光子增加雙模壓縮真空態在馬赫-曾德爾干涉儀相位測量中的應用*

王帥 眭永興 孟祥國

1) (江蘇理工學院數理學院， 常州 213001)

2) (聊城大學物理科學與信息工程學院， 聊城 252059)

(2020 年2 月4日收到; 2020 年3 月8日收到修改稿)

量子度量學主要是利用量子效應來提高參數估計的精度， 以期突破標準量子極限， 甚至達到海森伯極限. 本文研究了一般光子增加雙模壓縮真空態作為馬赫-曾德爾干涉儀的探測態時， 在何種情況下能夠提高待測相位的測量精度. 根據量子Fisher信息理論， 盡管在探測態具有相同的平均光子數這一約束條件下， 對稱的和非對稱的光子增加操作并不能提高相位的測量精度. 但若是在給定初始壓縮參數的情況下， 對稱的和非對稱的光子增加操作卻能夠增強相位的測量精度. 另外， 基于宇稱測量的研究結果表明， 對于對稱光子增加雙模壓縮真空態， 只有當待測相位趨于零時， 宇稱測量才是最優測量. 而對于非對稱光子增加雙模壓縮真空態， 宇稱測量并不是最優測量方案.

1 引 言

相位測量是量子精密測量領域中的核心內容，其測量精度主要依賴于探測態、相位的積累方式以及測量方案， 其中探測態的選擇決定了相位測量精度的最終極限. 早在20世紀80年代， Caves[1]就提出了利用壓縮真空態作為馬赫-曾德爾干涉儀(MZI)的探測態來提高相位的測量精度， 以期超越標準量子極限 (SNL)， 即 Δφ=1/(是待測未知相位，是探測態的平均光子數). 隨后， 諸如粒子數態[2-5]， N00N態[6]以及糾纏相干態[7]等這些非高斯型的非經典量子態在量子度量學中也得到了廣泛的研究. 這些非經典態作為MZI的探測態，測量精度不僅可以超越SNL極限， 甚至可以達到海森伯極限 (HL)[3，8].

近幾十年來， 非高斯型量子態的制備及其非經典性質的研究一直是量子光學領域中的一個熱點，并取得了極大進步[9-14]. 特別是非高斯型連續變量量子態可以彌補高斯型量子態和高斯局域操作在量子信息處理中的不足， 不僅成為改善量子隱形傳態[15-18]、量子密鑰分發[19，20]等量子信息技術的有效載體， 而且在相位的精密測量中也逐漸引起了人們的研究興趣[21-27]. 譬如， Birrittella和Gerry[22]在2014年根據宇稱測量方案[28]研究發現， 相干態和光子扣除壓縮真空態的直積態作為MZI的探測態， 在給定相干態的振幅和壓縮態的壓縮參數的情況下， 光子扣除操作這一典型的非高斯操作可以進一步提高相位的測量精度. 類似地， 光子扣除和光子增加單模壓縮真空態注入到非線性SU(1， 1)光學干涉儀的一端， 光子增加或扣除操作同樣可以提高相位的測量精度[23，24]. 這些研究結果與Lang和Caves[29]的工作并不矛盾， 根據量子Fisher信息理論， 他們證明的是在探測態都具有相同的平均光子數這一約束條件下， 干涉儀的一端輸入相干態， 另一端最優輸入態是壓縮真空態. 而在給定相干態的振幅和壓縮態的壓縮參數的情況下， 執行光子扣除或增加操作后量子態的平均光子數將會增加[30].因此， 干涉儀的探測態所含有的平均光子數也就增加了， 相應的相位測量精度也得到了提高. 基于此，考慮相干態和光子增加或扣除壓縮真空態作為MZI的探測態時， 根據量子Fisher信息理論和宇稱測量方案， Wang等[26]也詳細地研究了光子增加和光子扣除這兩種非高斯操作在量子相位精密測量中的性能表現. 結果表明， 即使在相同的平均光子數這一約束條件下， 光子扣除或增加操作在最佳相位測量值(0)時并不能提高待測相位的測量精度， 但是， 在待測相位適當偏離最佳測量值()時， 光子增加或扣除操作仍然可以提高相位的測量精度， 這是由于這兩種非高斯操作使得測量精度隨待測相位的變化更為穩定[26]. 最近，Zhong等[31]進一步指出， 基于宇稱測量時， 光子扣除或增加在相位偏離最佳測量值時， 所帶來的測量精度的提高是由宇稱測量在此處并不是最優測量所引起的.

