一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題

楊學鳳 鄧秋芳 徐惇儒 李盈盈 趙艷輝

【摘要】本文結(jié)合定積分的性質(zhì)、函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性從兩個不同的方面對一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題進行了探討。通過對具體實例的分析研究得到了解決這類問題的一般方法，為此類極限的計算提供了理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列極限 ?定積分 ?連續(xù)性 ?可導(dǎo)性

【基金項目】湖南科技學院2018年校級大學生研究性學習和創(chuàng)新性實驗計劃項目資助（序號56）;湖南科技學院應(yīng)用特色學科建設(shè)項目資助。

【中圖分類號】O172.2 ? ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）08-0227-01

本文將結(jié)合定積分的性質(zhì)、函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性從兩個不同的方面將此類定積分化為某些數(shù)列，再利用數(shù)列極限的性質(zhì)求出該數(shù)列極限。并通過具體實例分析研究出對于滿足不同條件的被積函數(shù)所采取的方式方法，為此類極限的計算提供理論依據(jù)。

1.已知函數(shù)f（x）在閉區(qū)間端點連續(xù)或在閉區(qū)間連續(xù)求極限

如果已知函數(shù)在一點x0連續(xù)，先寫出函數(shù)在一點x0連續(xù)的？著-？啄定義，[a，b]再將區(qū)間分成兩個不同的小區(qū)間進行討論。對于區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，除了可利用一點連續(xù)的？著-？啄定義外，還可以利用一致連續(xù)的性質(zhì)，再將區(qū)間[a，b]分成兩個不同的小區(qū)間進行討論。在不同的小區(qū)間上|f（x）-f（b）|的處理方式不同。請看下例。

例1 設(shè)f（x）是在[a，b]可積且在x=b連續(xù)的函數(shù)，求證：

小結(jié) ?利用積分區(qū)間的可加性將積分區(qū)間分成[a，b]=[a，b-？啄]∪[b-？啄，b]上兩個小區(qū)間上的積分之和，注意在兩個小區(qū)間上對f（x）-f（b）處理方式的不同。將f（b）寫成定積分形式，這也是定積分中處理積分極限、證明積分等式或不等式常用的方法。

2.已知函數(shù)在閉區(qū)間可導(dǎo)或在其內(nèi)某點可導(dǎo)求極限

如果已知函數(shù)在一點可導(dǎo)，可以利用函數(shù)在一點可導(dǎo)的定義及極限的性質(zhì)來解決問題。而如果已知函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)，則可用Taylor公式將函數(shù)在某點展開，求得函數(shù)表達式，再代入積分表達式即可。

例2 ?設(shè)f（x）為區(qū)間[0，1]上的二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，求證：

如果函數(shù)在一點可導(dǎo)，則由可導(dǎo)的定義和極限的性質(zhì)將函數(shù)表示出來。

小結(jié) 由例2可知，由可導(dǎo)性來處理此類問題時，如果已知函數(shù)只有一階可導(dǎo)，則利用導(dǎo)數(shù)的定義將函數(shù)表示出來，注意討論積分時區(qū)間的分割法，以及在不同的區(qū)間內(nèi)積分的不同處理方式，最后求出相應(yīng)的數(shù)列極限即可;當已知函數(shù)二階可導(dǎo)，可利用函數(shù)的帶Lagrange余項的Taylor展開式表示函數(shù)，由于導(dǎo)函數(shù)的介值性，所以也不需要函數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，利用介值性處理中值點的導(dǎo)函數(shù)值，從而使得定積分能順利計算出來。

參考文獻：

[1]李金媛.求數(shù)列極限的幾種常用方法[J].數(shù)學學習與研究，2018（18）：6.