基于問題學習的數字圖像均值濾波器教學研究

傅志中，李曉峰，周 寧，徐 進，何 翔

（電子科技大學通信與信息工程學院，成都611731）

0 引 言

“百聞不如一見”凸顯了人類在生產和生活中對圖像信息認知與獲取的重要性。近年來，隨著處理器計算能力的快速發展和機器學習等人工智能技術的進步，數字圖像處理技術在工業、農業、國防和醫療等各個領域都得到了越來越廣泛的應用，數字圖像處理課程已經逐漸成為高校電子信息類專業的一門重要專業課程。

數字圖像處理課程是一門涉及多學科交叉領域的綜合課程，其理論性和實踐性都較強。其中，圖像濾波算法是一種廣泛應用于數字圖像處理的基本圖像處理技術，在經典的圖像數字圖像處理教材［1-3］中都進行了詳細的原理闡述。但是，限于教材的整體結構組織及教材的時效性特點，上述教材對于圖像濾波算法的原理性闡述都是片段化、離散化的，沒有及時吸收最新的圖像濾波算法，沒有從系統性的角度對圖像濾波算法的發生、發展及其濾波算法之間的內在聯系進行闡述。因此，盡管學生學習了各個濾波算法，但都不能對濾波算法有一個整體的認識和理解，缺乏理論聯系實際的工程應用過程，導致學生在面對工程問題時，缺乏解決問題的創新性思維和方法。

韓智等［4］把基于項目學習的教學策略引入到數字圖像處理的實驗課教學中，以指紋圖像的特征提取為例，引導學生將多個知識點進行有機聯系，提高學生解決實際問題的能力。這種教學模式，需要學生已經學習或掌握相關知識點內容，不適合于初學者對圖像處理算法的學習與理解。吳冬梅［5］將研究性教學引入到課堂教學中，對研究性教學的目的、課堂教學模式、教學內容設置和教學實施方式等多個方面都進行了較為詳細的闡述，但是，該文沒有詳細的教學案例。張顯斗等［6］在研究生數字圖像處理課程教學中，探索了以擬講授知識點的相關研究論文為導向的教學模式，實踐了以一個完整的成像系統實驗內容為依托的實驗內容改革。這種探索，對于提高學生的工程認知與研究能力具有重要意義。陳青［7］探索了以學生已有知識為基礎，采用啟發式、探究式和研討式等多種教學方法，提高學生的創新思維能力。盛敏［8］根據數字圖像處理的多學科交叉特性，探索圖像處理算法的來龍去脈，針對學生個體差異，實施分層教學方案，并將理論教學與實踐教學緊密結合。實踐表明，該教學方法能顯著提高具有較好數學基礎和較強計算機操作能力學生的學習效果。但是，這些教學模式，對于擬講授的知識點而言，沒有深入挖掘知識點之間的內在關聯。吳興華等［9］以突出算法的應用性能和特點，針對不同的圖像噪聲，分析了圖像均值濾波、中值濾波、高斯濾波和頻域濾波等多種濾波器原理，并根據其原理，以實際案例進行講授。該教學方法對于學生理解不同濾波器原理具有重要意義，但是，由于該文討論的濾波范圍寬，因此沒有給出不同濾波器之間的內在聯系。

基于問題的學習方法［10-11］對學生創新實踐能力培養的具有重要意義，劉春城等［12］從教學問題設計及問題庫建設等方面進行了有益的探索，梁佩鵬等［13-14］將該方法引入到課堂與實驗教學中，取得了良好的教學效果。以圖像線性均值濾波算法為例，首先分析圖像均值濾波器、高斯濾波器、雙邊濾波器［15］和非局部均值濾波器［16］的算法設計思想及其之間的內在聯系。之后以問題為導向，逐步將不同應用環境中的圖像濾波問題呈現給學生，引導學生運用已有知識、分析不同應用環境中面臨的實際問題。通過該引導過程，培養學生從應用中提出問題、解決問題的工程素質，實現創新人才的培養。

1 教學內容

受零均值噪聲污染的圖像，根據隨機信號分析理論，采用均值濾波器能有效抑制圖像噪聲、提高圖像輸出的信噪比。圖像線性均值濾波可根據其濾波器特性，分為常規均值濾波［1］、高斯濾波［1］、雙邊濾波［15］和非局部均值濾波［16］等4類。

