靜電場中電場強(qiáng)度的求解方法研究

唐鴿 劉桂香

摘 要：在靜電場中，解決靜電場的重要內(nèi)容為解決電場強(qiáng)度。為了使學(xué)生的思維發(fā)散開來，提高學(xué)生解題分析能力，本文總結(jié)了計(jì)算靜電場的七種方法及其適用條件。

關(guān)鍵詞：靜電場;格林函數(shù);電勢;分離變量法;高斯定理

電場不是可感知的，不是肉眼看得見的，不是以物理形式存在的。所以我們在電場的計(jì)算中可以運(yùn)用它本身的性質(zhì)去證明它的存在和自然界的本質(zhì)。我們常用求解靜電場有如下七種方法：

1 通過場強(qiáng)的定義式E=Fq0計(jì)算場強(qiáng)

通過場強(qiáng)的公式可以知道：在電場中，某點(diǎn)的場強(qiáng)和該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷的電場力相等。以下幾點(diǎn)是使用該公式需注意的地方：

（1）在電荷分布確定時(shí)，點(diǎn)試驗(yàn)電荷的帶電量不影響該點(diǎn)場強(qiáng)的大小。

（2）在電場中任意一點(diǎn)，該點(diǎn)試驗(yàn)電荷的正負(fù)影響了該試驗(yàn)電荷的受到的電場力的方向。

（3）E是一個(gè)有方向、大小，但不分正負(fù)的量。該公式最主要的用途是，用來定義場強(qiáng)和引入場強(qiáng)E，通常在計(jì)算過程中，會(huì)利用庫侖定律：

2 依據(jù)場強(qiáng)疊加原理計(jì)算場強(qiáng)

計(jì)算多電荷的電場強(qiáng)度，將點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式與場強(qiáng)疊加原理相結(jié)合，計(jì)算了多電荷的場強(qiáng)。以下兩種問題主要通過這個(gè)方法來解決：①點(diǎn)電荷體系，用于表示空間中存在多個(gè)帶電體，而需要不考慮電體的大小，任何帶電體都可視為點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷系統(tǒng)由一組點(diǎn)電荷組成。當(dāng)點(diǎn)電荷體系存在場點(diǎn)中是一個(gè)獨(dú)立體時(shí)，該點(diǎn)的綜合場強(qiáng)就是他們場強(qiáng)的矢量和。②電荷連續(xù)分布，此時(shí)意味著帶電體不再能視為場點(diǎn)的點(diǎn)電荷，但每個(gè)帶電體都能視為是N個(gè)點(diǎn)電荷疊加起來的。微元帶的電荷量為dq，并對其他的帶電體也進(jìn)行了處理，依據(jù)場強(qiáng)疊加原理，該場點(diǎn)的合場強(qiáng)可以求解出來。獲得微元可以分三種類：①體模型，體密度ρ和電量dq=ρdv;②面模型，面密度為σ和電量dq=σds;③線模型，線密度η和電量dq=ηdl.體現(xiàn)了基本的物理思想，發(fā)揮了根本性的的用途，被廣泛的應(yīng)用。按道理來說，只要是已知電荷分布的靜電場，場強(qiáng)都可以計(jì)算出來。因?yàn)樯鲜龉绞且粋€(gè)矢量積分，所以在計(jì)算問題的過程中，它將具有一定程度上的對稱性，解決問題的難度將急劇減小。

3 高斯定理求電場強(qiáng)度

（1）用Gauss theorem求解電場強(qiáng)度的前提條件是它必須要具有對稱性。球面對稱，或者軸對稱和平面對稱都可以，也就是只有當(dāng)閉合面上各部分場強(qiáng)都相等的情況下，才可以運(yùn)用Gauss theorem來求解出電場強(qiáng)度E。要不然的話，雖然同樣會(huì)適合Gauss theorem，但是它的情況將會(huì)比較復(fù)雜，這將導(dǎo)致場強(qiáng)求不出來。

（2）用適當(dāng)?shù)那鏋楦咚姑?，可以從積分號里提取E出來。

選擇高斯面的三個(gè)原則：

①它必須是個(gè)簡單的幾何面來作為高斯面;

②使電力線垂直于高斯平面的各個(gè)部分，或與電力線形成一個(gè)固定的角度，且平面上所有點(diǎn)場強(qiáng)大小要都一樣，此時(shí)，E能從積分號提取出來;

