開篇謀局

王廣富 王鳳靈

【摘要】高等數學是理工科各專業必修的一門重要基礎課，也是學好專業課的必備條件。很多同學對數學課有畏難情緒，如何讓同學們了解高等數學的內容，提高同學們學習高等數學的興趣，消除同學們對高等數學的焦慮和恐懼，掌握解決數學問題的方法，第一堂課是學好高等數學的關鍵。本文通過教學內容切入、教學內容特點和怎么學好高等數學等方面，就如何上好高等數學第一堂課做了相關的探討。

【關鍵詞】高等數學 ?悖論 ?三角函數

【基金項目】國家自然科學基金（No.11861032）江西省高等學校教學改革研究重點項目（No.JXJG-17-5-1）。

【中圖分類號】G642;O13-4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）08-0124-02

1.引言

高等數學（Advanced Mathematics）是高等院校一門重要的基礎理論課程，是理工和經濟管理等非數學專業學生的必修數學課。“它不僅是學好其他專業課程的有力工具，而且對于培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和解決實際問題的能力起著重要的作用”[1]。但同時數學又由于其自身要求邏輯嚴密，計算能力要求高，導致很多大學生對高等數學產生了畏難情緒。現在大一新生中流行一句話，流傳很廣——“從前有棵樹，叫高樹（數），樹上掛了很多人”。說明該門課程掛科率很高，同學們都已經到了怕的地步。那么如何幫助大一新生學好高等數學， 克服他們的畏難心理并激發學生的求知欲， 就顯得尤為重要。作為高等數學老師， 必須打破原有的思維定勢， 建立新的思維結構， 幫助學生轉變思維， 從而充分調動學生的學習積極性。因此高等數學的第一堂課尤其重要， 從而必須設計一堂富有啟發性和鼓勵性的“緒論課”[2]。

2.由悖論引入學習高等數學的必要性

在給學生講解高等數學內容之前，首先用經典的龜兔賽跑引入悖論“兔子跑不過烏龜”，其次給出另一個悖論“2=”。用這兩個悖論來引起學生對數學的興趣，引發學生們的探討。

例1：兔子永遠追不上烏龜。

假設兔子比較仗義，覺得自己跑得快，就先讓烏龜向前爬行s0米。這時，兔子和烏龜再聽發令槍響同時跑。設兔子速度為v1，烏龜速度為v2（v1>v2）。顯然兔子從它的位置A跑到烏龜的位置B，這段距離s0要花兔子t1=時間，而兔子跑的同時烏龜并沒有在B等兔子，而是向前爬到了C處。此時相當于烏龜在兔子前面C處，兔子在B處，兩者相距s1米。兩者此時同時再跑，當兔子到達C處時，而烏龜又向前爬行了一段距離s2后到達D處。如此重復下去，雖然兔子與烏龜之間的距離越來越短，但是兩者之間始終有差距，故兔子永遠追不上烏龜。

假設將直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊放在x軸上，如圖2，則|OB|=。將A點向下折到x軸上，設為C。如圖2（2）。繼續將A1，A2下折到x軸上，如圖2（3）。如此這樣，一直折下去，直角邊OA和AB上的點都落在了斜邊OB上， 而OA和AB的長度之和為2，OB的長度為。因此我們得到2=。

兩個悖論都是基于將有限的線段進行了無限次的劃分。涉及到無窮多個數的和的問題，而不再是單純初等數學所考慮的有限問題。怎么解決這個問題呢，這就依賴于我們要學的高等數學。

3.中學數學與高等數學的銜接

由于新課改的問題，原來很多中學學習的內容現在已經弱化甚至不做要求，但是到了高等數學里又要求很高。而原來是高等數學的內容又放在高中講解了一部分，例如導數和定積分。這就要求大學數學老師對整個高等數學內容給學生一個輪廓，高屋建瓴，能夠指導學生哪些內容應該重點補齊，而哪些東西又與高中所學不同。這些都需要老師認真指出來。作者認為學生補全掌握三角函數的知識，主要有：1）正割函數和余割函數;2）同角間的三角函數關系;3）誘導公式;4）積化和差與和差化積公式。

