豫模糊元素，Xia和Xu在文獻[14]中定義了以下比較法則：

一個猶豫模糊信息系統(tǒng)是四元組

表1 猶豫模糊信息系統(tǒng)

例1 表1給出了一個猶豫模糊信息系統(tǒng)，其中

在實際決策分析中，我們總是會考慮在猶豫模糊信息系統(tǒng)中依據(jù)屬性值確定可能占主導地位對象間的優(yōu)勢關系。一般來說，決策者可以考慮屬性的增序和降序兩種。如果一個屬性的范圍是按照遞減或遞增的順序排序的，那么這個屬性就是一個標準。

定義3 如果所有的屬性都是標準的話，一個猶豫模糊信息系統(tǒng)就稱為猶豫模糊有序信息系統(tǒng)。

在定義2的基礎上，我們給出一種對兩個考慮對象排序的方法，它的屬性特征是通過猶豫模糊值來刻畫。

從定義4和2可以很容易得到下面的定理。

證明 （1）和（2）是顯然的。

由表1，有

其中

3 猶豫模糊有序信息系統(tǒng)的粗糙集方法

從定義5，我們很容易得到以下定理。

證明 根據(jù)定義4和5直接可得。

其中

同樣，根據(jù)定義5，計算粗糙集

如下：

4 猶豫模糊有序信息系統(tǒng)的屬性約簡

在本節(jié)中，我們將提出一種在給定猶豫模糊有序信息系統(tǒng)中的屬性約簡方法。

通過定義6，很容易驗證以下結論。

下面定義猶豫模糊有序信息系統(tǒng)中的幾個特殊屬性。

表2 表1的分辨矩陣

從可辨識函數(shù)最小析取范式的定義和定理6，可以驗證以下結論成立。

由定理7可知，猶豫模糊有序信息系統(tǒng)提供了一種實用的屬性約簡方法。下面我們將舉例說明如何獲得猶豫模糊有序信息系統(tǒng)的屬性約簡。

例4 （接例1）根據(jù)定義8，可以得到表1的可辨識矩陣（見表2）。因此有

5 結論

雖然傳統(tǒng)的粗糙集理論是處理不確定性信息強大而有用的數(shù)學工具，但它不能代替分類對象處理對象排序的問題。在這種情況下，我們在猶豫模糊背景下研究了一種稱之為猶豫模糊信息系統(tǒng)的信息系統(tǒng)。這種猶豫模糊信息系統(tǒng)是數(shù)據(jù)表的一種重要類型，是從傳統(tǒng)的信息系統(tǒng)中推廣而來。首先，基于猶豫模糊值的得分函數(shù)，將優(yōu)勢關系引入到猶豫模糊信息系統(tǒng)。然后通過用這種優(yōu)勢關系取代不可辨識關系，在猶豫模糊有序信息系統(tǒng)中建立了一種粗糙集方法。最后，從考慮對象排序的角度出發(fā)，確立了一種在猶豫模糊有序信息系統(tǒng)中消除冗余信息的約簡方法。

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Hesitant Fuzzy Ordered Information System and Its Attribute Reduction

HE Yan-ping1, ZHANG Hai-dong2

(1. School of Electrical Engineering, Northwest Minzu University, Lanzhou730030, China; 2. School of Mathematics and Computer Science, Northwest Minzu University, Lanzhou730030, China)

Hesitant fuzzy information systems are generalized types of traditional information systems. First, a dominance relation is de?ned by the score function of hesitant fuzzy value in hesitant fuzzy information systems. By introducing the dominance relation to hesitant fuzzy information systems, a dominance-based rough set model was established through replacing the indiscernibility relation in classic rough set theory with the dominance relation. Furthermore, to simplify the knowledge representation, an attribute reduction approach was put forward to eliminate the redundant information. An example is provided to illustrate the validity of this approach.

dominance relation; dominance-based rough set; hesitant fuzzy information systems; reduction

O159

A

1009-9115(2020)03-0001-05

10.3969/j.issn.1009-9115.2020.03.001

國家自然基金資助項目（61966032），甘肅省高等學校科學研究項目（2016B-005），西北民族大學中央高校基本科研業(yè)務費項目（31920170010）

2019-09-09

2019-12-12

賀艷平（1978-），女，山西稷山人，碩士，副教授，研究方向為不確定性理論及其應用。

（責任編輯、校對：趙光峰）