另一方面， Anisimov等[32]在2010年發現雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 通過宇稱測量方案[28]， 相位測量精度可以達到HL極限. 然而，在實驗上制備大光子數的雙模壓縮真空態是困難的. 譬如， 在實驗上可穩定制備的雙模壓縮真空態所含有的平均光子數大約是4個[33]， 相應的壓縮參數為. Gerry和 Mimih[34]還發現， 當雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 所得到的相位測量精度相對于待測相位本身的大小變化很不穩定. 而且， 當待測相位稍微偏離最佳測量值時，相位的測量精度會隨光子數的增加而迅速變差， 甚至低于SNL極限. 為了克服這些問題， 2012年， 基于宇稱測量方案， Carranza和Gerry[21]利用對稱光子扣除雙模壓縮真空態(量子態的兩個模扣除相同的光子數)來增強相位測量精度， 推廣到非對稱光子扣除雙模壓縮真空態的情況. 研究發現， 在給定初始壓縮參數的情況下， 非對稱光子扣除操作也能提高基于量子Fisher信息的量子Cramér-Rao界限(QCRB)[35]這一最終相位測量的精度極限.與對稱的光子扣除操作相比， 在給定初始的壓縮參數下， 基于量子Fisher信息和宇稱測量的研究結果表明， 對稱的光子增加操作可以更好地增強相位的測量精度[25]. 在實驗上， 光子扣除操作可以由一塊高透射率的分束器來實現[9]. 最近， 光子扣除單模、雙模壓縮真空態在實驗上已經成功制備出來[12-14]. 光子增加操作在實驗上實現要困難一些，它可以由非線性晶體中的非簡并參量下轉換過程來實現[10，11]. 目前， 利用該實驗方案， 單光子增加相干態和熱態也已經在實驗上制備出來[10，11]. 近年來， 由于光子增加或扣除雙模壓縮真空態在量子信息處理中的潛在應用， 它們的一些非經典性質， 譬如糾纏特性、光子數的亞泊松分布、壓縮性質等得到了詳細的研究[15-18]. 隨著量子態調控技術的進步， 光子增加雙模壓縮真空態也許在不久的將來也能在實驗上予以實現. 因此， 從理論上研究光子增加操作在量子相位精密測量中的應用具有一定意義. 從實驗制備的角度來看， 相對于對稱的雙模光子增加操作， 非對稱的光子增加操作也許更容易一些， 且更具普遍意義. 因此， 本文將考慮一般的光子增加雙模壓縮真空態(包括對稱的和非對稱的光子增加情況)作為MZI的探測態， 研究在何種情況下， 一般的光子增加操作可以提高相位的測量精度.

本文首先簡要介紹一般的光子增加雙模壓縮真空態， 隨后基于量子Fisher信息理論， 討論光子增加操作對待測相位QCRB的影響， 接著根據宇稱測量方案討論一般光子增加雙模壓縮真空態在量子相位測量中的性能表現， 以及分析宇稱測量能否達到相應的QCRB， 它是否是最優測量方案.