1.1 常規均值濾波原理

常規均值濾波算法，也稱為鄰域均值濾波法，是最基本和簡單的一種圖像濾波方法。設待濾波圖像為｛Ip，p＝（i，j），i∈［1M］，j∈［1N］｝，其中M和N分別是圖像的水平和垂直方向的像素數，Ip是圖像在位于坐標p處的像素取值。δp是位于坐標p處像素的鄰域坐標集合，也稱為濾波模板。則鄰域均值濾波算法為：

式中：‖δp‖0為δp的零范數，即鄰域中的像素個數，也稱為濾波模板尺寸；p為位于坐標p處濾波后的像素取值。模板尺寸對濾波的效果有顯著的影響，需要根據圖像特性選擇合適的模板尺寸。鄰域均值法在抑制噪聲的同時，也會使圖像變得模糊。模板尺寸越大，濾波后的圖像就越模糊。模板的尺寸大小一般為奇數。

1.2 高斯濾波原理

如果噪聲源是零均值高斯噪聲類型，則最佳的噪聲抑制濾波器是采用高斯濾波器。高斯濾波器的模型為：

式中：wq為服從二維高斯分布的加權函數，Ipg為高斯濾波器輸出結果。該模板取值由如下的高斯函數決定：

式中：Gσs（·）的定義與高斯濾波器類似；‖p-q‖為鄰域δp內所有像素q與鄰域中心像素p的距離；σs為高斯模板的標準差。標準差越小，二維高斯模板圖像越小，平滑效果不明顯；標準差越大，高斯模板圖像越大，濾波效果比較明顯。

1.3 雙邊濾波原理

應用均值濾波或高斯濾波對圖像信號進行濾波時，圖像信號必須是平穩的，否則圖像的邊緣將被模糊掉。為適應非平穩圖像信號的噪聲抑制，Tomasi［15］于1998年提出了雙邊濾波算法。該濾波器不僅考慮了圖像像素空域位置之間的距離，還考慮了像素之間亮度或色彩差異，使得在有效濾除圖像噪聲的同時，保持圖像邊緣銳利特性。雙邊濾波器的模型為：

式中：Gσs（·）和Gσv（·）的定義與高斯濾波器類似；為雙邊濾波器輸出結果。‖Ip-Iq‖為鄰域δp內所有像素位置q的像素值與鄰域中心像素位置p的像素值差異；σv為像素值差異高斯模板的標準差。類似高斯濾波器，標準差越小，二維高斯模板圖像越小，平滑效果不明顯；標準差越大，高斯模板圖像越大，濾波效果比較明顯。

1.4 非局部均值濾波原理

研究發現，圖像信號的局部特征在空域具有重復特性，即圖像中的任意一個像素位置的局部取值特性，在當前圖像中的其他像素位置也會出現。基于圖像像素的該特性，Buades等［16］提出了一種非局部均值濾波算法。即根據待濾波的像素位置的局部取值特性，根據一定的相似性準則，在整幅圖像的其他像素位置，尋找具有相似特性的像素q，由于單個像素易受噪聲影響，因此在計算相似性時，通常以像素的局部鄰域特性來計算相似性。非局部均值濾波器的模型為：

式中：ηp為根據相似性計算方法得到的相似性像素集合，r∈ηp，pn為非局部均值濾波器輸出結果。計算兩個像素相似性的最常用方法是計算其所在區域圖像塊的歐氏距離為：

2 教學案例設計

從上述濾波器的原理描述可知，常規均值濾波、高斯濾波、雙邊濾波和非局部均值濾波等4類，都是針對零均值高斯噪聲設計的濾波算法，對高斯噪聲都有顯著的噪聲抑制作用。目前的教材和相關教學中，沒有將這幾種濾波器進行對比，學生在學習了這幾種濾波器之后，不能深刻理解這幾種濾波算法之間存在的緊密聯系和差異，因而不能有效地激發學生的學習興趣和創新思維及解決問題的能力。

（1）設計一幅同時有局部均值平穩和非平穩區域的棋盤格仿真圖像，以案例方式，逐漸展開不同濾波算法的優缺點。以解決工程問題為導向，引導學生思考問題，解決問題。最后以實際圖像濾波為例，進一步揭示仿真測試與實際工程應用之間存在的差異。從原理描述可知，常規均值濾波算法，對于圖像局部均值平穩的圖像信號，其濾波效果顯著，能顯著抑制噪聲。但是，對于實際的圖像信號，在圖像平坦區域，其均值在小范圍內存在均值平穩性。隨著濾波器模板尺寸擴大，其均值是非平穩的。特別是位于圖像邊緣的像素，其相鄰像素的統計均值是不平穩的。因此，高斯均值濾波算法，相對于常規均值濾波算法，對位于平坦區域的像素，具有更好的噪聲抑制。雙邊濾波算法和非局部均值濾波算法能更好地適應均值非平穩的圖像信號，特別是非局部均值濾波算法，能更好地抑制位于圖像邊緣處像素的噪聲。

