關于煤礦安全檢測與控制的數學模型

陳秀武

（蘭州文理學院傳媒工程學院，甘肅 蘭州 730000）

1 符號說明

符號說明：

l-指采煤工作面到出風口的距離

l1-風巷口到出風口的距離

q (x )-單位時間內通過x ＞0 出的瓦斯量（或煤塵量）

ρ( x) -表示x 處瓦斯（或煤層的線密度）

u-表示煤層工作面的移動速度

u (x )-表示t 時單位時間巷道中瓦斯的濃度

w(x )-表示t 時單位時間巷道中煤塵的濃度

v-表示回風巷中的風速即單位時間的排風量

w0-瓦斯的平均線密度

b-巷道側壁對瓦斯的吸附率

b'-巷道側壁對煤塵的吸附率

m-為整個待采煤層所含瓦斯總量

s-為巷道的斷面積

v-為巷道總空間體積

β-為總風巷道對瓦斯的吸附率

2 模型的建立與求解

2.1 模型假設

1）假設待采煤層中的瓦斯氣體均勻分布，采煤工作面釋放的瓦斯氣體流動，一部分q0從出風口排除，另一部分q被巷道中的側壁吸附，令；

2）工作面移動的速率為u 風速為v, v＞＞u 將待采煤礦整體近似看作長方體回風巷的長度l1就是煤礦的長度，回風巷口到出風口的距離為l -l1，如圖1所示：

3）整體待采煤層所含瓦斯總量M 均勻分布在長為l1的煤礦中，于是瓦斯的平均線密度；

4）設在回風巷中煤壁對瓦斯的吸附率為b，在總回風巷中煤壁對瓦斯的吸附率為β；

5）根據附表2，日產量近似相等，可以認為采煤工作面推移的速度恒定，設t=0 時，在x=0 開始采煤，當時煤被采完。

2.2 建立模型與求解

2.2.1 瓦斯模型

下面分三個階段進行建模討論。

1）采煤工作面不動

設單位時間內通過x0處的瓦斯量q (x )，令ρ( x) 為x 處瓦斯的線密度，則

在[x, x+Δx ]這一段煤礦中瓦斯量可以表示為{1}：

圖1 模型假設截面圖

即

假設ρ( x) 可導，令Δ x→ 0 將上式兩邊分別求導

再設x0=0 采煤工作面在單位時間內放出的瓦斯量為H 待定頂參數，由假設（1）可知q ( x )=aH從而于是構成

（5）解得：

根據ρ( x) 在l1處連續可知

由（7）解得：

當x =l 時

2）確定煤層在開采過程中任意t ＞0 時刻，單位時間內通過x =l 處的瓦斯量q (l ,t )

由假設2）可知u=常數，t 時刻煤層工作面將在x =ut處，這時（A）中的q (x )、ρ( x) 、H 分別應記為q ( x,t )、ρ( x, t) 、H (t )完全類似于（A）中的ρ( x) 的表達式中的x 替換為x -ut ，H 換為H (t )。即得，

將q (l )中的l1，l 和Η 分別替換為l1t- ut ，l2- ut 和H (t )，得

下面確定H (t )

設t ＞0 時刻x =ut 處，單位時間內煤層推進的長度為u 煤內瓦斯含量H (t )的線密度為w( x,t )故

由（10），（11），（12）三式解得：

令w(0,0)=w0隨著t 的增長煤壁吸附巷內的瓦斯含量，致使w(u t ,t )上升，在[t , t+Δt ]內

積分的：

由（15）解得：

3）確定整個待采煤礦開采完時通過x =l 處的瓦斯總量Q，開采完回風巷Ⅰ所圍整個煤礦所需的時間

（19）式中的q (l ,t )為單位時間內巷道在出口（x =l ）處排放的瓦斯量，那么采煤工作面單位時間內產生的瓦斯量減去向外排放的瓦斯量，即為留存在巷道中的瓦斯量。在采煤工作面上單位時間產生的瓦斯量它與單位時間內的采煤量成正比，

任意時間風巷中瓦斯的濃度為：

u (t ) 表示在t時刻單位時間巷道中瓦斯的濃度

2.2.2 煤塵模型

同理，煤塵的濃度模型與瓦斯的模型相似，設w( t )表示在t時刻單位時間巷道中煤塵的濃度。只是巷道側壁對其的吸收率不同。

3 模型評估

本模型考慮了風巷道側壁對瓦斯和煤塵的吸附作用。模型主要以風速v以及采煤率 dm/dt為變量，u（t）和w（t）表示單位時間的濃度，它們都是風速（單位時間的排風量）的函數。只要適當控制巷道中的風速，即可控制井下的瓦斯濃度和煤塵濃度。所以本模型既是監測模型又是控制模型。