高中數學教學類型的理論探析：數學學科核心素養視角

朱立明

基礎教育教學研究

高中數學教學類型的理論探析：數學學科核心素養視角

朱立明

（唐山師范學院 教育學院，河北 唐山 063000）

以學生核心素養與數學教學關聯一致性的程度為標準，提出基于數學學科核心素養進行數學教學類型劃分的三個研究視角，視角1：數學教學目標是否蘊含核心素養的育人價值；視角2：數學教學內容是否與核心素養建立實質聯系；視角3：數學教學評價是否以發展學生核心素養為依據。基于此，將當前的數學教學分成四種類型，類型1：未關聯的數學教學；類型2：“雙基”關聯的數學教學；類型3：“問題解決”關聯的數學教學；類型4：“理性思維”關聯的數學教學。

數學學科核心素養；教學類型；一致性

《教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》（以下簡稱《意見》）于2014年3月30日正式印發。在該《意見》中，“核心素養體系”一詞語備受關注：提出各學段學生發展核心素養體系，明確學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，突出強調個人修養、社會關愛、家國情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐，“立德樹人”成為我國教育的根本任務。

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課程標準（2017年版）》）提出高中數學課程要培養學生的數學學科核心素養，具體包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析[1]。

隨著核心素養體系的提出，在教學中滲透數學學科核心素養成為高中數學課程的主旋律，這在一定程度上決定了數學課程改革的價值取向。

1 數學學科核心素養觀測維度

數學學科核心素養的觀測點是數學教育領域研究的熱點問題，無論從何種視角出發，數學學科核心素養測評都繞不開知識、能力與思維，《課程標準（2017年版）》也指出數學學科核心素養是具有數學學科基本特征的思維品質關鍵能力以及情感、態度價值觀的綜合體現，涉及情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個層面。“數學知識”既包含了對已有數學知識的理解與運用，也包括學生從自身經驗出發而定義的數學概念及其相關的“命題”，因此，在一定程度上涵蓋了數學交流以及交流后的反思，尤其是在課堂教學中，教師與學生、學生與學生的交流過程，也是知識產生、傳遞、理解的過程。而在數學思維中也涉及數學交流與表達，情境是問題不可或缺的一部分。因此，可以將數學學科核心素養觀測點概括為數學知識（Knowledge-K）、問題解決（Solving-S）與數學思維（Thinking-T）三個層面。

1.1 數學知識是數學學科核心素養的基礎

數學知識指向數學學科核心素養的知識層面，是其形成與發展的基礎。數學知識是對數學概念、原理、命題、法則、公式的基本表達，這種表達是借助符號語言、圖形語言與文字語言來完成的。數學知識可以刻畫數學中的數量關系與空間形式。因此，數學知識本身具有一定的邏輯性，例如數學概念、數學命題之間的傳遞性，邏輯性保證了數學知識的科學、合理與嚴謹。除此之外，數學知識包含數學家在其創造過程中的價值取向，數學學科核心素養中的數學知識，強調其中蘊含的數學思想與通性通法，不僅要關注“點”的分布，需要借助“線”貫穿，以“面”為支撐，形成“數學核心知識群”，以解決知識的無限與學習時間有限的矛盾。

1.2 問題解決是數學學科核心素養的主旨

問題解決指向數學學科核心素養教學能力層面，是其形成與發展的主旨。從波利亞（G. Polya）的《怎樣解題》到哈爾莫斯（P. Halmos）提出“問題數學的心臟”，再到國際數學教育改革一直把問題解決作為重要議題來研究，《課程標準（2017年版）》中也強調問題解決的重要性。數學學科核心素養中的問題解決，首先需要注意問題解決與情境密不可分，好的問題情境能夠喚起學生對知識的回憶，刺激在情境中尋求問題解決的思路。其次，問題解決需要解題策略，問題設置最好能夠實現解題策略的多樣化。在設計問題時，優先考慮一題多解的問題，保證學生可以從自己的角度解決問題。最后，問題解決需要兼顧解題回顧。解題回顧是一種對解題過程與結果的反思，是為了闡明自己對數學事實的理解。

