高維空間中的Bargmann變換的有界性

鄭佳鴻

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院, 廣州 510640)

1 引 言

Bargmann 變換在數(shù)學(xué)物理和分析學(xué)中起著重要作用，更是連接實(shí)函數(shù)空間與復(fù)函數(shù)空間之間的橋梁，深受人們的重視[1-15].

關(guān)于Bargmann變換的研究已有五十多年的歷史. 上世紀(jì)六十年代初，Bargmann[1]首次介紹了該積分變換. Bargmann找到了一個(gè)積分核, 把實(shí)空間中平方可積函數(shù)的希爾伯特空間與Fock空間中的算子關(guān)聯(lián)起來. 在文獻(xiàn)[2]中, Bargmann將該方法應(yīng)用于tempered distribution的理論, 研究了Fock空間中的調(diào)和多項(xiàng)式和及其相應(yīng)的分解. 之后, 人們對(duì)其展開了更深入的研究. 首先是將其應(yīng)用于量子力學(xué)和熱方程中[12], 后來也將其用于光學(xué)和信號(hào)處理[8,11].關(guān)于Bargmann變換的研究也可參見文獻(xiàn)[14, 3, 5, 9]. 其中, Dong 等[5]研究了Bargmann變換對(duì)幾個(gè)經(jīng)典積分算子的作用, 包括分?jǐn)?shù)階傅里葉變換、分?jǐn)?shù)階希爾伯特變換和小波變換. 但這些研究?jī)H限于一維情況下的 Bargmann變換等. 在n維空間上, Toft[7]研究了Bargmann變換下的函數(shù)圖像和分布空間. Yoshino[13]推導(dǎo)出具有Bargmann-Fock空間中的多徑向符號(hào)的Toeplitz算子特征值的公式, 并闡明了Bargmann-Fock 空間中的Toeplitz 算子與L2(Rn)中的Daubechies算子之間的關(guān)系. 但他們所研究的結(jié)果僅限于在L2(Rn)上的Bargmann變換, 即p=2的情形.

高維與一維情況下的解析函數(shù)空間及算子結(jié)構(gòu)有著本質(zhì)不同. 我們以Hartogs現(xiàn)象為例[10]. 設(shè)D是n>1維復(fù)空間Cn中的域，K為域D中的緊子集, 且DK為連通子集, 即D的子域. 若DK上的函數(shù)f全純, 則f可解析開拓到域D上. 這在一維情況下則完全不同. 本文引理2.1當(dāng)n=1與n>1的證法也不同.

本文研究n≥2維情況下的Bargmann變換, 主要針對(duì)p≠2的情形進(jìn)行討論.

2 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn為n維實(shí)歐氏空間,Cn為n維復(fù)歐氏空間,d(x1,…,xn)和dV分別代表Rn和Cn上的勒貝格測(cè)度, 簡(jiǎn)記d(x1,…,xn)為dx. 若z=(z1,…,zn)=u+iv,w=(w1,…,wn)為Cn上兩點(diǎn), 記

對(duì)于0

f∈Fp(Cn).

對(duì)p=,f∈F(Cn), 記

f∈F(Cn).

顯然, Fock空間Fp(Cn)在上述范數(shù)下為Banach空間, 其中1≤p≤. 特別地,F2(Cn)是Hilbert空間

更多關(guān)于Fock空間的研究結(jié)果可參見文獻(xiàn)[14].

定義2.1對(duì)任意f∈Lp(Rn), 定義

命題 2.2對(duì)任意f∈Lp(Rn), 1≤p≤, Bargmann變換是良定義的.

證明 令z=u+iv,z∈Cn.則有

(1)

且

(2)

若f∈L1(Rn), 則

(3)

若f∈L(Rn), 則

|Bf(z)|≤c‖f‖

(4)

若f∈Lp(Rn), 1

(5)

可見,對(duì)任意f∈Lp(Rn), Bargmann變換Bf是良定義的.

引理 2.3[1]Bargmann 變換是從L2(Rn)到F2(Cn)的酉算子.

證明 事實(shí)上,

記F為Fourier變換. 對(duì)z∈Cn,zj=uj+ivj, 易得

(6)

3 主要結(jié)果

引理3.1對(duì)任意0

‖Bf‖F(xiàn)p(Cn)≤C‖f‖Lp(Rn),

f∈Lp(Rn)∩L1(Rn)

(7)

證明 反證法.若不然, 則對(duì)任意f∈Lp(Rn)∩L1(Rn), 有Bf∈Fp(Cn)?F2(Cn), 這意味著‖f‖L2(Rn)=‖B(f)‖F(xiàn)2(Cn)<. 進(jìn)一步可得Lp(Rn)∩L1(Rn)?L2(Rn).矛盾. 故式(7)不成立.

命題3.2設(shè)0

證明 對(duì)任意有限區(qū)間(a,b), 容易找到某個(gè)函數(shù)f∈Lp[a,b]nL1[a,b]n.從而對(duì)任意的(a,b)可以找到函數(shù)f∈Lp(Rn) 使得

在z∈Cn上是無意義的. 進(jìn)而, 對(duì)于一般的函數(shù)f∈Lp(Rn), 其Bargmann變換是無意義的.證畢.

另一方面, Bargmann變換在Lp(Rn)上是稠定義的. 例如,Lp(Rn)∩L1(Rn)在Lp(Rn)中是稠密的, 且對(duì)于f∈Lp(Rn)∩L1(Rn),Bf是有定義的整函數(shù). 結(jié)合引理3.1可知, 當(dāng)0

定理3.3若1≤p<2, 則算子B:Lp(Rn)→Fq(Cn)是有界的, 并且映射B是單射但不是滿射, 其中1/p+1/q=1.

