一維非穩(wěn)態(tài)半導(dǎo)體漂移擴(kuò)散模型的弱Galerkin有限元法

朱紫陌, 李鴻亮, 張世全

(1. 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 成都 610064; 2. 中國工程物理研究院電子工程研究所, 綿陽 621900)

1 引 言

設(shè)I=(0,1),J=(0,T],T<.考慮下述非穩(wěn)態(tài)漂移擴(kuò)散模型:求靜電勢Ψ(x,t)和電子濃度n(x,t)滿足

nt-Dnnxx+μn(nΨx)x=0, (x,t)∈I×J

(1)

對(duì)應(yīng)的邊值條件和初值條件為

Ψ(0,t)=gΨ0(t),Ψ(1,t)=gΨ1(t),n(0,t)

=gn0(t),n(1,t)=gn1(t),?t∈J

(2)

n(x,0)=n0(x),?x∈I

(3)

其中ε>0是半導(dǎo)體的介電常數(shù),q是電子電荷量,f(x,t)是摻雜濃度函數(shù),Dn代表電子的擴(kuò)散系數(shù),μn代表電子遷移率.更一般的漂移擴(kuò)散模型還會(huì)考慮空穴電流連續(xù)性方程和復(fù)合率項(xiàng),但本文僅考慮簡化后的單粒子模型.

針對(duì)這類偏微分方程，理論和數(shù)值研究已有很長的歷史.對(duì)于漂移擴(kuò)散模型的穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)解在一些特定條件下的存在唯一性證明,可以參考文獻(xiàn)[1-6]及其引用文獻(xiàn).另一方面，數(shù)值研究開始于二十世紀(jì)六十年代.文獻(xiàn)[7]給出了求解一維穩(wěn)態(tài)模型的自洽迭代格式.在接下來幾十年，也有許多離散方法用于求解漂移擴(kuò)散模型,例如有限差分法[8-11],有限體積法[12-16],標(biāo)準(zhǔn)的有限元法[17-19],以及混合有限元法[20-22].

對(duì)于漂移擴(kuò)散模型,由于半導(dǎo)體器件損傷通常會(huì)產(chǎn)生漂移和擴(kuò)散系數(shù)間斷現(xiàn)象，因此間斷有限元法常被用來離散問題(1)～(3).在文獻(xiàn)[23]中,一種局部間斷有限元方法被用來求解一維漂移擴(kuò)散方程,并得到了半離散和全離散格式的最優(yōu)誤差估計(jì).在文獻(xiàn)[24-25]中, Wang和Ye最早提出用于求解二階橢圓問題的弱Galerkin有限元法.其主要思想是在廣義函數(shù)空間上引入一種弱梯度算子,利用弱梯度算子來離散變分問題.這種方法能夠保持局部消除的性質(zhì).此外，弱Galerkin有限元法還被廣泛應(yīng)用于求解各種偏微分方程[26-34].

本文考慮用一種弱Galerkin有限元法來離散問題(1)～(3)，引入弱函數(shù)v={v0,va,vb},采用分片k次多項(xiàng)式來逼近弱函數(shù)的內(nèi)部v0.

本文結(jié)構(gòu)如下:第二節(jié)給出基本記號(hào)、弱問題以及離散弱導(dǎo)數(shù)的定義;第三節(jié)引入半離散弱Galerkin有限元格式;第四節(jié)給出半離散格式的誤差估計(jì);第五節(jié)給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 基本記號(hào)

空間Hl(0,T;Hs(I))定義為

Hl(0,T;Hs(I))=

其中v(i)(t)是v關(guān)于t的i階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)的范數(shù)定義為

引理2.1(Gronwall不等式[35]) 令u(t),α(t),β(t)是定義在[a,b]上的實(shí)連續(xù)函數(shù),且對(duì)任意的t∈[a,b]有β(t)≥0.假設(shè)

則有

?t∈[a,b].

2.2 弱問題

首先,我們引入函數(shù)集合

及下列雙線性和三線性形式:對(duì)任意的Ψ∈V1,n∈V2和v,w∈V,

-μn(nΨx,wx).

于是,問題(1)～(3)的變分問題為:求 (Ψ,n)∈V1×V2滿足

A(Ψ,n;v)=(f,v),?v∈V,

(4)

其中

引理2.2[34]?t∈J,f(x,t)∈L(I),初值n0(x)∈L(I)且在I上幾乎處處大于0,邊值gn0(t),gn1(t)>0,遷移率μn是正常數(shù)時(shí),弱問題(4) 存在唯一解.

