淺談高考解析幾何題中幾何特征的挖掘

李建波

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）14-092-01

解析幾何的本質就是用代數方法去研究幾何圖形問題，很多學生在遇到解析幾何問題時，往往想通過“純”代數運算來解決問題，導致計算量非常大，即使能算出來也會花費大量的時間，更多的無法計算出最后的結果。

例1：（2016年全國Ⅲ第16題）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點，若∠AMB-90°，則求k的值。

這只是一道小題，很顯然這樣不考慮題中幾何特征的“純”代數解法計算量很大，而且會花費大量時間。倘若能挖掘出點M落在拋物線的準線上，利用拋物線何性質以及圓的幾何性質會大大減少計量。

解法二：作出拋物線準線x=-l，過A、B分別做準線的垂線，交于點A¹、B¹，過M點作平行x軸的線交AB于點M¹，∴AA¹∥MM¹∥BB¹∵∠AMB=90°∴以AB為直徑的圓經過點M又∵由拋物線直線可得：AB=AF+BF=AA¹+BB¹

很容易知道MM¹為直角梯形AA¹B¹B的中位線。

從這道高考解析幾何題的兩種解法中，很顯然挖掘過題中幾何特征的解法二計算更簡單。那一般解析幾何的幾何特征一般可以從點、直線方程、曲線返程、圖形的位置關系等方面去挖掘，一般來說，挖掘出越多的幾何特征，解答過程就會越簡單。我們再看看下面這兩道高考題，體會體會其中的奧妙。

我國著名數學家華羅庚曾經說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離萬事休”。利用幾何特征解決幾何問題凸顯出數學學科素養，是學生學習數學核心素養的有效載體之一。