超強耦合電路量子電動力學系統中反旋波效應對量子比特頻率移動的影響*

陳臻 王帥鵬 李鐵夫 游建強

1) (北京計算科學研究中心量子物理與量子信息研究部， 北京 100193)

2) (浙江大學物理系， 杭州 310027)

3) (清華大學微電子學研究所， 量子信息前沿科學中心， 北京 100084)

4) (北京量子信息科學研究院， 北京 100193)

(2020 年3 月31日收到; 2020 年4 月24日收到修改稿)

從實驗上研究了四結磁通量子比特與多模共面波導諧振腔構成的超強耦合電路量子電動力學系統. 通過傳輸譜測量和數值擬合， 確定量子比特與腔第一模式的耦合強度已達到0.1倍諧振腔頻率， 進入了超強耦合區域; 通過色散讀出方法得到了系統的能譜， 并通過增加探測場光子， 從能譜上得到了量子比特頻率隨探測光子的位移. 這種位移不僅包含旋波項的貢獻， 也包含了反旋波項的顯著貢獻， 證實我們所實現的超強耦合系統是一個良好的研究量子拉比模型的實驗平臺， 它在量子技術的諸多方面有潛在的應用， 如量子模擬、超快量子邏輯門、糾纏態制備、量子比特保護等.

1 引 言

超導量子比特系統是實現量子計算機的主要候選方案之一[1-4]， 同時也是研究電路量子電動力學的良好平臺[5-9]. 根據約瑟夫森耦合能EJ和充電能EC比值的不同， 超導量子比特主要可以分為三種， 分別是電荷量子比特[10]、磁通量子比特[11]和相位量子比特[12，13]. 為了壓制電荷噪聲帶來的退相干， 人們在磁通量子比特的基礎上發展出了電容并聯磁通量子比特[14，15]， 在電荷量子比特的基礎上發展出了傳輸子量子比特[16]和Xmon量子比特[17].這些新一代的超導量子比特在相干性方面有很大的提高， 使得超導量子比特系統在大規模量子計算與量子模擬方面成為強有力的競爭者[18-22].

但是， 傳輸子和Xmon也有自身的局限性. 電容的增加導致這兩種量子比特非諧性減少， 使得他們不是一個良好的二能級系統. 與傳輸子和Xmon相比， 電容并聯磁通量子比特非諧性好一些[15]， 但在某些應用方面也還不夠. 如在超導量子比特與微波腔的耦合處于超強、甚至深強耦合區域時[23-26]，只有具有非常好的非諧性才能夠很好地量子模擬Rabi模型. 這時常規的磁通量子比特非諧性較大，具有優勢[27]. 另外， 磁通量子比特還有如下優點:耦合方式通常為磁偶極相互作用， 可以與NV色心等天然自旋系綜直接耦合， 用于量子態存儲[28，29].

本文實驗研究了四結磁通量子比特與共面波導諧振腔構成的電路量子電動力學超強耦合系統.在物理性質上， 四結磁通量子比特與通常的三結磁通量子比特類似[30，31]， 但樣品制備上更為方便[30].通過色散讀出， 測試了系統的能譜， 觀測到了磁通量子比特隨測量光子數增加的頻率移動. 在所實現的超強耦合系統中， 實驗測量與理論分析顯示， 上述頻率移動除了包含旋波項產生的交流斯塔克位移， 還存在明顯的由反旋波項導致的布洛赫-西格特位移， 表明本文實現的超強耦合系統需由包含反旋波項的Rabi模型才能很好地描述.

