高等數學中不等式證明的方法示例

摘 要：不等式證明問題是高等數學中的重要內容，針對不等式的證明問題，本文分析并總結了高等數學中證明不等式的主要方法及其解題思路，并輔以典型例題，使學生能夠系統地掌握不等式的證明方法。

關鍵詞：高等數學;不等式;證明

不等式是研究數學問題的重要工具，也是高等數學中的重要內容。不等式的證明也是考研試題中的重要考點，也是難點。很多學生對不等式問題缺乏系統的思考和總結。本文舉例說明了不等式證明的常用方法及適用情況，使學生更好地掌握不等式的證明技巧。

1 利用函數的單調性

利用函數的單調性證明不等式，常將不等式進行恒等變形以便于構造輔助函數f（x），在判斷輔助函數f（x）的單調性時，若判斷f′（x）的符號困難，則可考慮求f″（x）甚至f（x）來遞推確定。當然，若此時無法確定導數符號，則說明此方法失效，應改用其他方法。

3 利用拉格朗日中值定理

利用拉格朗日中值定理證明不等式的關鍵在于滿足定理的兩個條件，通過觀察不等式經過恒等變形可以化成函數值之差的形式，可考慮用拉格朗日中值定理，并合理設定f（x），再根據ξ的取值范圍對f′（ξ）進行估計，進而推導出所證不等式。

4 利用泰勒公式

這種方法適合于題中所給（或能推導出）條件f″（x）存在且>0（或<0）的命題，此時只能利用帶拉格朗日余項的泰勒公式證明不等式，關鍵是在哪一個點將函數用泰勒公式展開，通常展開點一般選取已知導數信息最多的點。然后根據題設對展開式的余項進行適當的放縮，導出所證不等式。

種方法是高等數學中證明不等式的常用方法，不等式的證法因題而異，靈活多變，我們應該具體問題具體分析。要想熟練掌握其中的技巧，我們要多思考多總結，才能快捷地解決不等式的證明問題。

參考文獻：

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[3]李永樂，王式安，武忠祥，季文鐸.2019考研數學復習全書[M].北京：國家行政學院出版社，2017.12.

作者簡介：楊雪（1982-），女，吉林長春人，長春工業大學碩士研究生，吉林工商學院助教，研究方向：最優化理論與應用。