2.3 離散弱導(dǎo)數(shù)

W(Ia)={v={v0,va,vb}:v0∈L2(Ia),

|va|+|vb|<}.

對(duì)任意非負(fù)整數(shù)r,定義Pr(Ia)為單元Ia上次數(shù)不超過r的所有多項(xiàng)式的集合.為了構(gòu)造問題(1)～(3)的弱Galerkin有限元格式,我們引入離散弱導(dǎo)數(shù)算子dw,r如下.

定義2.3對(duì)v∈W(Ia),其離散弱導(dǎo)數(shù)dw,rv∈Pr(Ia)的定義由以下方程給出

?q∈Pr(Ia)

(5)

其中qa=q(xa),qb=q(xb).

3 半離散弱Galerkin有限元格式

Sh={v={v0,vL,vR}:v0|Ii∈Pk(Ii),vL|Ii

=vi,vR|Ii=vi+1,|vi|+|vi+1|<,

i=1,2,…,N-1},

(6)

(7)

定義離散的L2內(nèi)積和范數(shù)為

(8)

其中

證明 首先,令v0=vi=vi+1.由(5)式可得

?q∈Pr(Ii).

這表明dw,rv=0.接下來令dw,rv=0.由(5)式可得

?q∈Pr(Ii)

(9)

(10)

顯然,問題(10)存在唯一解q1∈Pr(Ii).對(duì)(10)式積分得到

q1,i=vi+1-vi.

因此,在(9)中取q=q1可得

因此v0=vi=vi+1.證畢.

引理3.1表明離散弱導(dǎo)數(shù)dw,rv保持了經(jīng)典導(dǎo)數(shù)v′的重要特征.

(11)

證明 由dw,rvh的定義,在(5)式中取q=1得到

(12)

在各單元上求和并利用vh,1=0可得

(13)

令q1∈Pr(Ii)滿足以下初值問題

(14)

在(5)式中取q=q1可得

vh,iq1,i-vh,i+1q1,i+1

(15)

對(duì)(14)式積分得到

(16)

將(16)式代入(15)式并利用(12)式,得

因此由Cauchy-Schwarz不等式和估計(jì)式(13)可以得到

證畢.

4 誤差估計(jì)

本節(jié)將給出半離散弱Galerkin有限元格式(8)的誤差估計(jì).

i=1,2,…,N-1.

由Bramble-Hilbert引理,易知

(17)

定義投影算子Qh:u∈H1(I)→Qhu∈Sh如下:

i=1,2,…,N-1.

由(17)式可知

(18)

進(jìn)一步,利用投影算子Qh和離散弱導(dǎo)數(shù)dw,r的定義,有如下交換性質(zhì):

0≤s≤k+1

(19)

為了得到誤差估計(jì),我們還需要引入下述投影函數(shù).

定理4.1對(duì)任意的u∈H1(I),存在πhu∈H1(I), 使得πhu|Ii∈Pk+1(Ii)并且滿足

((πhu)′,q)Ii=(u′,q)Ii,?q∈Pk(Ii),

i=1,…,N-1

(20)

πhu(xi)=u(xi),i=1,…,N

(21)

進(jìn)一步,對(duì)0≤s≤k+1,有

‖u-πhu‖Ii+hi‖u-πhu‖1,Ii≤

(22)

(23)

(24)

0≤s≤k+1

(25)

因?yàn)?/p>

所以由(24)式以及Cauchy-Schwarz不等式可以得到

(26)

(27)

引理4.2若Ψ,n∈H1(0,T;H2(I))是問題(1)～(3)的解,則

dw,rwh)h-μn(πh(nΨx),dw,rwh)h=0,

(28)

(29)

由(20)式可知

(30)

由離散弱導(dǎo)數(shù)算子dw,r的定義,有

dw,rwh)Ii+μn(πh(nΨx))i+1wh,i+1-

在各單元上求和并且注意到wh,1=0和wh,N=0,有

(31)

(32)

Dn(πhnx,dw,rwh)h

(33)

將(31)～(33)式代入(29)式即得(28)式.證畢.

(34)

(35)

其中正常數(shù)C與Ψ和n在每個(gè)時(shí)刻的H2范數(shù)和Hk+2范數(shù)有關(guān).