1.3 數學思維是數學學科核心素養的本質

數學思維指向數學學科核心素養的思維層面，是其形成與發展的本質。數學學科核心素養涵蓋了理性思維、邏輯思維、創新思維、直覺思維、大數據思維。其中理性思維主要指向數學抽象素養，邏輯思維主要指向邏輯推理素養與數學運算素養，創新思維指向數學建模素養，直覺思維指向直觀想象素養，大數據思維指向數據分析素養。數學思維是數學學科核心素養的內隱品質，數學知識與問題解決最后會內化成數學思維。因此，數學思維是學生通過參與數學教學活動，發現數量與數量關系、圖形與圖形關系中的數學規律，并借助數學語言進行表征，將外顯的數學知識與問題解決能力進行內化的一種數學思考模式。

2 數學學科核心素養是高中數學教學類型的核心標準

艾斯納和麥克尼爾（J. D. McNeil）對課程取向進行歸納，認為學術理性主義取向的課程以永恒主義和要素主義為基礎，以學科知識和教師為中心，培養有知識、有智慧的人，促進智力的發展，要求學生掌握永久性知識、技能和價值觀，強調傳統學科知識的價值；人本主義取向的課程以進步主義和人本主義為基礎，關注學生的經驗、興趣和需要，重視促進學生的自我激勵和支持，強調人的整體發展，尤其是自我概念的形成[2]。對于數學學科本身而言，其本質是程式化和秩序化，以演繹推理和機械構造為途徑，展現現實世界的數量關系和空間形式。高中數學課程不是以學術理性為傾向，也不是單純拋棄學科內容，忽略學科知識，以人本主義為傾向，而是理性與人本相互融合的價值取向，其目的在于將數學的學術形態轉變為學習者能夠接受的教育形態。高中數學課程應該重視數學中最本質的內容，以學生發展為本位，幫助學生形成正確的世界觀、人生觀、價值觀，最終讓學生具備能夠實現其終身學習的數學知識、數學能力、數學思想和方法。

2.1 指引數學教學目標的方向與價值

高中數學課程的總目標指出[1]：“使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要。”數學素養是個體確定和理解數學在現實世界所起的作用，做出有充分根據的判斷和從事數學，以此來滿足一個當前和未來生活中作為積極的、參與的和反思的公民之需要的能力。PISA2021提出數學素養的八項能力：溝通、闡述、設計策略、數學化、推理與論證、使用符號、正式的或技術性的數學語言并運算、使用數學工具[3]。人們用來有效處理生活與工作過程中所需的技能、知識、信念、氣質、思維習慣等是核心素養學科化后的具體表現。數學核心素養是數學知識、數學技能、數學思考等綜合能力，其中蘊含著數學的基本思想方法。基于核心素養的視角審視高中數學課程目標，能夠更好地培養學生從數學的角度看待問題，用數學的思維思考問題，用數學的方法解決問題，從而使高中數學課程目標得以實現。

2.2 決定數學教學內容的寬度與深度

數學課程內容主要由直接經驗和間接經驗兩種性質的數學知識構成，如何從浩如煙海的知識寶庫中精選出學生必備的數學知識，成為當今數學課程實踐中最復雜的問題，是選擇“知如何”（knowing-how）的知識，還是選擇“知什么”（knowing-what）的知識？是更多的數學史介紹，還是數學運算與證明？聯合國教科文組織曾如此感嘆：教育內容的確定問題大概從來沒有像今天這樣復雜和迫切[3]。傳統教育是以數學知識結構及其發展邏輯為依托來確定課程內容的，這樣會使所選內容難度過大，對學生發展沒有保障。在核心素養思想的指導下，從學科本位轉向學生的核心素養本位，決定了數學課程內容的選擇，通過遴選那些能夠提升學生核心素養的知識，來實現知識與能力的融合，核心素養成為課程內容的寬度與深度選擇的重要依據，保證了學生健康、全面地發展。