2 超強耦合電路量子電動力學系統

2.1 理論模型

本文研究的超強耦合電路量子電動力學系統包含一個四約瑟夫森結磁通量子比特與一個多模超導共面波導諧振腔， 描述這種耦合系統的哈密頓量為

哈密頓量(1)式是寫在磁通量子比特電流態表象下. 如果對哈密頓量(1)式做表象變換， 在量子比特能量表象下時， 可以得到

如果諧振腔頻率與量子比特頻率之間的失諧量很大(|ωq-ωn|?g)， 也就是在所謂的色散區域， 可以將哈密頓量(2)式通過施里弗-沃爾夫變換對角化， 得到有效哈密頓量

2.2 實驗系統

實驗系統如圖1(a)所示， 樣品置于一臺He3He4稀釋制冷機的最低溫區， 工作時該溫區的溫度約為20 mK. 樣品處于一個小超導磁體中， 磁體可以產生最大約10 G (1 G = 10—4T)的磁場. 主要測試儀器包括一臺矢量網絡分析儀和一臺微波信號源， 將矢量網絡分析儀輸出的信號記為探測信號，微波信號源輸出記為驅動信號.和經過一個功率合成器混合進入制冷機內部， 再經過逐級衰減后進入樣品; 混合信號與樣品相互作用后再經過隔離器、放大器返回網絡分析儀， 網絡分析儀通過比較返回信號相比于信號幅度和相位的變化，就可以得到樣品的信息.

圖 1 實驗裝置 (a)測量系統， 其中信號由網絡分析儀和微波源發出， 經過衰減合成后進入稀釋制冷機內部， 樣品處在制冷機的最低溫區， 測試時溫度為20 mK; (b)共面波導諧振腔示意圖， 磁通量子比特處于諧振腔中心， 黃色、藍色曲線分別為第一、三模式電流分布; (c)磁通量子比特掃描電子顯微鏡圖像Fig. 1. Experimental setup: (a) Measurement system: signals from both the PNA and the PSG generator are combined and attenuated before entering the dilution refrigerator; the sample is placed in the sample chamber of the refrigerator whose working temperature is 20 mK; (b) the schematic of the coplanar-waveguide resonator， with a four-junction flux qubit located at the center of the resonator; yellow and blue curves are current distributions of the first and third modes of the resonator， respectively; (c) the scanning electron microscope images of the flux qubit.

樣品為多模共面波導諧振腔與量子比特耦合系統. 其中圖1(b)為共面波導諧振腔示意圖， 中心線兩側有兩個“缺口”， 滿足諧振頻率的微波會在這兩個“缺口”間形成駐波. 量子比特被制備在諧振腔的中心位置， 諧振腔中的磁場分布如圖1(b)中黃線(第一模式)、藍線(第三模式)所示. 由于第二模式在中心位置磁場為0， 而磁通量子比特與諧振腔光子間耦合方式為磁偶相互作用， 所以該量子比特只與諧振腔第一模式和第三模式有耦合. 圖1(c)為量子比特樣品的掃描電子顯微鏡圖像， 該量子比特包含四個約瑟夫森結， 其中三個結是相同的， 左上角是一個小結， 面積約為其他三個結的1/3 (見圖1(c)左下小圖). 磁通量子比特與諧振腔的耦合強度主要由他們之間的互感決定，，其中M為量子比特和諧振腔的互感，為第n個模式的真空電流，為量子比特的持續電流. 在這里通過增加磁通量子比特與諧振腔的共用波導線長度來增強耦合， 該共用波導線長度為34.8 μm.

3 實驗結果和理論分析

前文分析過， 磁通量子比特主要有兩個參數，分別是能量偏置和隧穿能Δ， 其中為磁通量子比特持續電流， 和Δ一樣由制備條件所確定. 磁通量子比特工作在外加磁通為N/2(N= 1， 2， 3， ··)個磁通量子附近， 而根據我們的制備工藝參數， 隧穿能， 諧振腔諧振頻率GHz. 實驗上， 通過調節外加磁通使磁通量子比特與諧振腔第三模式共振， 觀測真空Rabi劈裂. 通過探測到的真空Rabi劈裂， 可以尋找量子比特的工作磁場位置并確定量子比特的基本信息. 圖2(a)給出用網絡分析儀測試腔第三模式傳輸譜隨外加磁場的變化， 可以看到兩個清晰的拉比劈裂. 同時還測試了第一模式隨磁場的變化， 見圖2(b). 雖然第一模式與磁通量子比特始終不共振， 但由于他們之間有很強的色散相互作用，諧振峰同樣受到了明顯的影響. 這里需要說明的是， 在圖2中將橫坐標磁場換算成了外加磁通量偏置， 換算方法是根據能量偏置的周期性， 測量相鄰的兩個拉比劈裂， 這兩個相鄰拉比劈裂對應的電流就是產生一個磁通量量子所需的電流.