③所求的場點(diǎn)必須都要在高斯面上。

利用上面兩個(gè)公式，普通的邊值問題只需求出V區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù)就可以求出來。當(dāng)上述公式中的ρ（x）=0的時(shí)候，Laplace的解就是這個(gè)方程。求解格林函數(shù)是非常困難的，需要求出解析解，區(qū)域必須是幾何形狀的，但這個(gè)方法很少使用。

5 分離變量法

使用分離變量法，第一，需要給定邊界結(jié)合恰當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面，或與坐標(biāo)平面分段重合;再就是，在坐標(biāo)系中，能用多個(gè)函數(shù)的積表示待求偏微分方程的解，坐標(biāo)系中的每個(gè)函數(shù)都是只是坐標(biāo)的函數(shù)。然后再運(yùn)用分離變量法，把偏微分轉(zhuǎn)化為常微分，并解決該方程。此種問題能用解析形式給出的前提是它的邊界形狀是一個(gè)簡單的幾何圖形。在不同的情況下會(huì)有不一樣的解法，取決于坐標(biāo)系建立的是否恰當(dāng)。Laplace的通解在笛卡爾坐標(biāo)系中表示如下：

拉普拉斯方程通解在圓柱坐標(biāo)系中二維場表示為：

在圓球坐標(biāo)系中的通解為：

其余的問題是通過邊界條件來求解這些解中的常量，由此可以解出滿足邊界條件的特解。通過分離變量法可以得到的解是精確值，但是它的解法十分困難與復(fù)雜。

6 鏡像法

鏡像法是求解格林函數(shù)法之一。勢邊值問題是說，在區(qū)域V中的電荷分布確定的條件下，給出邊界條件，并將區(qū)域V中的電場，記錄邊值問題①，如果能找到另一個(gè)邊值問題②，電荷分布確定，則計(jì)算勢或電場以及電場的分布是很好的。同一區(qū)域的電荷與邊值問題的電荷相同，其邊界條件在相同條件下是相同的。根據(jù)它的唯一性定理，邊值問題①、②在V區(qū)域中的電場大小是一樣的，也就是說，它們是一個(gè)等價(jià)的替代問題。鏡像法用于求解以下四種情況：

（1）點(diǎn)電荷在導(dǎo)電體周圍的電場大小;

（2）點(diǎn)電荷在導(dǎo)體球周圍的電場大小;

（3）具有平行線電荷的無限長的圓柱導(dǎo)體周圍的電場大小;

（4）點(diǎn)電荷在無限大的介質(zhì)平面的電場大小。

鏡像法是一種等效替代法。此方法比分離變量法比較起來顯得更加容易，該問題的精確解更容易得出，但是它只能用來解一些小范圍比較特殊的邊界問題。

7 限差分法

限差分法是相對比較容易的一種數(shù)值解法，它將把需要求解的區(qū)域分成許多個(gè)小網(wǎng)格，并把Laplace方程變?yōu)榫W(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位有限差分方程組。邊界點(diǎn)的電位值確定，用迭代法或超松弛法得到網(wǎng)格點(diǎn)電位的近似解。如果把求解區(qū)域劃分成更加小更加多的網(wǎng)格，通過計(jì)算機(jī)來求解，基本上可以達(dá)到所需的任何精度。

有界的空間區(qū)域內(nèi)存在無散度源且無旋度源的場強(qiáng)——泊松方程的求解：

這個(gè)方程叫Poisson equation。對此形式，只要得到Poisson equation在此區(qū)域上的解，再求解求梯度，就能得到要求的靜電場場強(qiáng)。具有自由電荷區(qū)或有恒流區(qū)域的靜電場的場強(qiáng)可以求解。

學(xué)會(huì)并利用很多的方法來求解靜電場，它把學(xué)生的思維發(fā)散開來，把解題分析能力提高。這么多的計(jì)算，看到底要用哪種方法來解決靜電場會(huì)更加的合適，需要根據(jù)實(shí)際問題來具體探討。關(guān)于靜電場問題中的物理圖型與物理模型，如果能被很好的運(yùn)用，對于發(fā)展學(xué)生的推理分析的能力就顯得格外的重要。

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