2.3 影響數學教學評價的功能與方案

數學課程評價是對整個數學課程的監控與反思，包括課程資源和教材的評價、學生學業評價、教師施教評價等。傳統的課程評價在功能與方案的選擇上，更傾向于總結性評價。評價過程中的價值判斷都無法避免主觀性。要得到一個固定的、客觀的、標準化的答案并不現實。當課程評價方案體現學生中心時，必然會遭到學科中心主義者的反對，反之也是如此。那么如何在學科要求和學生興趣之間尋求一個平衡點，就可以從培養學生的核心素養出發，來確定評價的功能與方案。核心素養是學科知識的“盟友”，同時也是學生要必備的關鍵品質，它可以更好地引導數學課程評價，實現其評價功能。例如，對數學教材進行評價，就要關心教材內容是否反映數學的基本結構和發展方向，是否能夠為培養學生核心素養而服務。對教師的施教評價，關注其能否在教學活動中滲透核心素養的培養，是否關心學生的參與程度，因為核心素養的形成依賴學生參與其中的數學活動。這樣基于核心素養的數學課程評價可以啟發學生獨立思考能力，積累學習經驗，從而養成良好的學習習慣。通過以上三個視角的闡述，核心素養體系如何與不同學段學生發展進行銜接，成為核心素養落實和培養的重要環節。

圖1 核心素養三層結構模型

核心素養與各數學課程的有機結合是我們劃分數學教學水平的主要標準。李藝等（2015）指出，學科核心素養由三個層面構成，如圖1所示，最底層的“‘雙基’指向”（稱為“‘雙基’層”），以基礎知識和基本技能為核心；中間層的“問題解決指向”（稱為“問題解決層”），以解決問題過程中所獲得的基本方法為核心；最上層的“學科思維指向”（稱為“學科思維層”），指在系統的學科學習中通過體驗、認識及內化等過程逐步形成的相對穩定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀[4]。數學核心素養體系可劃分為由低到高的四個層面：數學雙基層、問題解決層、數學思維層、數學精神層，這四個層面逐次遞進，構成了一個相互聯系、密不可分的整體[5]。結合數學學科核心素養的觀測維度與三個視角，以上述核心素養與數學學科核心素養的層次劃分為基礎，對數學課堂教學類型進行劃分。

3 基于數學學科核心素養的數學教學類型劃分

數學核心素養是數學課程改革的新指向，是數學教育的培養目標[6]。我們將當前的數學課堂教學劃分為如下4種類型。

3.1 類型1：未關聯的數學教學

這種數學課堂教學沒有基于學生數學學科核心素養，這樣的數學教學可以很容易辨認，追求高分數，過于重視知識的機械記憶與解題技巧的訓練，很少考慮學生的數學學科核心素養的提升。此類教學聚焦于考試內容，幾乎“考什么，學什么”，以考試內容為準則進行教學內容的組織，題海戰術成為取勝法寶，熟能生巧成為教學宗旨，采取了“表面看來清晰利落的手法迅速教懂學生這套凝聚了數千年人類智慧的特別語言”[7]。對學生評價，往往是“成績決定一切”的終結性評價，僅側重對知識、事實的記憶的考察以及操作性訓練，忽視學生對知識的理解，以及學生學習數學的態度、情感以及心理行動能力的培養，不關注學生在教學活動中的情感性、創造性、發展性、可塑性。造成該水平數學教學的原因有很多。主要是現實生活中教師、學生、家長、社會受制于傳統教育文化觀念的影響，很難將學生全面發展置于教學活動的中心地位[8]。學生的數學學科核心素養集中體現為數學的應試能力，在未來發展所需要的數學核心素養上缺少鍛煉機會。

3.2 類型2：“雙基”關聯的數學教學

這種數學課堂教學不再缺失核心素養，但是僅僅予其于“雙基”層面，在基礎知識與基本技能的教學中蘊含核心素養。與傳統的數學課程相比，“雙基”關聯的數學課程不再將“雙基”作為靜止的技能和工具進行傳授，更關注數學的文化活動屬性。該教學類型，將數學基礎知識與基本技能融入數學文化之中，從數學文化的視角觀察數學課程，用數學課程來審視數學文化，追求數學知識的來龍去脈，重視培養學生對數學的過去、現在與未來的了解，感悟數學知識的產生是一個“去繁存簡”的抽象過程。例如著名的“七橋問題”就是從具體“路”與“橋”的現實情境中抽象出拓撲性質。這些源于現實、高于現實的課程內容，體現出數學知識的邏輯性、生成性、完整性和連續性，既有利于學生對于知識的理解和掌握，又能提高學生的數學觀念，讓學生在數學學習中獲取能夠融入社會生活所必需的核心素養[9]。