2 一般的光子增加雙模壓縮真空態

式中k和l是光子增加的個數，為歸一化常數

最近的研究表明， 除了Fock態以外的其他量子態增加n個光子后， 誘導產生的量子態所增加的平均光子數將大于n[30]. 這一看似矛盾的結果是由于光子增加是一種概率性的非高斯操作， 成功產生的光子增加量子態的光子數分布與原來的量子態已經不同[30]. 在量子光學中， 光子扣除是另外一種概率性的非高斯操作. 如果初態的光子數分布是超泊松分布， 光子扣除操作執行于該量子態后， 它的平均光子數同樣可以明顯增加. 在圖1中， 當雙模壓縮真空態的兩個模分別增加或扣除不同的光子數()時， 給出了相應的光子增加或扣除雙模壓縮真空態的平均光子數隨壓縮參數z的變化. 其中， 圖 1(b)是文獻 [35]的結果. 如圖 1(a)所示， 與雙模壓縮真空態相比， 可以明顯地看出光子增加雙模壓縮真空態增加的光子數大于的值. 對比圖1(a)和圖1(b)可以看出， 在給定相同的()取值和初始壓縮參數z時， 對稱的光子增加操作能更有效地提高量子態的平均光子數， 非對稱的光子增加操作次之， 而對稱的光子扣除操作在增加量子態的平均光子數方面的效果最差. 自然地， 在壓縮參數為零()時， 光子增加雙模壓縮真空態就退化為雙模Fock態， 即. 有趣的是， 對雙模壓縮真空態的單獨一個模增加或扣除k個光子數， 結果態都具有相同的平均光子數. 這是因為對雙模壓縮真空態的一個模增加或扣除k個光子數后， 所得到的非高斯態是一樣的， 都是雙模壓縮粒子數態[17，18]. 光場量子態所含有的光子數是量子精密測量中的一個重要參數， 下面將從理論上研究光子增加雙模壓縮真空態在量子精密測量中的性能表現.

3 MZI的量子Fisher信息

MZI是一個四端口的光學干涉儀. 一般情況下， 平衡MZI主要由兩塊50∶50的分束器、兩塊相移器和兩塊反射鏡組成. 探測態先經過第一塊50∶50的分束器(其變換由幺正算符來描述)， 再經過相移器， 干涉儀的兩條光路所產生的相位差由幺正算符 e xp[-iφJ?3] 來描述， 然后再經過第二塊50∶50的分束器(由幺正算符exp[iπJ?1/2]來描述)后輸出， 最后進行測量. 上面的三個演化可由一個幺正算符描述[37]

下面將擴展文獻[25]的工作， 本文研究當一般的光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時，相應的量子Fisher信息. 對于某一個探測態， 最終的測量極限由基于量子Fisher信息的QCRB所限定[38，39]， 即

顯然， 對于給定相同的壓縮參數z， 單模光子增加操作也可以提高量子Fisher信息. 另外， (12)式與文獻[35]中的(12)式是一樣的. 這是因為對雙模壓縮真空態的一個模執行k個光子增加操作與對它的另一個模執行k個光子扣除操作效果是一樣的， 結果態都是雙模壓縮粒子數態[17，18]. 另一方面，在限定總的平均光子數的情況下， 光子增加操作是否也能提高量子Fisher信息? 根據量子態的平均光子數， (12)式還可以表示成

此即文獻[32]得到的結果.

圖2和圖3顯示了光子增加雙模壓縮真空態和光子扣除雙模壓縮真空態分別作為MZI的探測態時， 相應QCRB在()取不同值時的變化情況. 為了便于比較光子增加或扣除操作在量子精密測量中的性能表現， 在圖2(b)和圖3(b)直接給出了文獻[35]的結果. 對于一個給定的初始壓縮參數z， 光子增加和光子扣除操作都能夠提高QCRB，如圖2所示. 但在給定的和與初始壓縮參數z時， 對稱的光子增加操作能更好地提高QCRB，其次是非對稱的光子增加和扣除操作， 而對稱的光子扣除操作所提供的QCRB最差， 這也許是因為對稱的光子增加操作能夠更好地提高量子態的平均光子數， 如圖1所示. 另一方面， 若考慮探測態都具有相同的平均光子數， 光子增加或扣除都不能提高QCRB， 且隨著光子增加或扣除數目的增加，相位的測量精度會變差， 如圖3所示. 比較圖3(a)和圖3(b)還可以看出， 隨著探測態的平均光子數變大， 光子增加雙模壓縮真空態與光子扣除雙模壓縮真空態所提供的QCRB幾乎是一樣的. 也就是說， 隨著這兩種非高斯態的平均光子數的增加， 二者在量子相位測量中的效果近似是等效的， 這一結果與文獻[31]的結果相類似. 因此， 根據以上分析可見， 只有在給定初始壓縮參數的情況下， 光子增加操作才能增強QCRB. 從圖3可以看出， 對于一般情況， 單模光子增加操作確實會削弱量子Fisher信息.

