循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時間分布函數(shù)研究*

吳亞珍 孫中奎

1) (運城學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院， 運城 044000)

2) (西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 西安 710072)

(2019 年11 月14日收到; 2020 年3 月31日收到修改稿)

提出了一種循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)駐留時間分布函數(shù)的理論計算方法. 利用具有分段逃逸速率的兩態(tài)模型理論， 建立分段逃逸速率方程， 分段地推導(dǎo)出了駐留時間分布函數(shù)的解析表達式. 在此基礎(chǔ)上，從理論和數(shù)值模擬兩方面闡明了在非對稱性及循環(huán)噪聲的影響下駐留時間分布函數(shù)呈現(xiàn)出反饋結(jié)構(gòu). 研究結(jié)果表明: 當(dāng)非對稱性、循環(huán)噪聲的相關(guān)強度及循環(huán)滯后時間取適當(dāng)值時均會造成駐留時間分布函數(shù)呈現(xiàn)出分段指數(shù)衰減現(xiàn)象且在循環(huán)滯后時間處出現(xiàn)驟然下降的趨勢. 隨著非對稱性的減小， 駐留時間分布函數(shù)指數(shù)衰減的速率加快并出現(xiàn)單調(diào)指數(shù)衰減現(xiàn)象. 分別增大相關(guān)強度和循環(huán)滯后時間， 駐留時間分布函數(shù)在循環(huán)滯后時間處驟然下降的間距變小. 此外， 駐留時間分布函數(shù)在循環(huán)滯后時間處的值會隨著噪聲強度和相關(guān)強度的改變出現(xiàn)極大值， 說明系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象.

1 引 言

在非線性系統(tǒng)中， 增加適量的噪聲不但不會降低輸入信號的周期性輸出， 反而在一定程度上增加了系統(tǒng)的輸出信噪比， 即輸入信號與噪聲之間產(chǎn)生了協(xié)同效應(yīng)， 這就是經(jīng)典的“隨機共振”[1，2]現(xiàn)象. 隨機共振的提出讓人們不再認(rèn)為噪聲只有負(fù)面影響，相反， 噪聲在自然界中也是可以發(fā)揮積極作用的.隨后， 人們對隨機共振及相關(guān)問題展開了研究并提出了量化隨機共振現(xiàn)象的度量指標(biāo)， 如信噪比[3-6]、線性響應(yīng)[7-9]、駐留時間分布函數(shù)[10-16]等.這些度量指標(biāo)作為與噪聲相關(guān)的函數(shù)， 隨著噪聲強度的改變， 若出現(xiàn)極大值則說明發(fā)生隨機共振現(xiàn)象. 然而， 已有實驗證明， 當(dāng)把噪聲注入到系統(tǒng)中時， 通過不同渠道的耦合噪聲會發(fā)生分裂且分裂成多個含有時滯項的同源噪聲， 此類噪聲被稱為循環(huán)噪聲[17，18]. 用表示該噪聲， 考慮最簡單的情形，可表示為

隨著循環(huán)噪聲的發(fā)現(xiàn)和興起， 循環(huán)噪聲驅(qū)動下系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注， 并取得了重大研究成果[19-29]， 如誘導(dǎo)隨機同步[19]、控制相干共振[20]、增強系統(tǒng)穩(wěn)定性[22]、誘導(dǎo)隨機分岔[28]等. 特別地， Sun 等[23，24]建立了循環(huán)噪聲驅(qū)動下雙穩(wěn)系統(tǒng)的兩態(tài)模型理論并研究了該系統(tǒng)的共振動力學(xué)行為. 隨后， 將該系統(tǒng)推廣到了循環(huán)噪聲驅(qū)動的時滯雙穩(wěn)系統(tǒng)上， 研究結(jié)果表明循環(huán)噪聲能夠調(diào)制時滯雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振動力學(xué)行為[25].文獻[23-25]以對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)展開研究， 探討了循環(huán)噪聲對信噪比、線性響應(yīng)及駐留時間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響. 然而， 在許多實際的物理系統(tǒng)中對稱性是難以保證的， 非對稱系統(tǒng)更為普遍和具有實用價值， 因此研究非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振動力學(xué)現(xiàn)象應(yīng)用前景更為廣闊. 而如何計算循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱性雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時間分布函數(shù)以及非對稱性對該系統(tǒng)駐留時間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響目前還未被涉及.

鑒于此， 本文以循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)為研究對象， 運用兩態(tài)模型理論推導(dǎo)出逃逸速率和駐留時間分布函數(shù)的解析表達式， 并基于此分析非對稱性及循環(huán)噪聲對駐留時間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響. 本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第二部分給出研究系統(tǒng)并推導(dǎo)出該系統(tǒng)逃逸速率的解析表達式; 第三部分基于逃逸速率方程推導(dǎo)出駐留時間分布函數(shù)的解析表達式; 第四部分討論不同參數(shù)對駐留時間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)的影響; 第五部分總結(jié)全文.