3.3 類型3：“問題解決”關聯的數學教學

這種數學課堂教學不僅關注學生的基礎知識與基本技能（“雙基”），還重視培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力，并在問題解決過程中幫助學生形成數學思想方法。這里的“問題”包括“數學學習問題”，也包括除了學習問題之外的，數學課程所面對的“待解決問題”。學生數學學習過程就是整個數學發展歷程的縮影，數學是經歷千年的發展才從簡單的記數到如今分支繁多的學科，學生也是從一無所知到具備數學素養的合格公民。從數學史來看，問題是促進數學發展的核心力量，問題解決在數學課程中具有重要地位，以學生身心發展規律為基礎，通過數學知識的內在邏輯順序，借助數學問題的解決，感悟蘊含其中的數學思想方法。這些數學思想方法不是具體的解題技巧，是數學基本思想的具體化，是從數學角度提出問題、解決問題（包括“數學學習問題”和“待解決問題”）的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。在高中課程中包括數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，轉換的思想方法，等量替換的思想方法，具有一定可操作性。核心素養正是在對數學內部和數學外部之間各種關系進行深入理解和各種問題的解決過程中形成的。

3.4 類型4：“理性思維”關聯的數學教學

這種課堂教學蘊含數學理性思維，數學理性思維不只是靜態的數學知識與技能，也是某類解決問題的方法，它是一種探尋數學問題解決與評價的思維模式，其植根于數學教學內容之中，是數學教學的靈魂，也是數學教學與“人的必備品質與關鍵能力”相聯結的本質之所在。該種類型的數學教學重視學生數學理性思維的養成，追求對學生思維模式的培養，不只是停留在數學知識與數學方法層面。因為數學理性思維之于數學內容的嚴謹性始終是數學的一個鮮明特征。正如費馬猜想讓歷代數學家花費358年的時間才證明其真實性，而費馬數僅產生5個素數就被歐拉送上“斷頭臺”，這便是數學理性思維與邏輯推理的“功勞”。當今科學技術日新月異，知識形態更是豐富多彩，人們需要理性思維，用批判的眼光來審視知識。因此，缺少理性思維的數學課程教學猶如人無靈魂，黯然失色。也只有聯結數學理性思維的數學教學，才能使核心素養產生價值和意義。

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(2017年版)[S].2018-02-07.

[2] 鐘啟泉.課程論[M].北京:教育科學出版社,2007: 64-65.

[3] 董連春,吳立寶,王立東.PISA2021數學素養測評框架評介[J].數學教育學報, 2019,(4): 6-11.

[4] 李藝,鐘柏昌.談“核心素養”[J].教育研究,2015,(9): 17-23.

[5] 呂世虎,吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建[J].課程·教材·教法,2017,(9):12-17.

[6] 朱立明,胡洪強,馬云鵬.數學核心素養的理解與生成路徑——以高中數學課程為例[J].數學教育學報,2018, (1):42-46.

[7] 中國教育學會中學數學教學專業委員會.面向21世紀的中國數學教育[M].杭州:浙江教育出版社,1997:261.

[8] 李臣之,郭曉明,和學新,張家軍.西方課程思潮研究[M].北京:人民教育出版社,2012:377-339.

[9] 戴風明.數學文化在數學教學中的缺失與對策[J].數學教育學報,2011,(6):74-77.

High School Mathematics Curriculum Level Research Based on the KeyCompetences

ZHU Li-ming

(School of Education, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

Three research perspectives were put forward on the classification of mathematics teaching types based on the key competences of mathematics. Perspective 1: whether mathematics teaching goals contains the key competences education value; 2: whether the content of mathematics teaching is to establish substantial connection with key competences; 3: whether mathematics teaching evaluation is based on developing students’ key competences. The current mathematics teaching is divided into four types, type 1: not associated mathematics curriculum; type 2: “double-base” associated mathematics curriculum; type 3: “problem solving” associated with mathematics curriculum; type 4: “rational thinking” associated with mathematics curriculum.

mathematics key competences; teaching design; alignment

G622.0

A

1009-9115(2020)03-0148-05

10.3969/j.issn.1009-9115.2020.03.033

河北省教育科學研究“十三五”規劃課題一般資助項目（1903130）

2019-09-15

2020-04-05

朱立明（1986-），男，滿族，河北承德人，博士，講師，研究方向為課程與教學論。

（責任編輯、校對：趙光峰）