圖 2 相位測量精度的最終極限 隨壓縮參數z的變化曲線 (a)光子增加雙模壓縮真空態; (b)光子扣除雙模壓縮真空態; 不同顏色類型的曲線表示對雙模壓縮真空態執行不同光子數( )的增加或扣除操作Fig. 2. Ultimate limit of the phase sensitivity as a function of the squeezing parameter z : (a) The photon-added two-mode squeezed vacuum state; (b) the photon-subtracted two-mode squeezed vacuum state. Different color curves correspond to add to or subtract from a two-mode squeezed vacuum state with different photon numbers ( ).

圖 3 相位測量精度的最終極限 隨平均光子數的變化曲線 (a)光子增加雙模壓縮真空態; (b)光子扣除雙模壓縮真空態; 不同顏色類型的曲線表示對雙模壓縮真空態執行不同光子數( )的增加或扣除操作; 最上面的黑色虛線表示SNL極限， 而下面的黑色虛線則表示HL極限Fig. 3. Ultimate limit variation of the phase sensitivity with the mean photon number: (a) The photon-added two-mode squeezed vacuum state; (b) the photon-subtracted two-mode squeezed vacuum state. Different color curves correspond to add to or subtract from a two-mode squeezed vacuum state with different photon numbers ( ). The upper black dashed line denotes the SNL limit， while the below black dashed line represents the HL limit.

4 宇稱測量和相位測量靈敏度

現在已經知道， 許多非經典態作為MZI或SU(1， 1)非線性干涉儀的探測態時， 宇稱測量方案在待測相位取某些特殊值時可以達到量子精密測量的 QCRB[3，4，6，7，41-45]. 對于路徑對稱的量子態， Seshadreesan等[43]從理論上證明了在待測相位取某些特殊值時(這些取值稱為相位最優測量值)， 宇稱測量方案能夠達到QCRB. 本文就采用宇稱測量方案來研究一般的光子增加雙模壓縮真空態作為MZI探測態時的相位測量精度， 并分析QCRB能否達到. 宇稱測量方案對干涉儀內部的光子損失是敏感的. 簡單起見， 這里僅考慮無光子損耗的宇稱測量方案.

在文獻[21， 25]的工作中， 對稱光子扣除或光子增加雙模壓縮真空態均為雙模孿數態(兩個模的光子數相等)的疊加態. 因此， 他們可以直接借助雙模孿數態作為MZI探測態時的宇稱測量信號[3]來研究對稱的光子扣除或光子增加操作對待測相位測量精度的影響. 現在考慮的是一般的光子增加雙模壓縮真空態， 它不再是雙模孿數態的疊加態，而是一般雙模數態的疊加態， 故不能直接利用文獻[3]的結果. 本文將借助壓縮態的相干態表象表示， 直接計算宇稱測量的信號值(見附錄A). 通過宇稱測量來獲得相位的信息， 實際上就是在干涉儀的一個輸出端測量光子數的奇偶情況， 即計算宇稱算符在輸出量子態中的期望值. 譬如， 選擇在MZI的a模輸出端口進行光子數的宇稱測量. 宇稱算符在相干態表象下可表示為[46]

因此， 若已知干涉儀輸出量子態的顯式， 原則上就可以由 (16)式計算宇稱算符的期望值了， 進而由誤差傳播理論給出相位測量的精度.