從圖2還可以得到量子比特的其他信息. 通過數值求解哈密頓量(2)式， 對圖2做了擬合， 結果如圖中紅色虛線所示. 通過擬合曲線可以得到，Ip=265 nA ，Δ/2π =6 GHz ，磁通量子比特與第三模式耦合常數g3/(2π)=521 MHz ， 與第一模式耦合常數g1/(2π)=306 MHz .可以看到， 第一模式耦合常數滿足g1/ω1≈0.1 ， 達到了超強耦合區域.這里需要注意的是， 真空Rabi劈裂的測量須保證腔真空的實現， 也就是腔內平均光子數小于1. 當腔內光子數過多時， 得到的耦合常數會偏大， 這是因為根據哈密頓量(2)式， 測量得到的為諧振腔中的平均光子數.在圖2的測試中， 探測信號到達樣品的功率分別為p3=-157 dBm ，p1=-157 dBm ， 可由[23]計算得出平均光子數， 代入實驗系統參數ω3/(2π)= 9.42 GHz ，κ3/(2π)=18.01 MHz ，ω1/(2π)=3.14 GHz ，κ1/(2π)=2.07 MHz ， 可得n3=0.0018 ，n1=0.046 . 顯然， 兩次測量的平均光子數都遠小于1. 除了探測場光子，熱光子也可能會影響測試結果. 熱光子平均光子數可由玻色愛因斯坦統計規律計算得到，nthermal=1/(-1)， 其中為玻爾茲曼常數，T為溫度. 代入測試溫度20 mK， 得到腔第三模式附近熱光子為nthermal3=1.49×10-10， 腔第一模式熱光子為nthermal1=5.38×10-4. 由此可見在本文實驗中，熱光子的影響也可以忽略不計， 因此圖2傳輸譜測量得到的耦合常數是有效的.

為了得到哈密頓量(3)式描述的交流斯塔克和布洛赫-西格特效應， 采用色散讀出方法來測量系統的能譜. 這種測試方法的原理如下: 如果把哈密頓量(3)中的

可以發現腔頻率會根據量子比特狀態的不同而改變， 變化的大小為個原理， 可以通過探測腔場的變化得到量子比特能譜. 具體的測試方法如下: 將固定在諧振腔的諧振頻率處， 同時使用微波源施加一個掃描信號，當掃描信號頻率與量子比特頻率共振時， 量子比特狀態改變， 導致腔諧振頻率發生變化， 這時的幅度和相位也會發生變化.

圖 2 系統傳輸譜隨磁通量偏置的變化 (a)腔第三模式傳輸譜隨磁通量偏置的變化; (b)腔第一模式傳輸譜隨磁通量偏置的變化; 圖中擬合紅色虛線為哈密頓量(2)式數值解的結果Fig. 2. The transmission |S21| as a function of the flux bias:(a) The transmission |S21| of the third mode of the resonator as a function of the flux bias; (b) the transmission |S21|of the first mode of the resonator as a function of the flux bias. Red dashed curves are the fitting results numerically obtained from the Hamiltonian (2) equation.

圖3是用腔第一模式色散讀出得到的能譜圖.圖中黑色箭頭所示的是由于諧振腔模式之間的交叉克爾效應導致的諧振頻率變化， 他們對應的頻率分別為腔第一、二、三模式. 拋物線型曲線對應的是磁通■量子比特基態到激發態的躍遷頻率， 大小為. 根據圖2參數， 對圖3中的譜線做了數值擬合， 結果見圖中紅色虛線. 圖3中除了量子比特本身的譜線， 還可以看到量子比特的邊帶躍遷. 這種邊帶躍遷是反旋波項和驅動場共同作用的結果， 增加驅動場的功率會看到更高階的邊帶躍遷[26].