2 模型及逃逸速率

考慮循環(huán)噪聲驅(qū)動下的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)， 模型可用如下朗之萬方程表示:

當(dāng)非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)只含主噪聲項(即無噪聲循環(huán)項)時， 可簡化為的兩個穩(wěn)定點和一個不穩(wěn)定點. 記表示處在左右勢阱的兩個穩(wěn)定點，為系統(tǒng)的不穩(wěn)定點， 則有

根據(jù)克拉默法則可得由主噪聲引起的粒子逃出左右勢阱內(nèi)的逃逸速率為

3 駐留時間分布函數(shù)

為便于討論， 僅考慮計算粒子在右勢阱的駐留時間分布函數(shù). 由于粒子的逃逸速率具有分段的解析式， 因此可以推導(dǎo)出駐留時間分布函數(shù)的遞歸表達式. 對于，(19)式的解為

將(22)式代入(20)式可得粒子逃出右勢阱的逃逸時間分布函數(shù)的遞歸表達式為

其中Z是歸一化常數(shù)且滿足

4 駐留時間分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析

由于非對稱性的引入， 使得系統(tǒng)左右勢阱差發(fā)生了改變， 且循環(huán)噪聲又具有特殊的統(tǒng)計性質(zhì)， 因此對粒子的躍遷行為會產(chǎn)生一定的影響. 為進一步探討在非對稱性及循環(huán)噪聲影響下駐留時間分布函數(shù)的結(jié)構(gòu)， 針對不同參數(shù)分別從理論和數(shù)值兩方面進行分析.

4.1 非對稱性 的影響

圖 1 駐留時間分布函數(shù)隨非對稱性 的變化(實線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果，且 ) (a) ; (b) ;(c) γ = —0.07Fig. 1. Variation of residence-times distribution function(RTDF) with the asymmetry (the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle line represents the numerical simulation results)， where: (a) ; (b) ; (c) γ =—0.07.

圖 2 勢阱圖 (a) ; (b)Fig. 2. Potential well of : (a) ; (b) γ =—0.07.

4.2 相關(guān)強度的影響

圖 3 分別作為噪聲強度D、循環(huán)滯后時間 和相關(guān)強度 的函數(shù)隨非對稱性 的變化() (a) ε = 0.2， τ = 50; (b) D = 0.1， ε = 0.2;(c) D = 0.1， τ = 50Fig. 3. Variation of which is a function of noise intensity D， relative strength and recycling lag respectively with the asymmetry ( ):(a) ; (b) ; (c) D = 0.1，τ = 50.

4.3 循環(huán)滯后時間 的影響

圖 4 駐留時間分布函數(shù)隨相關(guān)強度 的變化(實線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果， 且) (a) ; (b) ;(c)Fig. 4. Variation of the RTDF with the relative strength ε (the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle represents the numerical simulation results)， where : (a) ;(b) ; (c) .

為進一步研究循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的共振行為， 采用駐留時間分布函數(shù)在處的值進行具體分析. 如圖6所示， 隨著噪聲強度D和相關(guān)強度的改變，出現(xiàn)了極大值，這說明了在循環(huán)噪聲的作用下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象.

圖 5 駐留時間分布函數(shù)隨循環(huán)滯后時間 的變化(實線是從(25)式中得到的理論結(jié)果， 圈線表示數(shù)值模擬結(jié)果，且 ) (a) ; (b) ;(c)Fig. 5. Variation of the RTDF with the recycling lag(the solid line denotes the theoretical results obtained from Eq. (25)， and the circle represents the numerical simulation results)， where : (a) ;(b) ; (c) .

圖 6 隨 D 和 的 變 化 ， 其 中 ，，F(xiàn)ig. 6. Variation of with D and ， where， ， .

5 結(jié) 論

本文主要研究了循環(huán)噪聲驅(qū)動下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)駐留時間分布函數(shù)的計算方法， 數(shù)值模擬結(jié)果驗證了該方法的可行性. 利用具有分段逃逸速率的兩態(tài)模型理論， 推導(dǎo)出了駐留時間分布函數(shù)的分段解析式. 基于此， 分別從理論和數(shù)值模擬的角度分析了不同參數(shù)對駐留時間分布函數(shù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響， 著重說明了在非對稱性的影響下駐留時間分布函數(shù)產(chǎn)生的反饋結(jié)構(gòu): 當(dāng)且取適當(dāng)值時，駐留時間分布函數(shù)呈現(xiàn)出分段指數(shù)衰減現(xiàn)象， 且當(dāng)時， 表現(xiàn)出明顯的間斷現(xiàn)象; 當(dāng)時， 駐留時間分布函數(shù)在處的間斷性幾乎消失且指數(shù)衰減速率加快， 呈現(xiàn)出單調(diào)衰減現(xiàn)象. 以駐留時間分布函數(shù)在處的值進行具體分析， 進一步說明隨著非對稱性的減小， 駐留時間分布函數(shù)的衰減速度加快. 此外， 駐留時間分布函數(shù)在處的值隨著噪聲強度和相關(guān)強度的改變出現(xiàn)極大值， 說明在非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中， 循環(huán)噪聲能夠誘導(dǎo)隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生. 本文研究方法考慮了系統(tǒng)的非對稱性， 更具有實用價值， 該方法可用于計算循環(huán)噪聲驅(qū)動下時滯非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的駐留時間分布函數(shù).