對于一般的光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態， 經過繁瑣的計算后， 最終可以得到宇稱算符在輸出量子態下的期望值(見附錄A)

由變量變換z2=/(+2) ， 可直接得到文獻[32]的結果. 為了便于分析， 與文獻[32]類似， 在(17)式中也引入了一個額外相位. 根據(17)式， 在的情況下， 容易證明兩個等式〈Πa(0)〉|k=l=1以及〈Πa(0)〉|k/=l=0 均成立. (17)式是本文的第2個重要結果， 根據該式可研究基于宇稱測量的相位分辨率和測量精度. 特別地， 當， (17) 式還可以寫成與勒讓德多項式有關的簡潔形式:

式中已利用勒讓德多項式的產生函數[47]

根據(17)式， 圖4反映了光子增加操作對宇稱探測信號的影響. 正如文獻[25]指出的一樣， 對于對稱光子增加雙模壓縮真空態，的峰值在處隨著k和l的增加而變窄， 這表明在給定初始壓縮參數的情況下， 對稱的光子增加操作可以提高相位測量的分辨率. 但對于非對稱的光子增加操作， 在處， 有. 此外， 由圖 4還可以看出，的峰值對應的待測相位還與光子增加操作數k和l有關.

圖 4 對于給定 和一些不同的( )值， 宇稱測量的信號值隨待測相位的變化曲線Fig. 4. Plot of the signal values of the parity detection against the phase shift for and some values of ( ).

接下來研究宇稱測量方案的相位測量精度. 由誤差傳播理論， 相位測量精度由下式確定:

特別地， 當k=l=0 時， 容易得到雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 基于宇稱測量方案的相位測量精度為[32]

式中壓縮(參數與)量子態的平均光子數的關系為z2=/+2.

下面考慮宇稱測量方案給出的相位測量精度隨探測態的平均光子數的變化情況. 在時， 圖6給出了當光子增加雙模壓縮真空態的k和l取不同值時， 基于宇稱測量的相位測量精度隨平均光子數的變化曲線. 圖6(a)表明， 隨著取值的增加， 對稱光子增加雙模壓縮真空態所提供的相位測量精度會越來越差. 圖6(b)還表明，非對稱光子增加雙模壓縮真空態提供的相位測量精度幾乎完全一樣. 由此可見， 一方面圖6表明， 在相同平均光子數這一約束條件下， 與雙模壓縮真空態相比可以看出， 對稱和非對稱光子增加雙模壓縮真空態并不能提高相位的測量精度; 另一方面， 數值證明對稱光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 宇稱測量在待測相位φ→0 時， 能夠達到 QCRB， 是最優測量， 如圖 3 和圖 6(a)中l=1，2時的曲線所示. 但是， 對于非對稱光子增加雙模壓縮真空態， 數值上可以證明即使在相位的最優測量點， 宇稱測量也不是最優測量， 如圖3和圖6(b)中時的曲線所示.

圖 5 對于光子增加雙模壓縮真空態作為干涉儀的探測態， 當 ( )取不同值時， 隨待測相位 的變化 (a)給定初始壓縮參數 ; (b)給定相同的平均光子數Fig. 5. Phase sensitivity as a function of the phase shift for some values of ( ) when the photon-added two-mode squeezed vacuum state is considered as interferometer states: (a) For a given initial squeezing parameter; (b) for a given mean photon number .

最后， 為了說明對于非對稱光子增加雙模壓縮真空態， 宇稱測量即使在相位最優測量值也不是最優測量， 在圖7中分別畫出了基于宇稱測量和量子Fisher信息得到的相位測量精度隨壓縮參數的變化曲線. 由圖7可以看出， 在給定初始壓縮參數z時， 雖然隨著非對稱的光子增加操作(k，l)取值增加， 可以提高相位的測量精度， 但宇稱測量在待測相位φ→0 處給出的相位測量精度并不能到達QCRB. 那么， 其他的一些常用的相位測量方法，例如強度測量或平衡零拍測量[28]， 是否可以達到基于量子Fisher信息的， 與文獻[35]類似，可以證明當一般的光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 采用光強測量和平衡零拍測量更不合適. 比如， 依據正交分量測量的平衡零拍測量， 正交分量(如坐標算符)在輸出態下的信號值為零， 根本沒有相位的任何信號[48]， 而由觀測量()提供的相位測量精度在處是發散的， 這與文獻[49]的工作類似.