圖 3 腔第一模式測量的系統能譜隨外加磁通偏置的變化， 紅色擬合虛線代表量子比特基態到激發態躍遷頻率，測量時腔內的平均光子數為nˉ1=4.7×10-3Fig. 3. The spectrum measured using the first mode of the resonator as a function of the flux bias. The red dashed curve is the numerical result for the qubit transition and the average photon number in the resonator is 4.7 ×10—3.

對于量子比特頻率位移的測量， 選擇將外磁場固定在信噪比較好的量子比特頻率位置， 用諧振腔第一模式做能譜測量. 根據之前的分析， 量子比特的頻率會隨著光子數的增加而增加， 通過增加探測信號的輸出功率的方法來不斷增加腔內光子數. 隨著腔內光子數越來越多， 如圖4所示， 量子比特的頻率發生了顯著的變化， 變化幅度約為. 這種頻率變化產生的根源是哈密頓量(3)式中的

項， 由于本文使用諧振腔第一模式做測量， 所以此時只需要考慮第一模式的光子， 即

另外需要注意的是， 實驗數據為一系列不等間距的點， 造成這些現象的原因如下: 首先， 實驗所用的信號源輸出功率不是線性的， 而是dBm單位. 二者換算方法為PdBm=10log10(PLinear/1 mW) ， 式中PdBm是以dBm為單位的功率值，PLinear是以mW為單位的功率大小. 其次， 在實驗中以2.5 dBm為間隔增加腔內光子數， 將這些數據轉換成線性功率后， 它們會變成不等間距的數據點， 而且隨著數據的增大， 間隔會以指數型增加. 另外在圖4中， 在低光子數時， 測得信號的信噪比也相對較低， 導致數據浮動較大. 隨著光子數增加， 信號的信噪比也增加， 浮動隨之變小.

根據以上的分析， 使用圖2中得到的參數對圖4的結果進行了擬合， 結果見圖4中紅色直線，這條擬合線段只包括實驗參數， 不含自由擬合參數. 其中， 旋波項貢獻的交流斯塔克位移28.0 MHz×2π， 反旋波項貢獻的布洛赫-西格特位以看出， 量子比特隨腔光子數的頻率移動和我們的理論分析符合得較好. 可以看出， 除了交流斯塔克位移， 布洛赫-西格特位移成分也很重要， 表明在我們的耦合系統中， 反旋波項的作用已不能忽略. 作為對比， 圖4中還畫了只包含交流斯塔克位移的圖線， 見圖中藍色虛線. 可以看出由反旋波項引起的布洛赫-西格特位移必須考慮進去， 否則理論與實驗結果明顯不符.

圖 4 量子比特頻率隨光子數的變化， 紅色實線表示包含交流斯塔克和布洛赫-西格特效應的擬合曲線， 藍色虛線只包含交流斯塔克效應Fig. 4. The qubit transition frequency as a function of the average photon number. The red solid curve denotes the simulation results when both the ac Stark and Bloch-Siegert shifts are included. The blue dashed curve denotes the simulation results when only the Bloch-Siegert shift is included.

4 結 論

本文從實驗上研究了四結磁通量子比特和共面波導腔構成的電路量子電動力學系統. 通過合理地設計樣品， 實現了磁通量子比特與共面波導腔的超強耦合， 其中磁通量子比特和諧振腔第一模式耦合強度達到了腔諧振頻率的1/10. 通過色散讀出測量了系統的能譜， 并通過增加腔內光子數從能譜上觀測到了量子比特的頻率位移. 該頻率移動除了包括交流斯塔克位移外， 還包含由反旋波項引起的布洛赫-西格特位移. 實驗測量與理論分析顯示， 由反旋波項引起的布洛赫-西格特位移與交流斯塔克位移一樣， 是同等重要的， 表明我們實現的超強耦合系統是一個良好的研究量子拉比模型的實驗平臺， 它在未來量子技術的諸多方面有潛在的應用，如量子模擬[32]、超快量子邏輯門[33]、糾纏態制備[34]、量子比特保護[35]等.