隨機(jī)矩陣α-型和Brauer-型特征值包含區(qū)域及其應(yīng)用

杜爍玉，李耀堂

（云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南昆明650000）

1 預(yù)備知識(shí)

隨機(jī)矩陣是非負(fù)矩陣的一個(gè)子類，在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和馬爾可夫鏈等方面有著廣泛的應(yīng)用，特別是隨機(jī)矩陣譜隙的估計(jì)對(duì)馬爾可夫鏈的研究和應(yīng)用有著重要作用［1-5］.近年來(lái)隨機(jī)矩陣在生物工程、金融工程和無(wú)線通信等領(lǐng)域的應(yīng)用也取得了重要的進(jìn)展［6-8］.隨機(jī)矩陣在這些方面的廣泛應(yīng)用，很多都與隨機(jī)矩陣的非1特征值有關(guān)，因此，研究隨機(jī)矩陣的非1特征值具有重要意義.關(guān)于矩陣特征值的定位已有很多重要的研究成果，如Gersgorin圓盤(pán)定理、Brauer卵形定理、Brualdi定理、α-型特征值包含定理［9-14］等.人們當(dāng)然可以利用這些經(jīng)典的定理去定位隨機(jī)矩陣的特征值，但因?yàn)樗玫碾S機(jī)矩陣特征值定位集都包含隨機(jī)矩陣的平凡特征值1，從而使得對(duì)隨機(jī)矩陣非1特征值的定位往往不夠精確.為了解決這一問(wèn)題，Cvetkovic等［9］提出了修正矩陣的概念并用其研究隨機(jī)矩陣非1特征值的定位，這為隨機(jī)矩陣非1特征值定位研究開(kāi)辟了新途徑.

定理 1.1［9］設(shè)A＝［aij］∈Rn×n為隨機(jī)矩陣，

d＝［d1，d2，…，dn］T∈Rn.

若λ∈σ（A）＼｛1｝，則λ為修正矩陣B＝A-edT的特征值.因而如果B是非奇異的，則A也是非奇異的，這里σ（A）為矩陣A的譜.

Li等［11］應(yīng)用修正矩陣?yán)碚摚倪M(jìn)了文獻(xiàn)［9］所給的隨機(jī)矩陣非1特征值包含定理，得到了如下2個(gè)隨機(jī)矩陣非1特征值更精確的包含區(qū)域.

定理 1.2［11］設(shè)A＝［aij］∈Rn×n為隨機(jī)矩陣，如果λ∈σ（A）＼｛1｝，則有

2 隨機(jī)矩陣2個(gè)新的非1特征值包含區(qū)域

應(yīng)用修正矩陣?yán)碚撆c矩陣的α-型特征值包含定理和Brauer-型特征值包含定理研究隨機(jī)矩陣非1特征值包含區(qū)域.為此，先給出如下定理.

下面用幾個(gè)具體的數(shù)值例子來(lái)說(shuō)明在某些情況下本文所獲得的特征值包含區(qū)域更精確且能用其更好地估計(jì)隨機(jī)矩陣的譜隙.

定義 2.1［15］設(shè)A＝［aij］∈Rn×n為隨機(jī)矩陣，稱數(shù)為隨機(jī)矩陣A的譜隙.

隨機(jī)矩陣譜隙的值反映了隨機(jī)矩陣所決定的Markov鏈的收斂速度，其對(duì)應(yīng)的特征向量則對(duì)應(yīng)Markov鏈在極限狀態(tài)下的“平穩(wěn)分布”.因此，譜隙和其對(duì)應(yīng)的特征向量刻畫(huà)了Markov鏈的極限行為，對(duì)馬爾可夫鏈的研究和應(yīng)用有著重要作用.

例2.1為了便于比較定理2.3和定理1.2、定理1.3中所得的包含區(qū)域，取定α＝0.6，β＝4.考慮隨機(jī)矩陣

圖1中*號(hào)表示矩陣C1的特征值，Λ（0.6，4）（C1）表示α＝0.6，β＝4時(shí)的特征值包含區(qū)域Λ（α，β）（A），顯然Λ（C1）是它的子集.圖1說(shuō)明Λ（C1）?Bstol（C1）?Γstol（C1）.由于Bstol（C1）和Γstol（C1）都包含1，因此，不能用它們來(lái)估計(jì)隨機(jī)矩陣C1的譜隙，但由Λ（C1）可知矩陣C1的譜隙的上界大于0.5.

例2.2為了更好地比較定理2.4和定理1.2、定理1.3中所得的包含區(qū)域的大小以及他們?cè)诠烙?jì)隨機(jī)矩陣譜隙方面的作用，現(xiàn)取定β＝3，考慮隨機(jī)矩陣D1，其比較結(jié)果如圖2所示.

圖 1 黑色為Λ（0.6，4）（C1），灰色為Bstol（C1），深灰色為Γstol（C1）Fig.1 The comparison of Λ（0.6，4）（C1），Bstol（C1）and Γstol（C1）

圖2中*號(hào)表示矩陣D1的特征值，圖2說(shuō)明（D1）?Bstol（D1）?Γstol（D1）.由于Bstol（D1）和Γstol（D1）都包含1，因此，不能用它們來(lái)估計(jì)隨機(jī)矩陣D1的譜隙，但由（D1）可知矩陣D1的譜隙的上界大于0.45.

圖2 黑色為（D1），灰色為Bstol（D1），深灰色為Γstol（D1）Fig.2 The comparison of （D1），Bstol（D1）and Γstol（D1）

3 隨機(jī)矩陣非奇異的新的充分條件

利用上一節(jié)所獲的結(jié)果，可以研究隨機(jī)矩陣非奇異的充分條件.為此，先給出如下定義和定理.

下面給出幾個(gè)數(shù)值例子.

例3.1為了驗(yàn)證定理3.2的結(jié)論，取定β＝5，考慮隨機(jī)矩陣

此時(shí)存在α＝0.6對(duì)每個(gè)i都有定理3.2中不等式成立，故E1是非奇異的.事實(shí)上E1的特征值為

顯然0不在其中，故E1確實(shí)是非奇異的.

例3.2為了驗(yàn)證定理3.3的結(jié)論，取定β＝7，考慮隨機(jī)矩陣

此時(shí)對(duì)每個(gè)i都有定理3.3中不等式成立，故F1是非奇異的.事實(shí)上F1的特征值有

顯然0不在其中，故F1確實(shí)是非奇異的.