尤其是第一和第四部分對于學生來講是新內容， 要求學生學會，記住并靈活掌握。

1）正割函數和余割函數的引入。

設是一個任意大小的角，將角？琢的頂點放在坐標原點，始邊放到x軸上，角？琢的終邊上任意一點的坐標是P（x，y），它到原點的距離為r。（見圖3）。則角？琢的正弦，余弦，正切，余切定義如下：

2）同角間的三角函數關系。

積的關系：六邊形上每個頂點的三角函數值等于它相鄰的兩個三角函數值的乘積。例如：sin=tan·cos。

平方和關系：實邊構成的三角形中，上面兩個頂點處的三角函數值的平方和等于下面頂點處三角函數值的平方。例如：tan2+12=sec2。

3）誘導公式。這個公式是中學里重點內容，學生一般掌握較好，只要給學生點到即可。

4）和差化積與積化和差公式。

和差化積公式看起來很復雜，但是觀察其特點，只要記住每個公式的前后三角函數名稱即可，因為后面兩項里的角度分別是前面兩個角的和的一半與差的一半。

4.如何學好高等數學

4.1高等數學的特點

高等數學作為一門科學，經過三百多年的發展，有其固有的特點，高度抽象，理論系統嚴密，邏輯性強，應用性廣。高等數學無論概念、性質和定理，還是判斷和推理，都要運用邏輯的規則，有嚴密的邏輯性，遵循思維的規律。數學是自然界的語言，是自然科學與社會科學的基礎，為其他學科提供思想、觀念和研究方法。數學也是一種文化，在人類文明的進程中起著重要的推動作用。人類歷史上幾乎所有的原始創新和重大發現都同數學的發展與進步密切相關。尤其是到了現代，隨著電子計算機的出現，使得數學的應用領域更加寬廣，現代數學正成為科技發展的強大動力。因此，學好高等數學對我們來說相當重要。

4.2 學習高等數學的方法

針對高等數學的特點，要學好高等數學，重要的還是要：

1）充分理解概念。高等數學中有很多定義和概念。概念反映的是事物的本質，所以一定要弄清楚它是如何定義的、有什么性質，通過做相應的練習鞏固知識， 才能真正地理解一個概念[4]。

2）完全掌握定理。對于課本上的每個定理都要掌握它的條件是什么？結論是什么？記住適用的條件和適用范圍，做到有的放矢，千萬不要“張冠李戴”，“亂點鴛鴦”。

3）弄懂例題，多做練習。課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理[4]。針對不同的例題，根據其特點，熟悉其解法，在理解例題的基礎上作適量的習題。作題時要善于總結題型和解題方法，這是因為大學學習與高中學習是完全不同的狀態，高中時可能一個知識點會做很多練習來鞏固，高等數學教學內容多，有時候老師一堂課可能就會講很多知識點，但是留給學生練習的時間又比較少，所以學生課下一定要多做練習，做完之后還要反思，舉一反三，“勤能補拙是良訓，一分辛苦一分才”。

4）理清內容，把握脈絡。要對每個章節的內容及時總結，對所學的知識體系有整體的把握，“會當凌絕頂，一覽眾山小”，這樣不僅可以加深對知識的理解，還會對進一步的學習有所幫助。

結語

好的開始是成功的一半，上好第一堂課對老師和學生都具有重要的意義。正確的引導學生，使學生充分認識到學習《高等數學》的重要性和必要性， 調動學生的積極性， 從而對這門課產生較濃厚的學習興趣，也就為學好這門課奠定了基礎。

參考文獻：

[1]上海交通大學數學系，高等數學[M]，上海：上海交通大學出版社，第三版，2012.

[2]劉俊，劉佳.“緒論課”——打開《高等數學》殿堂的金鑰匙，科技資訊，2011， 212.

[3]楊文蘭.同角三角函數關系教學之我見，涪陵師專學報，1999年第15卷第3期，58-60。

[4]高等數學http：//www.worlduc.com/blog2012.aspx？bid=27

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作者簡介：

王廣富（1976-），男，山東菏澤人，博士，華東交通大學理學院副院長/副教授，2016.3-2017.2英國伯明翰大學訪問學者，主要從事大學數學教學及圖論方面的研究。