證明 由式(3),B將L1(Rn)有界地映射到F(Cn). 再由引理2.3, 利用復(fù)內(nèi)插可知B:Lp(Rn)→Fq(Cn)是有界的, 其中1≤p<2. 假設(shè)Bf=0, 則可證f=0幾乎處處成立. 因此算子B:Lp(Rn)→Fq(Cn)是單射. 根據(jù)Fock空間的包含關(guān)系可知B:Lp(Rn)→Fq(Cn)不是滿射.證畢.

以上證明方法適用于p的其他取值情況, 詳細(xì)證明過程可見定理3.4.

下面給出有界性的另一種證明.當(dāng)1

則

其中

當(dāng)p=1,f∈L1(R)時(shí), 有

再次根據(jù)式(6)以及 Hausdorff-Young 定理得

定理3.4假設(shè)1≤p<2, 1/p+1/q=1. 則算子B:Lp(Rn)→Fp′(Cn)不是有界的, 其中p′

證明 設(shè)p′0 使得

‖B(f)‖F(xiàn)p′(Cn)≤K‖f‖Lp(Rn)

對(duì)所有f∈Lp(Rn)成立. 設(shè)Sp=Lp(Rn)∩L1(Rn)?Lp(Rn),fr(x)=f(rx), 其中r∈(1,). 則fr∈Sp, 且有

(8)

另一方面, 由式(6)以及變量替換得

因而有

結(jié)合式(8), 我們可以找到另一個(gè)正常數(shù)K>0, 使得

≤K‖f‖Lp(Rn)

(9)

其中p′1.注意

C‖F(xiàn)(f)‖Lp′(Rn)

(10)

其中C是某個(gè)自然數(shù). 由于f具有緊支撐, 由控制收斂定理[12]得

再結(jié)合式(10)和法林引理可得

‖F(xiàn)(f)‖Lp′(Rn)≤

結(jié)合式(9)知, 存在另一個(gè)正常數(shù)K, 使得

‖F(xiàn)(f)‖Lp′(Rn)≤K‖f‖Lp(Rn),f∈Sp.

又由于Fourier變換是Sp到Lp(Rn)的等距映射[6], 推出矛盾. 可見算子B:Lp(Rn)→Fp′(Cn)不是有界的.

定理3.5若1≤p<2, 則

(i) 存在函數(shù)f∈Lp(Rn)使得Bf?Fp(Cn);

(ii) 不存在Lp(Rn)上的稠密子空間X,使得‖Bf‖F(xiàn)p(Cn)≤C‖f‖Lp(Rn)對(duì)某個(gè)正常數(shù)C以及所有f∈X成立.

證明 (i) 因?yàn)榭臻gLp(Rn) 沒有自然序關(guān)系, 也就是說, 任給定兩個(gè)不同的0

(ii) 若存在Lp(Rn)上的稠密子空間X及正常數(shù)C，使得‖Bf‖F(xiàn)p(Cn)≤C‖f‖Lp(Rn)對(duì)所有f∈X成立. 我們將證明(i)不成立, 從而得出矛盾. 為此, 任給f∈Lp(Rn), 設(shè){fn}?X使得‖fn-f‖Lp(Rn)→0. 因?yàn)閄是子空間, 所以

‖B(fn)-B(fm)‖F(xiàn)p(Cn)=

‖B(fn-fm)‖F(xiàn)p(Cn)≤C‖fn-fm‖Lp(Rn).

因此{(lán)Bfn}是Fp(Cn)中的Cauchy序列. 又因?yàn)镕p(Cn)是Banach空間, 故存在函g∈Fp(Cn)使得當(dāng)n→時(shí)‖Bfn-g‖F(xiàn)p(Cn)→0. 從而結(jié)合式(3) 和式(5), 可得

|Bfn(z)-Bf(z)|≤

其中C′是常數(shù). 進(jìn)而有 limn→Bfn(z)=Bf(z),z∈Cn. 因此,Bf=g∈Fp(Cn). 由f的任意性知(i)是錯(cuò)的, 矛盾. 從而(ii)成立.

定理3.6若2

證明 由引理2.3知B:L2(Rn)→F2(Cn)是有界的.又根據(jù)式(4),B是L(Rn) 到F(Cn)的有界映射. 由復(fù)插值理論知,對(duì)任意2≤p≤,B是Lp(Rn)到Fp(Cn)的有界映射.

為證明B是單射, 假設(shè)Bf=0. 則

對(duì)zj求偏導(dǎo)數(shù)并令z=0得

對(duì)所有k≥0成立. 說明f=0幾乎處處成立. 注意到證明與p的取值無關(guān).

為證明算子B:Lp(Rn)→Fp(Cn)不是滿射, 我們固定某個(gè)p′∈(2,p) .取函數(shù)f∈Lp′(Rn)Lp(Rn). 由Fock的包含關(guān)系, 我們有Bf∈Fp′(Cn)?Fp(Cn).如果映射B:Lp(Rn)→Fp(Cn)是滿射的, 則存在某個(gè)函數(shù)g∈Lp(Rn)使得Bg=Bf,或者B(f-g)=0. 綜上所述, 我們得到f=g幾乎處處成立, 這與f?Lp(Rn)矛盾.證畢.