(36)

和

Dn(dw,r(Qhn-nh),dw,rwh)h=

Dn(dw,rQhn,dw,rwh)h-Dn(πhnx,dw,rwh)h+

μn(πh(nΨx),dw,rwh)h-

(37)

在(36)式中令vh=QhΨ-Ψh并利用Cauchy-Schwarz不等式, 引理 4.1和引理 3.2,可以得到

Chk+1‖Ψ‖k+2‖dw,r(QhΨ-Ψh)‖h+

(38)

于是

‖dw,r(QhΨ-Ψh)‖h≤Chk+1‖Ψ‖k+2+

(39)

(Dn(dw,rQhn-nx,dw,r(Qhn-nh))h-

Dn(πhnx-nx,dw,r(Qhn-nh))h)+

(μn(πh(nΨx)-nΨx,dw,r(Qhn-nh))h+

μn(n(Ψx-dw,rQhΨ),dw,r(Qhn-nh))h)+

R1+R2+R3+R4+R5

(40)

由Cauchy-Schwarz不等式,投影性質(zhì),引理 4.1和Young不等式,可得

R1≤Chk+1‖n‖k+2‖dw,r(Qhn-nh)‖h≤

(41)

R2≤Chk+1‖n‖2‖Ψ‖k+2‖dw,r(Qhn-

(42)

R3≤Chk+1‖Ψ‖2‖n‖k+2‖dw,r(Qhn-

(43)

(44)

為了估計(jì)R5,我們先假設(shè)

(45)

R5≤Cμn‖dw,r(QhΨ-Ψh)‖h‖dw,r(Qhn-

nh)‖h.

由(39)式和Young不等式可得

(46)

將(41)～(44)式,(46)式代入(40)式,得到

(47)

Ch2k+2

(48)

于是我們由(39)式,引理 3.2,三角不等式和投影性質(zhì)得到誤差估計(jì)(34)式和(35)式.

且t*

我們由連續(xù)性應(yīng)得到

另一方面,我們的證明表明(34)式和(35)式對(duì)任意的t≤t*成立.特別地

這與t*

5 數(shù)值算例

本節(jié)將給出兩個(gè)數(shù)值算例.時(shí)間離散我們都采用向后歐拉差分格式：

(49)

其中指標(biāo)(m,r)分別代表時(shí)間迭代和非線性迭代的步數(shù).

空間離散我們選擇多項(xiàng)式次數(shù)為k=0或k=1.當(dāng)k=0時(shí),時(shí)間步長選擇為Δt=h;當(dāng)k=1時(shí),時(shí)間步長選擇為Δt=h2.計(jì)算時(shí)我們采用均勻加密的網(wǎng)格,我們將給出在最終時(shí)刻T=1時(shí)的誤差.

例5.1令I(lǐng)=[0,1],J=[0,1],問題(1)～(3)的真解為

Ψ=sin(t)cos(x)， (x,t)∈I×J,

n=cos(t)sin(x), (x,t)∈I×J.

表1 Dn=1,k=0時(shí)例5.1的數(shù)值結(jié)果

表2 Dn=1,k=1時(shí)例5.1的數(shù)值結(jié)果

表1和表2分別給出了Dn=1時(shí)用分段常數(shù)和間斷分段線性多項(xiàng)式求解算例5.1的數(shù)值結(jié)果,得到的誤差收斂階與理論一致.

表3 Dn=10-3,k=0時(shí)例5.1的數(shù)值結(jié)果

表4 Dn=10-3,k=1時(shí)例5.1的數(shù)值結(jié)果

表3和表4分別給出了Dn=10-3時(shí)用分段常數(shù)和間斷分段線性多項(xiàng)式求解算例5.1的數(shù)值結(jié)果.可以看到,在用低次元求解小參數(shù)問題時(shí),在粗網(wǎng)格下‖nx-dw,rnh‖h的相對(duì)誤差較大,但隨著網(wǎng)格的加密,得到的誤差收斂階與理論一致.

例5.2考慮帶間斷系數(shù)的算例.令I(lǐng)=[0,1],J=[0,1].問題(1)～(3)的真解為

Ψ=sin(t)x(x-1)2,x∈I,

n=cos(t)x(1-x),x∈I.

表5 k=0時(shí)例5.2的數(shù)值結(jié)果

表6 k=1時(shí)例5.2的數(shù)值結(jié)果

表5和表6分別給出了用分段常數(shù)和間斷分段線性多項(xiàng)式求解算例5.2的數(shù)值結(jié)果,得到的誤差收斂階與理論一致.

6 結(jié) 論

本文研究了一維非穩(wěn)態(tài)半導(dǎo)體漂移擴(kuò)散模型的弱Galerkin有限元法,通過恰當(dāng)?shù)目臻g匹配,我們得到了關(guān)于靜電勢Ψ和電子濃度n的最優(yōu)誤差估計(jì),同時(shí)該方法還能處理間斷系數(shù)問題.