圖1（a）所示是黑白相間的棋盤格，灰色區域部分的像素取值為0，白色區域部分的像素取值為1。在白色或灰色區域的各自區域內，所有像素的鄰域均值是等同的，即均值是平穩的。但不同區域之間的像素的均值是非平穩的。圖1（b）所示是均值為0，方差為0.001噪聲污染圖像，圖1（c）所示是污染圖像的局部放大圖。

圖1 黑白相間的棋盤格

首先應用常規均值濾波算法，濾波模板尺寸為3×3，對圖1（c）進行濾波，其濾波圖像如圖2所示。

圖2 常規均值濾波結果

圖2（a）和（c）所示分別是3×3和7×7模板的常規均值濾波結果，圖2（b）和（d）所示分別是圖2（a）和（c）的局部區域放大結果。在局部放大圖2（b）和（d）中，平滑區域的噪聲都得到了明顯的抑制，但噪聲的影響還存在，同時，在兩種平滑區域的交界處，邊緣都因為模板的平滑作用而變得模糊。

針對此問題，教師要求學生自主提出解決方案。根據實驗結果，學生能給出增大模板尺寸、實現平滑區域的噪聲抑制的建議。但對于邊緣平滑問題，未能給出有效建議。在給出高斯噪聲在空間分布呈現中間高，邊緣低的提示后，學生能給出采用高斯濾波的建議。

圖3（a）、（b）和（c）所示分別是3 ×3、7 ×7 和15×15模板的高斯均值濾波結果的局部放大圖。結果顯示，高斯濾波相對于常規均值濾波能取得更好的噪聲抑制效果，并且隨著模板尺寸增加，噪聲抑制效果更好，并且邊緣模糊更低一些。但是，在兩種平滑區域的交界處，邊緣仍然因為高斯模板的平滑作用而變得模糊。

圖3 高斯均值濾波結果

針對邊緣仍然模糊的問題，教師與學生一起分析問題。指出，在平穩區域，上述濾波算法都能取得較好的噪聲抑制效果，但在非平穩區域，噪聲被抑制的同時，圖像質量出現惡化。引導學生思考，是否可以對不同的區域，采用不同的方式來處理？基于該處理思想、給出了雙邊濾波算法的實現結果。

圖4（a）和（b）所示分別是雙邊濾波結果及局部放大圖像。圖4（b）中，噪聲被顯著抑制的同時，圖像的邊緣也沒有因為濾波而惡化，得到了良好的保持。至此，通過逐次展示各種濾波算法的實驗結果，使得學生理解了不同濾波算法在圖像噪聲抑制中的特點及其關系。

圖4 雙邊濾波結果

（2）設計了一個問題：針對高斯噪聲，是否雙邊濾波就是最好的濾波器了？還有更好的濾波算法嗎？針對上述的棋盤格仿真圖像，學生對此展開討論并指出雙邊濾波算法確實已經滿足要求，應該能滿足工程應用了。針對學生的討論結果，教師隨后給出了受高斯噪聲污染的Lena圖像。學生才發現，基于仿真圖像得到的結論，還不能代表實際圖像的測試結果。

針對此問題，教師給出提示，是否可以借鑒雙邊濾波算法的思想。濾波算法中，參與濾波的像素是否必須具有相同的特性。由于實際圖像的復雜性，要求學生思考如何選擇參與濾波的像素，以什么準則來選取性質相同的像素等問題。從而引出了非局部均值濾波算法原理。

以圖5為示例，揭示非局部均值濾波思想。圖中p為當前待濾波的像素，取p的一個矩形鄰域δp，在整幅圖像中，采用最小均方誤差準則，搜索出與δp相似的像素點，如圖所示的q1，q2，q33個像素點。之后，采用式（6）得到像素點p的濾波結果。

圖5 非局部均值濾波算法相似性原理［16］

至此，通過仿真圖像和實際圖像的算法測試、問題分析及問題解決，引導學生完成了從理論仿真、算法分析至工程應用的整個過程，實現圖像處理中創新思維的培養。

3 結 語

針對幾種圖像均值濾波器算法的內在邏輯關系和不同應用環境所面對的圖像濾波問題，以解決工程問題為中心，引導學生運用已有知識，在案例中發現問題、解決問題，培養學生從工程應用中提出問題、解決問題的工程素質，實現創新人才的培養。