圖 6 在 時， 對于光子增加雙模壓縮真空態的( )不同取值， 相位測量精度 隨平均光子數的變化曲線 (a)對稱光子增加的情況( ); (b)非對稱光子增加的情況( ); 最上面的黑色虛線表示SNL極限，下面的黑色虛線則表示HL極限Fig. 6. Plots of the phase sensitivity as a function of the mean photon number of the photon-added two-mode squeezed vacuum state for some different values of ( ) at: (a) Symmetric photon-added two-mode squeezed vacuum state ( ); (b) asymmetric photon-added twomode squeezed vacuum state ( ). The upper black dashed line denotes the SNL limit， while the below black dashed line represents the HL limit.

圖 7 和給定不同( )取值時， 相位測量精度隨初始壓縮參數z的變化 (a)基于宇稱測量得到的相位測量精度; (b)基于量子Fisher信息得到的最終測量界限Fig. 7. Phase sensitivity as a function of the initial squeezing parameter z for different values of ( ) at :(a) The phase sensitivity obtained by the parity detection;(b) the ultimate limit of phase sensitivity obtained by the quantum Fisher information.

因此， 以上量子Fisher信息理論的結果表明，只有在給定初始壓縮參數z的情況下， 光子增加操作才可以增強相位的測量精度. 而在給定相同平均光子數這一約束條件時， 光子增加操作則不能提高相位的測量精度. 當采用宇稱測量這一具體的相位測量方案時， 研究結果表明， 對稱光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態時， 宇稱測量在時是一種最優測量. 但對于非對稱光子增加雙模壓縮真空態， 宇稱測量即使在相位最優測量值處也不最優測量.

5 結 論

本文研究了一般的光子增加雙模壓縮真空態作為MZI的探測態， 以及它在相位測量精度中的性能表現. 一方面根據量子Fisher信息理論， 研究結果表明: 在給定探測態具有相同的平均光子數這一約束條件下， 與雙模壓縮真空態相比， 光子增加雙模壓縮真空態并不能提高相位的測量精度. 但若是給定初始壓縮參數z， 與雙模壓縮真空態相比，對稱和非對稱光子增加操作都能增強QCRB， 只是對稱的光子增加操作效果更好一些. 這也許是由于對稱的光子增加操作可以更好地提高雙模壓縮真空態的平均光子數的緣故. 因此， 一般的光子增加雙模壓縮真空態在量子度量學中具有一定的應用價值. 另一方面， 根據宇稱測量這一具體的測量方案， 理論結果表明: 對于給定初始的壓縮參數，對稱的光子增加操作在相位最優測量值附近時能夠提高相位的測量精度， 并且能夠達到QCRB. 但對于非對稱光子增加雙模壓縮真空態， 宇稱測量卻不能達到QCRB. 因此， 對于一些非經典態作為MZI的探測態， 宇稱測量并不總是一種最優測量.

附錄A 宇稱算符在MZI輸出態下的期望值

為了計算的方便， 本文利用雙模壓縮真空態在相干態表象下的展開式， 即

那么， 一般的光子增加雙模壓縮真空態可以表示成

當光子增加雙模壓縮真空態輸入到MZI進行傳播時， 根據(6)式和(7)式， 輸出量子態可以寫成

相應地， 輸出態的左矢為

把(A3)式和(A4)式代入到(16)式， 并利用數學積分公式(Puri R R 2001Mathematical Methods of Quantum Optics(Berlin: Springer-Verlag) pp267—270)